，，

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,杭州 310018)

0 引言

Markov跳變系統(tǒng)作為一類特殊的隨機(jī)混雜系統(tǒng)，不同模態(tài)之間可以通過(guò)Markov鏈來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)移。由于此特性，在過(guò)去的幾年中Markov跳變系統(tǒng)得到了學(xué)者們廣泛的研究[1-2]，其中包括穩(wěn)定性分析以及控制器設(shè)計(jì)等。

隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，通信模式由傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)方式轉(zhuǎn)變?yōu)橹悄芫W(wǎng)絡(luò)方式，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(network control systems，NCSs)應(yīng)運(yùn)而生，NCSs相比較于以往的控制系統(tǒng)具有低成本、方便安裝與維護(hù)等等優(yōu)點(diǎn)。NCSs是通過(guò)數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)將被控對(duì)象、傳感器、控制器以及執(zhí)行器等控制節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)的閉環(huán)控制系統(tǒng)。但是，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的有限性帶來(lái)了許多諸如數(shù)據(jù)包丟失、時(shí)延、量化誤差等新的問題，針對(duì)這些問題在過(guò)去的幾年中出現(xiàn)了大量的研究成果[3]。事件觸發(fā)機(jī)制能夠有效的避免網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)因占用大量網(wǎng)絡(luò)資源而引起的問題因此得到了廣泛的研究[4]。何為事件觸發(fā)機(jī)制，即只有當(dāng)采樣數(shù)據(jù)滿足一定條件時(shí)才能繼續(xù)傳輸下去。相比于傳統(tǒng)的周期觸發(fā)方式，事件觸發(fā)能夠有效地節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。近年來(lái)，學(xué)者們提出了不同的事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)盡可能的最小化通信資源的使用。文獻(xiàn)[5]研究了具有狀態(tài)和輸入雙重量化的網(wǎng)絡(luò)化奇異系統(tǒng)的事件觸發(fā)H∞控制問題且進(jìn)一步設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器。文獻(xiàn)[6]解決了具有分組丟失的事件觸發(fā)的(NCSs)的量化穩(wěn)定的問題，同樣的這篇文章設(shè)計(jì)的也是狀態(tài)反饋控制器。然而，狀態(tài)反饋控制器要求所有狀態(tài)變量都是可觀測(cè)的，這在實(shí)際工程中很難實(shí)現(xiàn)，因此輸出反饋的研究隨之產(chǎn)生。文獻(xiàn)[7]針對(duì)Markov跳變系統(tǒng)，在測(cè)量輸出量化的情況下研究了事件觸發(fā)H∞輸出反饋控制問題。Peng等[8]研究了非均勻采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的事件觸發(fā)H∞輸出反饋控制。上述兩篇文章都設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器但都是針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)而言的。就目前現(xiàn)有的研究成果來(lái)看，有關(guān)離散Markov跳變系統(tǒng)的事件觸發(fā)機(jī)制的研究并不多。

另一種解決網(wǎng)絡(luò)帶寬有限所帶來(lái)的問題的方法即為量化，在通過(guò)有限的通信信道發(fā)送信號(hào)之前量化信號(hào)是必不可少的。因此，有關(guān)控制信號(hào)量化方面的問題引起了學(xué)者們廣泛的研究。Xiao等[9]討論了單輸入Markov跳變線性系統(tǒng)的模依賴量化狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。上述文章考慮了控制器與執(zhí)行器之間的量化情況，在實(shí)際過(guò)程中傳感器對(duì)被控對(duì)象采樣的控制信號(hào)同樣需要量化。

近幾年來(lái)，關(guān)于離散Markov跳變系統(tǒng)的研究不斷深入。文獻(xiàn)[10]研究了具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延遲的離散Markov跳變系統(tǒng)基于事件觸發(fā)的H∞濾波問題。Rasool等[11]研究了具有自適應(yīng)量化密度或有限信息的離散系統(tǒng)魯棒H∞輸出反饋控制器設(shè)計(jì)。到目前為止，將離散Markov跳變系統(tǒng)和事件觸發(fā)機(jī)制結(jié)合的研究成果較少。

