，，，

(浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

納米材料具有優(yōu)異的性能[1-2]，但是韌性和塑性卻往往較低，為了克服納米材料的這一缺點(diǎn)，盧柯等在1999 年提出了梯度納米結(jié)構(gòu)材料的概念，該材料在空間上呈現(xiàn)出由納米級(jí)到微米級(jí)的梯度變化[3]。梯度納米結(jié)構(gòu)有別于不同特征尺寸結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單混合，沒(méi)有明顯的界面，因此可以有效避免尺寸突變引起的性能突變[4]。梯度納米結(jié)構(gòu)金屬具有明顯的強(qiáng)化效果，梯度層的屈服強(qiáng)度遠(yuǎn)高于基體。研究表明：梯度納米結(jié)構(gòu)金屬在強(qiáng)塑性匹配[5]、抗疲勞[6]和抗磨損[7]等方面具有非常突出的性能。

近年來(lái)，有限元模擬成為研究材料力學(xué)性能的一個(gè)重要手段。早期關(guān)于梯度納米結(jié)構(gòu)的研究中，Wei等[8]將梯度材料簡(jiǎn)化為同軸殼體和芯部，并調(diào)整殼體失效應(yīng)變和整體的體積分?jǐn)?shù)，研究了這兩個(gè)參數(shù)對(duì)材料整體拉伸性能的影響。Petit等[9]將梯度層分為納米層和過(guò)渡層，采用混合法則(The rule of mixture，ROM)和反演分析，獲得了納米層的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，并成功預(yù)測(cè)了拉伸試樣的頸縮點(diǎn)。Wu等[10]和Li等[11]提出了更加接近真實(shí)情況的多層模型，他們通過(guò)機(jī)械減薄的方法制備試樣，并采用拉伸實(shí)驗(yàn)逐層測(cè)定材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系。在Wu等[10]的研究中，考慮到材料梯度變化對(duì)各層力學(xué)性能的影響，需要盡可能減薄每層材料的厚度，這對(duì)試樣的制備是一大挑戰(zhàn)。此外，多層模型將梯度結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)孤立層，無(wú)法考慮各層之間的相互作用，因而梯度納米結(jié)構(gòu)中存在的協(xié)同強(qiáng)化效應(yīng)在多層模型中無(wú)法體現(xiàn)。為了簡(jiǎn)單快速獲取梯度納米結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，同時(shí)又體現(xiàn)材料的協(xié)同強(qiáng)化作用，需要提出新的方法。筆者首先基于顯微硬度—拉伸應(yīng)變之間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用顯微硬度與材料屈服強(qiáng)度之間的定量關(guān)系，建立每層材料的Hollomon型應(yīng)力—應(yīng)變硬化準(zhǔn)則和GTN損傷模型，進(jìn)而通過(guò)參數(shù)反演獲得材料參數(shù)；接著，利用上述本構(gòu)關(guān)系，采用基于混合法則的多層模型，建立有限元模型并進(jìn)行系統(tǒng)計(jì)算；然后，對(duì)比分析有限元模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)本構(gòu)關(guān)系的有效性；最后，詳細(xì)分析多軸應(yīng)力狀態(tài)的演化，并預(yù)測(cè)失穩(wěn)狀態(tài)發(fā)生的臨界條件。

1 梯度納米結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)關(guān)系

1.1 彈塑性本構(gòu)模型

梯度納米結(jié)構(gòu)薄板如圖1所示，芯部是粗晶基體，上下表層為梯度納米結(jié)構(gòu)層，晶粒尺寸由表及里呈現(xiàn)梯度分布。對(duì)應(yīng)于晶粒尺寸的梯度變化，梯度納米結(jié)構(gòu)材料的屈服強(qiáng)度由表及里呈梯度降低。單向均勻拉伸的開(kāi)始階段(軸向應(yīng)變?chǔ)旁跈M截面yz上均勻分布)，芯部材料首先發(fā)生塑性屈服并進(jìn)入應(yīng)變強(qiáng)化，而表層梯度納米結(jié)構(gòu)層仍處于彈性階段。隨著ε的進(jìn)一步增加，屈服區(qū)域由芯部逐漸向表層擴(kuò)展，直至全截面屈服。材料發(fā)生塑性流動(dòng)所需的軸向拉力，隨著變形量增大而增大。塑性流動(dòng)所需的真實(shí)應(yīng)力，等于該時(shí)刻的材料屈服應(yīng)力，亦稱流動(dòng)應(yīng)力。

