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(1.浙江工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

多隨從風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題在供應(yīng)鏈中普遍存在,如一個(gè)供應(yīng)商向多個(gè)零售商進(jìn)行產(chǎn)品批發(fā)與銷(xiāo)售問(wèn)題,供應(yīng)商決定供應(yīng)量和批發(fā)價(jià),零售商決定訂購(gòu)量,多隨從風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題可以用一個(gè)雙層優(yōu)化模型刻畫(huà)與解決。因此,研究供應(yīng)鏈多隨從問(wèn)題的雙層規(guī)劃模型的建立與求解具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。自1952年Stackelberg提出了雙層決策模型(也稱(chēng)為雙層規(guī)劃)以來(lái),單從屬雙層規(guī)劃的理論與應(yīng)用研究取得了相當(dāng)豐富的研究成果[1-4],多隨從雙層決策模型(或稱(chēng)多隨從規(guī)劃、多隨從雙層規(guī)劃、多隨從決策模型)也已經(jīng)有了一定的研究成果,主要包括理論、算法和應(yīng)用等3個(gè)方面:1) 研究多隨從決策模型的最優(yōu)解的定義及性質(zhì),其研究?jī)?nèi)容包括最優(yōu)解的存在性、模型轉(zhuǎn)化為另一容易求解形式的等價(jià)性證明和最優(yōu)解的條件等性質(zhì)[5-10]；2) 研究多隨從決策模型的求解算法,大多研究都集中在線性多隨從規(guī)劃的求解算法[11-23]；3) 研究實(shí)際問(wèn)題中的多隨從決策模型,一般都是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立特殊的多隨從決策模型,在供應(yīng)鏈、電力供應(yīng)和電信等領(lǐng)域中應(yīng)用[24-33]。特別是在供應(yīng)鏈契約方面,也有部分學(xué)者進(jìn)行了研究[34],如劉玉霜等[35]討論了兩級(jí)供應(yīng)鏈含一個(gè)制造商與兩個(gè)隨從零售商的最優(yōu)協(xié)調(diào)問(wèn)題。趙泉午等[36]研究了在單個(gè)供應(yīng)商和多個(gè)零售商構(gòu)成的易逝品兩級(jí)供應(yīng)鏈中,建立一個(gè)博弈模型,證明了各零售商之間存在NASH均衡。李績(jī)才等[37]以一個(gè)兩階段的供應(yīng)鏈系統(tǒng)為研究背景,建立了下游損失厭惡型零售商之間存在競(jìng)爭(zhēng)的收益共享契約協(xié)調(diào)模型。李占雷等[38]運(yùn)用前景理論中損失厭惡概念,研究了零售商在損失厭惡下的供應(yīng)鏈回購(gòu)契約模型。張春偉等[39]研究了零售商具有多個(gè)零售點(diǎn)時(shí)的回購(gòu)契約模型。張寒[40]建立了石油分銷(xiāo)系統(tǒng)中單分銷(xiāo)商多個(gè)零售商的多隨從Stackelberg博弈模型。洪璐等[41]研究了CVaR準(zhǔn)則下考慮后續(xù)服務(wù)產(chǎn)品的多隨從收益共享契約模型。以上研究,他們均采用兩級(jí)博弈模型,目標(biāo)均為利潤(rùn)最大化,沒(méi)有考慮風(fēng)險(xiǎn)損失。國(guó)外關(guān)于契約的研究非常多,如Güray等[42]基于批發(fā)價(jià)合約、回購(gòu)合約、收益共享合約和數(shù)量折扣合約等,研究了帶隨機(jī)收益和隨機(jī)需求的供應(yīng)鏈的協(xié)同問(wèn)題。Choi等[43]研究一個(gè)批發(fā)價(jià)格契約模型的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題。

綜上所述,多隨從雙層決策模型理論研究并不多,算法研究也僅集中在線性情況,應(yīng)用模型在供應(yīng)鏈契約中的研究也不多,均用期望均值考慮風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)。目前,多隨從決策模型的算法基本是針對(duì)線性模型提出的,求解多隨從非線性雙層決策模型的主要思路是通過(guò)轉(zhuǎn)化成均衡約束研究簡(jiǎn)化求解的難度,如利用KKT條件轉(zhuǎn)化成互補(bǔ)約束問(wèn)題求解,將提出一種銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約的多隨從雙層風(fēng)險(xiǎn)決策模型,提出一種近似求解方法。