圖1 梯度納米結(jié)構(gòu)薄板Fig.1 Schematic of gradient nanostructured plate

梯度納米結(jié)構(gòu)試樣單向拉伸(或壓縮)時(shí)，若材料處于彈性變形階段，軸向應(yīng)力σ與軸向應(yīng)變?chǔ)艥M足胡克定律，即

σ=Eε

(1)

彈性模量E作為一個(gè)表征原子間結(jié)合力大小的力學(xué)指標(biāo)，晶粒尺寸對(duì)其影響可以忽略不計(jì)，于是假設(shè)梯度納米結(jié)構(gòu)材料與粗晶材料具有相同的彈性模量。由單調(diào)拉伸實(shí)驗(yàn)[10]可得：彈性模量E=210 GPa和泊松比ν=0.3。隨著拉伸載荷的進(jìn)一步增大，材料進(jìn)入塑性屈服階段，此時(shí)假設(shè)所有材料單元都遵循Hollomon硬化準(zhǔn)則，即

Θ=KεN

(2)

式中：Θ為屈服應(yīng)力；K，N分別為應(yīng)變硬化系數(shù)和應(yīng)變硬化指數(shù)。梯度納米結(jié)構(gòu)材料力學(xué)性能的梯度變化，使得屈服應(yīng)力Θ與相對(duì)于表層的位置有關(guān)，即該參數(shù)為坐標(biāo)z的函數(shù)，因此無(wú)法基于常規(guī)拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定其數(shù)值。

梯度納米結(jié)構(gòu)薄板發(fā)生軸向拉伸時(shí)，由于應(yīng)變硬化效應(yīng)，不同深度下的顯微硬度都將隨著軸向塑性應(yīng)變的增大而增大。Wu等[12]測(cè)量了梯度納米結(jié)構(gòu)IF鋼在4 個(gè)不同軸向拉伸應(yīng)變(ε=0,0.048,0.095,0.223)下的維氏顯微硬度，獲得了不同應(yīng)變下顯微硬度沿梯度納米結(jié)構(gòu)厚度方向的分布，結(jié)果如圖2所示。由文獻(xiàn)[13-14]可知：材料的屈服應(yīng)力或流動(dòng)應(yīng)力可由顯微硬度換算而來(lái)，兩者存在的線性關(guān)系為

Θ=λ·Hv-σ0

(3)

式中：Hv為維氏顯微硬度；λ，σ0分別為材料常數(shù)。由于式(3)對(duì)于同一種材料具有通用性，因此可認(rèn)為式(3)適用于梯度納米結(jié)構(gòu)材料的任一材料單元。通過(guò)式(3)把實(shí)驗(yàn)測(cè)量的顯微硬度轉(zhuǎn)換為流動(dòng)應(yīng)力，可得不同軸向拉伸應(yīng)變下流動(dòng)應(yīng)力(屈服應(yīng)力)Θ沿梯度納米結(jié)構(gòu)層厚度方向的分布，即Θ(z)。當(dāng)軸向拉伸應(yīng)變?yōu)?時(shí)，材料沒(méi)有發(fā)生應(yīng)變硬化，此時(shí)測(cè)量所得的顯微硬度對(duì)應(yīng)于初始屈服應(yīng)力Θ0(z)。

圖2 不同拉伸應(yīng)變下的顯微硬度分布Fig.2 Microhardness distribution under different tension strains

此外，韌性金屬材料拉伸過(guò)程中，伴隨著微孔洞的形核、長(zhǎng)大和聚合，材料內(nèi)部的損傷不斷累積，直至試樣發(fā)生宏觀斷裂。GTN模型可以較好地表征上述材料損傷機(jī)制，其屈服面方程[15-16]為

(4)

式中：σe為Mises等效應(yīng)力；σm為靜水壓力；q1，q2，q3為損傷參數(shù)；f*為孔洞體積分?jǐn)?shù)函數(shù)。當(dāng)不考慮損傷時(shí)，即f*=0，GTN模型退化為Von Mises屈服準(zhǔn)則。令f，fc，ff分別為孔洞體積分?jǐn)?shù)、開(kāi)始聚合時(shí)的臨界孔洞體積分?jǐn)?shù)以及材料斷裂時(shí)的臨界孔洞體積分?jǐn)?shù)。若f≤fc，則f*=f；若f>fc，則f*=fc+(1/q1-fc)(f-fc)/(ff-fc)；若f≥ff，則f*=1/q1?？锥大w積分?jǐn)?shù)f的損傷演化方程[15-16]為

(5)

1.2 應(yīng)變硬化參數(shù)的識(shí)別

為了得到流動(dòng)應(yīng)力與顯微硬度的轉(zhuǎn)換關(guān)系，需要確定式(3)中的常數(shù)λ與σ0。Keryvin等[17]指出：鐵基金屬材料的λ值可取為2.8。由實(shí)驗(yàn)[12]可知：粗晶IF鋼的初始屈服應(yīng)力和維氏顯微硬度值分別為46 MPa和Hv=21.8 kg/mm2(0.213 GPa)[10]，則由式(3)可得σ0=15.1 MPa基于梯度納米結(jié)構(gòu)IF鋼在4 個(gè)不同軸向拉伸應(yīng)變(ε=0,0.048,0.095,0.223)下的維氏顯微硬度，利用顯微硬度與流動(dòng)應(yīng)力的關(guān)系式(3)，可以得到4 組流動(dòng)應(yīng)力—深度的數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖3所示。由于梯度結(jié)構(gòu)的微觀組織結(jié)構(gòu)由表及里呈現(xiàn)梯度變化，當(dāng)進(jìn)入塑性屈服階段后，即使軸向變形相同，軸向應(yīng)力—軸向應(yīng)變響應(yīng)也會(huì)呈現(xiàn)梯度變化。因此，把梯度納米結(jié)構(gòu)層劃分成等厚度的12 個(gè)薄層，每層的厚度為10 μm，假設(shè)每層材料具有相同的力學(xué)性能。利用Hollomon硬化準(zhǔn)則式(2)擬合每一薄層材料的流動(dòng)應(yīng)力—軸向應(yīng)變，結(jié)果如圖4所示，擬合得到的應(yīng)變硬化系數(shù)K和應(yīng)變硬化指數(shù)N列于表1。

圖3 不同軸向拉伸應(yīng)變下的流動(dòng)應(yīng)力分布Fig.3 Flow stress distribution under different tension strains

圖4 各層材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.4 The stress-strain relationships of each layer

Table1MaterialparametersofHollomonhardeningruleofeachlayer

z/μmΘ0/MPaK/MPaN0～106726910.004 610～206666860.005 020～306406620.005 830～406046360.008 840～505856300.013 050～605556180.018 060～705206030.025 070～804865940.033 080～904135770.050 090～1003205510.080 0100～1102395140.120 0110～1201494980.210 0>120465240.395 0