1 獎(jiǎng)勵(lì)供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)研究及條件風(fēng)險(xiǎn)值

供應(yīng)鏈契約主要包括批發(fā)價(jià)折扣契約、數(shù)量柔性契約和回購(gòu)契約等,其中銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約是數(shù)量柔性契約一種,銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約是指零售商向供應(yīng)商訂購(gòu)一定數(shù)量的產(chǎn)品,根據(jù)零售商銷(xiāo)售的數(shù)量,供應(yīng)商給出相應(yīng)的利潤(rùn)獎(jiǎng)勵(lì),這樣有利于零售商訂購(gòu)更多的商品進(jìn)行銷(xiāo)售,使得雙方獲得更多的利潤(rùn),同時(shí)降低零售商損失風(fēng)險(xiǎn)。現(xiàn)有的銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約研究文獻(xiàn)并不多。Wang等[44]研究了由一位供應(yīng)商和多位零售商構(gòu)成的供應(yīng)鏈獎(jiǎng)勵(lì)契約(多隨從契約情形),建立了一個(gè)基于各方基礎(chǔ)存貨水平的競(jìng)爭(zhēng)水平下的博弈模型,發(fā)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)會(huì)在所有的零售商間及與供應(yīng)商之間展開(kāi)。Christoph等[45]給出了一種如何設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)契約來(lái)協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈內(nèi)的決策,表明了如果與經(jīng)營(yíng)層面互動(dòng)那么可以產(chǎn)生大量的契約收益。Adolfo等[46]研究了三種形式的供應(yīng)商數(shù)量激勵(lì)契約以得到不同程度的安全性和彈性,包括了在途庫(kù)存和倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)存以體現(xiàn)需求可變性。Kremer等[47]研究了一種數(shù)量契約模型,基于數(shù)值研究按照模型來(lái)設(shè)計(jì)最優(yōu)的契約訂購(gòu)量。Youssef等[48]研究了OEM廠商將某些生產(chǎn)行為外包給承包制造商的獎(jiǎng)勵(lì)契約問(wèn)題,結(jié)果表明多決策層次的下訂單戰(zhàn)略比只有一個(gè)決策層次的下訂單戰(zhàn)略表現(xiàn)更好。Xiong等[49]將回購(gòu)契約和數(shù)量柔性契約結(jié)合在一起引入一個(gè)組合契約(CP),證明了該CP合約在供應(yīng)鏈協(xié)同、利潤(rùn)分配和風(fēng)險(xiǎn)分配方面比單種契約有優(yōu)勢(shì),在風(fēng)險(xiǎn)分配方面也比成分合約更具彈性。

Sun等[50]研究了一些典型合約的激勵(lì)機(jī)制在緩解供應(yīng)鏈成員間破產(chǎn)宣傳的效果,包括收益共享契約、價(jià)格折扣契約及數(shù)量柔性契約。劉彥利[51]系統(tǒng)地研究基于績(jī)效獎(jiǎng)勵(lì)的易逝品供應(yīng)鏈聯(lián)合契約問(wèn)題,建立了由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商構(gòu)成的易逝品兩階層供應(yīng)鏈模型,在分析績(jī)效獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制對(duì)此供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)效果的基礎(chǔ)上,建立了相應(yīng)的銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約模型。甘騫等[52]研究了基于銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)與回購(gòu)契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)機(jī)制,提出了一種銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約模型,導(dǎo)出了在回購(gòu)契約下最優(yōu)訂貨量和回購(gòu)價(jià)格的解析形式。李凱等[53]研究了基于獎(jiǎng)勵(lì)與懲罰的雙重契約的供應(yīng)鏈渠道協(xié)調(diào)問(wèn)題,設(shè)置獎(jiǎng)懲額度和比例作為協(xié)調(diào)因子,建立了一個(gè)懲罰和獎(jiǎng)勵(lì)相結(jié)合的供應(yīng)鏈契約模型。郭飛等[54]運(yùn)用CVaR準(zhǔn)則建立了的一個(gè)供應(yīng)商與一個(gè)零售商的供應(yīng)鏈銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)的雙層風(fēng)險(xiǎn)決策模型。