軸向均勻拉伸變形的梯度納米結(jié)構(gòu)材料薄板(圖1)，橫截面上的總軸向拉力F由粗晶層和梯度結(jié)構(gòu)共同承擔(dān)。當(dāng)薄板為純彈性變形時(shí)，軸向應(yīng)力在橫截面上均勻分布；若芯部進(jìn)入塑性變形階段，而梯度納米結(jié)構(gòu)層仍為彈性變形時(shí)，雖然總軸向應(yīng)變相同，但軸向應(yīng)力在橫截面上不再均勻分布。為了建立解析表達(dá)模型，假設(shè)梯度層中每一薄層內(nèi)的軸向應(yīng)力σi相等，并令Fi表示第i層的軸力。而粗晶層內(nèi)晶粒尺寸相同，因此粗晶層內(nèi)的軸向應(yīng)力σcg也相等，其合力為Fcg?；诨旌戏▌t(ROM)，可得

(6)

相應(yīng)的軸向名義應(yīng)力表達(dá)式為

(7)

式中：tcg，ti分別為粗晶層和梯度結(jié)構(gòu)第i層的厚度；tt為薄板總厚度。由文獻(xiàn)[10]中的試樣尺寸可知：tcg=380 μm，ti=10 μm，tt=500 μm，此時(shí)梯度結(jié)構(gòu)占比為24%。σcg，σi可分別由胡克定律式(1)和Hollomon硬化準(zhǔn)則式(2)得到，進(jìn)而由式(7)計(jì)算出不同軸向應(yīng)變時(shí)梯度納米結(jié)構(gòu)材料的名義軸向應(yīng)力Π，結(jié)果如圖5所示。顯然，數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[12]吻合較好，驗(yàn)證了表1中應(yīng)變硬化參數(shù)的有效性。

圖5 梯度納米結(jié)構(gòu) IF鋼的軸向應(yīng)力—軸向應(yīng)變曲線Fig.5 Axial stress-axial strain curve of gradient nanostructured IF steel

1.3 損傷參數(shù)的識(shí)別

在1.1中定義了9 個(gè)用于描述材料孔洞演化的參數(shù)。通常認(rèn)為q1，q2，q3與材料無(wú)關(guān)，其值取為q1=1.5，q2=1.0，q3=2.25。初始孔隙率f0可由材料組成確定，其值可取為0.002[15]。與空洞聚合相關(guān)的損傷參數(shù)εN，SN，對(duì)于多數(shù)材料來(lái)說(shuō)是獨(dú)立的，一般取為εN=0.3，SN=0.1。因此，需要基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定的損傷參數(shù)只有fc，fF，fN。

基于拉伸試樣的對(duì)稱性，建立如圖6所示的1/8有限元分析模型，用Abaqus進(jìn)行計(jì)算。為了模擬梯度納米結(jié)構(gòu)層的力學(xué)性能和應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)的梯度變化，網(wǎng)格劃分時(shí)遵循表層密集芯部稀疏的原則，單元類型為C3D8R。在試樣端部受到拉伸載荷作用時(shí)，中間標(biāo)距段內(nèi)具有相同的軸向應(yīng)變。由于梯度納米結(jié)構(gòu)層與粗晶層的微觀組織不同，因此GTN模型中各自的損傷參數(shù)也不相同。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，有限元模擬時(shí)采用2 套損傷參數(shù)(表2)，分別應(yīng)用于梯度結(jié)構(gòu)層與粗晶層，而不再對(duì)梯度結(jié)構(gòu)層做進(jìn)一步細(xì)分。通過(guò)有限元計(jì)算，得到了拉伸試樣的6 組載荷—位移曲線，如圖7所示。由圖7可知：No.2損傷參數(shù)的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[12]吻合程度最高。因此，梯度結(jié)構(gòu)層的損傷參數(shù)初步定為，fc=0.15，fF=0.25，fN=0.001，粗晶層的損傷參數(shù)為fc=0.15，fF=0.25，fN=0.01。

圖6 梯度納米結(jié)構(gòu)薄板的1/8有限元模型Fig.6 Finite element model of gradient nanostructured plate

No.梯度層fcfFfN粗晶層fcfFfN10.150.250.0010.150.250.03320.150.250.0010.150.250.01030.150.250.0010.150.250.00140.150.250.0010.150.500.01050.150.250.0010.250.250.01060.150.250.0100.150.250.010