研究表明:獎(jiǎng)勵(lì)契約可以有效地調(diào)節(jié)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào),使得供應(yīng)鏈雙方獲得更多的利潤(rùn)。但是,對(duì)閉環(huán)供應(yīng)鏈以及渠道供應(yīng)鏈獎(jiǎng)勵(lì)的研究并不多[55-56],而且針對(duì)已有的銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約對(duì)下層考慮風(fēng)險(xiǎn)損失的研究并不多,運(yùn)用條件風(fēng)險(xiǎn)值測(cè)度也很少[57],因此將運(yùn)用條件風(fēng)險(xiǎn)值測(cè)度建立零售商的風(fēng)險(xiǎn)損失目標(biāo),提出一種供應(yīng)商與多個(gè)零售商的具有銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約的多隨從雙層風(fēng)險(xiǎn)決策模型,并提出了一種近似求解算法,通過(guò)給定的實(shí)際數(shù)據(jù),運(yùn)用模型可以獲得供應(yīng)商的獎(jiǎng)勵(lì)銷(xiāo)售閾值、獎(jiǎng)勵(lì)折扣和訂購(gòu)量的最優(yōu)策略。

風(fēng)險(xiǎn)估值VaR(Value at risk)是一種在風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)條件下和給定的置信水平區(qū)間內(nèi),估計(jì)金融資產(chǎn)或證券投資在給定的時(shí)間內(nèi)可能發(fā)生的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn),即可能遭受潛在的最大價(jià)值損失值,即資產(chǎn)損失的最高可能值?；跊Q策x下的β-VaR值可以表示為

αβ(x)=min{α|Pr[L(x,ξ)≤α]≥β}

(1)

式中:β(β∈(0,1])為給定的置信水平;L(x,ξ):Rm×Rn→R1為決策者的損失函數(shù);x為決策變量;ξ∈Rn為隨機(jī)變量。

Rockafellar等[58]提出了條件風(fēng)險(xiǎn)值模型(Conditional value at risk, CVaR)。CVaR是基于VaR表示下提出的另一種描述風(fēng)險(xiǎn)的工具,它具有許多的良好性質(zhì),避免了VaR一些缺陷,CVaR可以用來(lái)測(cè)量組合投資的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn),在給定的置信水平β下,描述組合投資x的損失超過(guò)VaR損失的累積損失,那么x決策下的β-CVaR值公式可以表示為

(2)

式中:F(·)為分布函數(shù);CVaR值為損失函數(shù)L(x,ξ)超過(guò)VaR值時(shí)的累積期望損失,CVaR風(fēng)險(xiǎn)值描述了市場(chǎng)不確定下引起的累積損失,也可以用于研究供應(yīng)鏈庫(kù)存訂購(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。

2 基于獎(jiǎng)勵(lì)契約下的多隨從雙層條件風(fēng)險(xiǎn)值決策模型

為了激勵(lì)零售商的銷(xiāo)售量,制造商或供應(yīng)商采用一種銷(xiāo)售數(shù)量激勵(lì)機(jī)制,稱(chēng)為銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約,即供應(yīng)商采用統(tǒng)一的批發(fā)價(jià),規(guī)定零售商按統(tǒng)一的銷(xiāo)售價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售,當(dāng)銷(xiāo)售量超過(guò)一定量的話,供應(yīng)商按一定的價(jià)格比例對(duì)零售商進(jìn)行利潤(rùn)獎(jiǎng)勵(lì),以刺激零售商想辦法進(jìn)行更多的銷(xiāo)售。因此,供應(yīng)商為了激勵(lì)零售商更多的訂貨,制定銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約,所有零售商必須滿(mǎn)足同一契約,鼓勵(lì)零售商盡可能多銷(xiāo)售,零售商希望從供應(yīng)商處訂購(gòu)更多的產(chǎn)品,這樣才有可能獲得銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì),供應(yīng)商對(duì)零售商實(shí)施銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)策略,不采用回購(gòu)策略,供應(yīng)商需要制定銷(xiāo)售多少才給出相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì),但是銷(xiāo)售量獎(jiǎng)勵(lì)閾值不能確定過(guò)高,否則零售商不能完成,零售商不會(huì)積極地銷(xiāo)售,或者訂購(gòu)更多的產(chǎn)品。

W={wj|j=0,1,2,…,n;0=w0<
w1

假設(shè)市場(chǎng)需求信息是公開(kāi)的,零售商在訂貨過(guò)程中,供應(yīng)商對(duì)所有零售商實(shí)施相同的獎(jiǎng)勵(lì)策略,零售商根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),確定訂貨量yi;供應(yīng)商則根據(jù)市場(chǎng)需求情況以及零售商的訂貨量確定批發(fā)價(jià)格。