圖7 軸向載荷—位移曲線Fig.7 Relationships between axial load and axial displacement

建立梯度層占比為16%，30%的有限元模型，驗(yàn)證上述損傷參數(shù)的有效性。有限元模擬得到的載荷—位移曲線如圖8所示。在損傷累積過(guò)程中，數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[12]吻合較好，因此可以斷定上述材料參數(shù)適用于任意梯度層占比的IF鋼。

圖8 不同梯度層占比時(shí)的軸向載荷—位移曲線Fig.8 Relationships between axial load and axial displacement for different ratio

2 應(yīng)力演化分析與頸縮預(yù)測(cè)

2.1 應(yīng)力狀態(tài)演化

把拉伸過(guò)程分為3 個(gè)階段：1) 材料整體處于彈性變形；2) 芯部粗晶層進(jìn)入塑性變形階段，梯度層靠近芯部的區(qū)域發(fā)生屈服，但其余部分仍處于彈性變形階段；3) 材料全截面屈服。通過(guò)分析不同位置的等效塑性應(yīng)變與軸向拉伸應(yīng)變的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)當(dāng)軸向拉伸應(yīng)變達(dá)到0.022%時(shí)芯部材料開(kāi)始發(fā)生屈服，軸向應(yīng)變繼續(xù)增大到0.32%時(shí)全截面屈服。有限元模擬結(jié)果表明：在上述3 個(gè)變形階段中，軸向應(yīng)力σx在拉伸過(guò)程中沒(méi)有特殊的變化，與均質(zhì)粗晶材料拉伸時(shí)的情況完全相同；應(yīng)力分量σxy，σxz趨近于零，應(yīng)力分量σz，σyz盡管不為0，但是比σy小1 個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，以下僅討論側(cè)向應(yīng)力σy的演化。

在3 個(gè)拉伸階段中選取4 個(gè)代表性拉伸應(yīng)變，提取模型中對(duì)稱截面(X=0截面)上所有材料點(diǎn)的σy值，結(jié)果如圖9所示。由圖9(a)可知：當(dāng)材料整體處于彈性變形階段時(shí)，側(cè)向應(yīng)力σy接近于0，可以認(rèn)為此時(shí)試樣處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)芯部粗晶發(fā)生塑性屈服時(shí)，如圖9(b)所示，此時(shí)接近表面的梯度層內(nèi)的σy為負(fù)值，而芯部粗晶和相鄰梯度層內(nèi)的σy為正值，在正負(fù)應(yīng)力變換處有非常大的應(yīng)力梯度。由圖9(c)可知：在材料全斷面屈服的初始階段，由于梯度層的應(yīng)變硬化程度較小，依然處于表面受拉芯部受壓的應(yīng)力狀態(tài)。由圖9(d)可知：進(jìn)一步增大軸向拉伸應(yīng)變至3.7%，此時(shí)梯度層的應(yīng)變硬化程度已經(jīng)非常大，應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生反轉(zhuǎn)，呈現(xiàn)出表面受壓芯部受拉的應(yīng)力狀態(tài)，但是相對(duì)于圖9(b)所示結(jié)果，應(yīng)力數(shù)值顯著減小。

圖9 不同應(yīng)變下 X=0截面上σy分布Fig.9 Distribution of σy at the X=0 cross section for different strains

為了深入研究側(cè)向應(yīng)力σy隨軸向應(yīng)變的演化規(guī)律，提取圖6中路徑1上各材料點(diǎn)的σy值，繪制不同軸向拉伸應(yīng)變下σy與深度的關(guān)系曲線，結(jié)果如圖10所示。當(dāng)ε<0.022%時(shí)，即材料整體處于彈性變形，σy=0。隨著ε的進(jìn)一步增大，芯部粗晶首先屈服，此時(shí)梯度層內(nèi)的σy為負(fù)而粗晶內(nèi)的σy為正，并且σy不斷增大。當(dāng)ε增大到0.32%時(shí)，材料全斷面塑性屈服，σy達(dá)到其最大值-62 MPa。其后，隨著ε增大σy逐漸減小，直至ε增加到2.1%左右時(shí)梯度層與粗晶內(nèi)σy的符號(hào)反轉(zhuǎn)。顯然，隨著軸向拉伸應(yīng)變的不斷增大，梯度納米結(jié)構(gòu)材料經(jīng)歷了如圖11所示的3 種應(yīng)力狀態(tài)，依次為純彈性變形時(shí)的單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)、表層受壓芯部受拉的多軸應(yīng)力狀態(tài)和表層受拉芯部受壓的多軸應(yīng)力狀態(tài)。