當(dāng)供應(yīng)商給定批發(fā)價(jià)、獎(jiǎng)勵(lì)折扣和獎(jiǎng)勵(lì)閾值時(shí),當(dāng)供應(yīng)商批發(fā)價(jià)為a時(shí),第i個(gè)零售商的訂貨量為yi,供應(yīng)商考慮期望收益最大化,即

(3)

式中:a為制造商或供應(yīng)商確定商品批發(fā)價(jià)格;yi為第i個(gè)零售商根據(jù)批發(fā)價(jià)確定的訂貨量;w為供應(yīng)商確定的銷(xiāo)售量閾值,其中w屬于給定的閾值集合W;r為獎(jiǎng)勵(lì)折扣(因子);供應(yīng)商按商品每單位批發(fā)價(jià)a的ar元進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),其中r屬于折扣集合,即

式(3)中:ayi-arE(vi-w)+第1項(xiàng)為批發(fā)獲得的利潤(rùn),第2項(xiàng)為獎(jiǎng)勵(lì)損失,需要滿(mǎn)足(w,r)∈{(wj,rj)|j=1,2,…,n}。

零售商訂貨yi單位時(shí),零售商損失函數(shù)可以表示為

gi(w,r,yi,vi)=a(yi-vi)++(p-
a+ar)(vi-yi)++ar(w-vi)+

(4)

式中t+=max{t,0}。設(shè)Y為制造商提供零售商總的產(chǎn)品數(shù)量;p為零售商的產(chǎn)品零售價(jià)格;vi為第i個(gè)零售商產(chǎn)品需求(銷(xiāo)售量),是一個(gè)隨機(jī)變量;qi(vi)為第i個(gè)零售商產(chǎn)品需求對(duì)應(yīng)的概率分布密度函數(shù)。式(4)中第1項(xiàng)為過(guò)剩損失,第2項(xiàng)為缺貨損失,第3項(xiàng)為達(dá)不到獎(jiǎng)勵(lì)造成的獎(jiǎng)勵(lì)損失。給定置信水平αi(0<αi<1),定義第i(i=1,2,…,m)個(gè)零售商的VaR損失為

定義

得出結(jié)論為

則得到多隨從雙層規(guī)劃:

s.t.y1+y2+…+ym≤Y

(w,r)∈{(wj,rj)|j=1,2,…,n}

對(duì)于i=1,2,…,m,(yi,ti)是問(wèn)題Pi(w,r)的最優(yōu)解,即

s.t. 0≤yi≤Y,ti∈R1

s.t.y1+y2+…+ym≤Y

(w,r)∈{(wj,rj)|j=1,2,…,n}

對(duì)于i=1,2,…,m,(yi,ti)是下面問(wèn)題Pi(w,r)的最優(yōu)解,即

s.t. 0≤yi≤Y,ti∈R1

模型規(guī)劃2中目標(biāo)函數(shù)不是連續(xù)函數(shù),由于獎(jiǎng)勵(lì)折扣一般僅為有限多個(gè),采用下面一種近似計(jì)算方法:

1) 對(duì)每個(gè)i=1,2,…,m,求m個(gè)子問(wèn)題Pi((wj,rj))′(j=1,2,…,m),若得到第i零售商在每個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)(wj,rj)下的最優(yōu)解(yi(wj,rj),ti(wj,rj))(j=1,2,…,m)。

2) 求問(wèn)題的最優(yōu)解,即

s.t.y1(w,r)+y2(w,r)+…+ym(w,r)≤Y

(w,r)∈{(wj,rj)|j=1,2,…,n}

3 數(shù)值案例

對(duì)一個(gè)面包制造商和它的三家零售店的批發(fā)和訂購(gòu)調(diào)研,獲取了相應(yīng)的數(shù)值,根據(jù)調(diào)查產(chǎn)品的歷史銷(xiāo)售樣本數(shù)據(jù),計(jì)算出了一個(gè)近似概率分布(表1)。

表1零售商的銷(xiāo)量近似概率分布

Table1Distributionofsalesapproximationprobabilityoftheretailers

銷(xiāo)量零售商1零售商2零售商3<1000.050.020.011500.200.080.052000.300.100.132500.250.350.223000.100.280.323500.070.120.19>4000.030.050.08

為了測(cè)試獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)訂購(gòu)的影響,在表2中設(shè)h∈[1,20]為獎(jiǎng)勵(lì)折扣倍增系數(shù),銷(xiāo)售初始閾值增加系數(shù)k=1,2,3,4,5,6,7,8。已知數(shù)值實(shí)驗(yàn),固定值為:批發(fā)價(jià)a=10元/個(gè),零售價(jià)p=15元/個(gè),總生產(chǎn)量為900,置信水平α=0.95。數(shù)值實(shí)驗(yàn)的目的是在不同獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)確定供應(yīng)商的最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)閾值、最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣和生產(chǎn)總量范圍,以及零售商的最優(yōu)訂購(gòu)量。

表2產(chǎn)品的獎(jiǎng)勵(lì)契約閾值和獎(jiǎng)勵(lì)折扣范圍

Table2Thethresholdsandtherangeofincentivediscountsfromthemanufacturer

銷(xiāo)售閾值范圍獎(jiǎng)勵(lì)折扣>50+10k0.01h>50+20k0.02h>50+30k0.03h>50+40k0.04h

首先,取幾個(gè)不同的折扣因子,通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析8個(gè)不同起始因子下供應(yīng)商的最佳獎(jiǎng)勵(lì)閾值、最佳折扣和利潤(rùn),以及零售商的最優(yōu)訂購(gòu)量和風(fēng)險(xiǎn)損失變化。

圖1中5個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h分別為1,5,10,15,20,而8個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)k分別為1,2,…,8,其供應(yīng)商的最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)閾值為w。從圖1可以看出:一般當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)或獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)增大,最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值也增大,即提高獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)或起始閾值系數(shù)可以顯著提高最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)閾值。

圖1 不同倍增系數(shù)下的最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)閾值變化Fig.1 Change in optimal reward threshold under different multiplication coefficients

圖2為5個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h,8個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)k的供應(yīng)商的最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣r,從圖2可以看出:當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h>15時(shí),倍增系數(shù)增大時(shí)最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣增大,此時(shí),倍增系數(shù)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)折扣有顯著影響,但當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h<15,最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣不變或減小,即此時(shí)倍增系數(shù)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)折扣沒(méi)有影響,說(shuō)明大的倍增系數(shù)有利于提高獎(jiǎng)勵(lì)折扣。

圖2 不同倍增系數(shù)下的最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣變化Fig.2 Changes in optimal reward discount under different multiplication coefficients

圖3為5個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h,8個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)k的零售商的最優(yōu)訂購(gòu)總量y。從圖3可以看出:當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)增大時(shí)零售商最優(yōu)訂購(gòu)量增大,說(shuō)明獎(jiǎng)勵(lì)折扣提高,零售商的訂購(gòu)量提高,但是當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)不變且獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)增大時(shí)一般零售商的訂購(gòu)量會(huì)減小(如h=1,5,10,k>1),因?yàn)樘岣叱跏吉?jiǎng)勵(lì)閾值,零售商獲得的銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)會(huì)減少。

圖3 不同倍增系數(shù)下的最優(yōu)總訂購(gòu)量變化Fig.3 Changes in optimal total order volume under different multiplication coefficients

圖4為5個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h,8個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)k的零售商的最優(yōu)總損失。從圖4可以看出:當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h>10,增大倍增系數(shù),零售商損失也會(huì)增大,說(shuō)明雖然提高銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù),但是起始閾值提高后,零售商需要完成更多的銷(xiāo)售才能獲得獎(jiǎng)勵(lì);當(dāng)h<10時(shí),零售商損失隨著倍增系數(shù)增大時(shí)增加很少,說(shuō)明提高獎(jiǎng)勵(lì)折扣，零售商的風(fēng)險(xiǎn)損失會(huì)增大。

圖4 不同倍增系數(shù)下的零售商最優(yōu)總損失的變化Fig.4 Changes in the optimal total loss of retailers under different multiplication coefficients

圖5為5個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)h,8個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)起始閾值系數(shù)k的供應(yīng)商的最優(yōu)總利潤(rùn)。從圖5可以看出:當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)增大h>10,倍增系數(shù)增大時(shí),供應(yīng)商總利潤(rùn)增大,當(dāng)h<10時(shí),供應(yīng)商的總利潤(rùn)隨著倍增系數(shù)增大反而增加很少,這時(shí)零售商獲得獎(jiǎng)勵(lì)更多,說(shuō)明提高獎(jiǎng)勵(lì)折扣，供應(yīng)商的利潤(rùn)會(huì)增大。