圖10 側(cè)向應(yīng)力σy的演化Fig.10 Evolution of lateral stress component σy

圖11 梯度納米結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)力狀態(tài)演化Fig.11 Evolution of stress state of gradientnanostructured material

2.2 失穩(wěn)分析

梯度納米結(jié)構(gòu)材料發(fā)生頸縮時(shí)的臨界應(yīng)變?chǔ)與r，可由Considère準(zhǔn)則[11]進(jìn)行預(yù)測(cè)為

dF/dε=0

(8)

在拉伸應(yīng)變?cè)龃蟮溅與r之前，拉力隨著ε的增大而不斷增大，此時(shí)dF/dε>0。當(dāng)拉伸應(yīng)變大于εcr以后，拉力隨著ε的增大而不斷減小，此時(shí)dF/dε<0。

當(dāng)材料發(fā)生拉伸失穩(wěn)時(shí)，軸向拉伸應(yīng)變?chǔ)胖袕椥詰?yīng)變的比重極小，因此可把ε看作純塑性應(yīng)變。此時(shí)，梯度納米結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)，可用理想剛塑性模型表示?；谑?2，6，7)，可以得到軸向拉力表達(dá)式為

(9)

(10)

利用式(10)，可以得到不同梯度層占比(16%，24%，30%)情況下的臨界失穩(wěn)應(yīng)變，分別為0.306，0.265，0.234。

此外，基于有限元計(jì)算得到的軸向拉力—軸向應(yīng)變關(guān)系曲線，利用Considère準(zhǔn)則提取曲線中軸向拉力的最大值點(diǎn)，也可以方便地確定出不同梯度層占比時(shí)的臨界應(yīng)變。當(dāng)梯度層占比為16%，24%，30%時(shí)，相應(yīng)的臨界失穩(wěn)應(yīng)變分別為0.294，0.260，0.233。兩種方法確定出的結(jié)果同時(shí)繪制在圖12中，顯然兩者具有很好的一致性。

圖12 Considère準(zhǔn)則預(yù)測(cè)的頸縮起始點(diǎn)Fig.12 Neck initiation predicted by considère criterion

3 結(jié) 論

基于顯微硬度與流動(dòng)應(yīng)力的內(nèi)在關(guān)系可以建立梯度納米結(jié)構(gòu)IF鋼的本構(gòu)模型。由模擬與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)：該本構(gòu)模型可以反映梯度納米材料的協(xié)同強(qiáng)化效應(yīng)，準(zhǔn)確表征梯度納米結(jié)構(gòu)IF鋼的拉伸力學(xué)性能。模擬結(jié)果表明：梯度納米結(jié)構(gòu)IF鋼在拉伸時(shí)呈現(xiàn)出復(fù)雜的多軸應(yīng)力狀態(tài)，除了軸向拉應(yīng)力外，拉伸截面上還存在變化的側(cè)向應(yīng)力。變形初期側(cè)向應(yīng)力為表面受壓芯部受拉，變形增大后則演化為表面受拉芯部受壓。通過(guò)有限元方法得到梯度層占比為16%，24%，30%的臨界失穩(wěn)應(yīng)變分別為0.294，0.260，0.233，該數(shù)據(jù)與理論結(jié)果基本一致，說(shuō)明了有限元模擬預(yù)測(cè)臨界失穩(wěn)的方法是可行的。