圖5 不同倍增系數(shù)下的供應(yīng)商最優(yōu)總利潤(rùn)的變化Fig.5 Optimal change of the supplier’s total profits under multiplication coefficients

從圖1～5數(shù)值結(jié)果來(lái)看:初始獎(jiǎng)勵(lì)閾值增大,供應(yīng)商的最佳獎(jiǎng)勵(lì)閾值和折扣也增大,供應(yīng)商利潤(rùn)增大,但是零售商的損失風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增大,零售商的總訂購(gòu)量會(huì)適當(dāng)減少,零售商的總訂購(gòu)量不超過(guò)800,在獎(jiǎng)勵(lì)契約下,供應(yīng)商不需要生產(chǎn)超過(guò)800的總量,總的生產(chǎn)量范圍在700～800。供應(yīng)商確定較高的獎(jiǎng)勵(lì)閾值和獎(jiǎng)勵(lì)折扣,零售商會(huì)提高訂購(gòu)量,但風(fēng)險(xiǎn)增大比較明顯,供應(yīng)商應(yīng)根據(jù)零售商的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)確定最優(yōu)閾值和最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣,以保證供應(yīng)商自己能獲得更多的利潤(rùn)。所以倍增系數(shù)影響了最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)閾值和獎(jiǎng)勵(lì)折扣的確定,在同一個(gè)初始獎(jiǎng)勵(lì)閾值,同批發(fā)折扣契約相比,銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約對(duì)激勵(lì)零售商訂購(gòu)量增加的影響不如批發(fā)折扣契約。

通過(guò)模型規(guī)劃2數(shù)值實(shí)驗(yàn),總結(jié)了如何使用模型規(guī)劃2進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)批折扣契約制定,注意有3點(diǎn):

1) 收集銷(xiāo)售數(shù)據(jù),計(jì)算需求概率分布,確定訂購(gòu)量范圍與對(duì)應(yīng)的起始獎(jiǎng)勵(lì)閾值范圍和對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)折扣倍增系數(shù)。

2) 確定起始獎(jiǎng)勵(lì)閾值,首先在不同的總產(chǎn)量下,計(jì)算不同獎(jiǎng)勵(lì)閾值下的最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣和訂購(gòu)量,比較供應(yīng)商的利潤(rùn)和零售商的風(fēng)險(xiǎn),確定供應(yīng)商的起始獎(jiǎng)勵(lì)閾值和生產(chǎn)總量范圍。

3) 確定最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)折扣與最優(yōu)訂購(gòu)量,取置信水平0.95～0.99,在給定的起始獎(jiǎng)勵(lì)下計(jì)算最優(yōu)獎(jiǎng)勵(lì)閾值、獎(jiǎng)勵(lì)折扣和訂購(gòu)量,通過(guò)給定供應(yīng)商的期望利潤(rùn)目標(biāo)和零售商的風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo),確定在某個(gè)起始閾值下的供應(yīng)商最優(yōu)批發(fā)折扣和零售商最優(yōu)訂購(gòu)量范圍。

4 結(jié) 論

建立銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約的多隨從雙層條件風(fēng)險(xiǎn)值模型和計(jì)算方法,銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)目標(biāo)的總訂購(gòu)量決定了生產(chǎn)商的總產(chǎn)量,銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)最低閾值不能過(guò)低或過(guò)高,通過(guò)降低獎(jiǎng)勵(lì)閾值和提高獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)來(lái)增加零售商的訂購(gòu)量,但即使獎(jiǎng)勵(lì)閾值很低或獎(jiǎng)勵(lì)倍增系數(shù)很大,零售商的總訂購(gòu)量不會(huì)大幅度提高,因?yàn)槭艿戒N(xiāo)售需求限制,零售商提高訂購(gòu)量會(huì)增加供給過(guò)剩的需求,導(dǎo)致?lián)p失。因此,銷(xiāo)售獎(jiǎng)勵(lì)契約模型可以確定最優(yōu)的銷(xiāo)售閾值和倍增折扣,以保證供應(yīng)商有更多利潤(rùn),保證零售商有更低的風(fēng)險(xiǎn)損失。