綜上所述，本文研究基于事件觸發(fā)機(jī)制的離散Markov跳變系統(tǒng)量化H∞輸出反饋控制。主要工作如下：(1)為了減小網(wǎng)絡(luò)帶寬所帶來(lái)的影響，引入事件發(fā)生器和量化器；(2)結(jié)合離散Markov跳變系統(tǒng)，建立了將事件觸發(fā)方案，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延，量化結(jié)合起來(lái)的統(tǒng)一系統(tǒng)模型；(3) 使用Jenson不等式降低系統(tǒng)保守性，從而獲得保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件并設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器。

注釋1：Rn和Rn×m分別表示n維的歐氏空間和n×m階實(shí)矩陣集合，上標(biāo)T和-1分別表示向量或矩陣的換位和矩陣逆。符號(hào)P>0表示P是實(shí)對(duì)稱正定。I和0分別表示單位矩陣和零矩陣。diag{…}表示對(duì)角矩陣。此外，使用*表示對(duì)稱矩陣的對(duì)稱項(xiàng)。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下所示線性離散Markov跳變系統(tǒng)：

(1)

其中x(k)∈Rn，y(k)∈Rm，u(k)∈Rw，z(k)∈Rp分別表示狀態(tài)向量，測(cè)量輸出，控制輸入，控制輸出，ω(k)∈Rq表示服從于L2∈[0,∞)的外部擾動(dòng)。A(rk),B(rk),Bw(rk),C1(rk),C2(rk),D(rk),為與rk相關(guān)的且有著適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，系統(tǒng)模態(tài)rk是隨著k在有限集S={1,2,3…N}中取值的Markov隨機(jī)過(guò)程。πij表示從模態(tài)i跳變到模態(tài)j且滿足以下條件：

Pr(rk+1=j|rk=i)=πij

(2)

為了方便書寫，當(dāng)rk=i時(shí)，將A(rk),B(rk),Bw(rk),C1(rk),C2(rk),D(rk),分別記為Ai,Bi,Bwi,C1i,C2i,Di。

假設(shè)1：在系統(tǒng)的兩個(gè)通道里都存在網(wǎng)絡(luò)通信時(shí)延。其中，傳感器與控制器之間的時(shí)延為τsc(k)，控制器與執(zhí)行器之間的時(shí)延為τca(k)，總的時(shí)延為τ(k)=τsc(k)+τca(k)且τ(k)∈[τm,τM]。

假設(shè)2：傳感器是時(shí)間驅(qū)動(dòng)，控制器、執(zhí)行器和量化器均為事件驅(qū)動(dòng)。通信網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)是單包傳輸，且沒有數(shù)據(jù)包的丟失。

1.2 基于事件觸發(fā)機(jī)制的系統(tǒng)模型

為了減少網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)擔(dān)且保證系統(tǒng)性能，我們?cè)趥鞲衅骱涂刂破髦g引入事件發(fā)生器。與文獻(xiàn)[12]類似，當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)y(k)會(huì)馬上傳輸?shù)绞录l(fā)生器，最新的信息能否傳輸?shù)娇刂破魅Q于以下條件：

[y(k)-y(sl)]TΦi[y(k)-y(sl)]>σiyT(k)Φiy(k)

(3)

其中：Φi∈Rm為待設(shè)計(jì)的正定加權(quán)對(duì)稱矩陣，k∈N,sl∈N,σi∈[0,1)。y(k),y(sl)分別表示當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)和最新傳輸數(shù)據(jù)。如果采樣數(shù)據(jù)滿足(3)，那么數(shù)據(jù)將會(huì)傳輸?shù)娇刂破鳟?dāng)中。

[y(sl+r)-y(sl)]TΦi[y(sl+r)-y(sl)]>

σiyT(sl+r)Φiy(sl+r)

綜上我們將[sl+τsl,sl+1+τsl+1-1]分成以下幾段：

(4)

定義：

(5)

接著定義誤差向量：

(6)

根據(jù)(3)-(6)，當(dāng)k∈[sl+τsl,sl+1+τsl+1-1]時(shí)有：

(7)

為了進(jìn)一步減少通信負(fù)擔(dān)，在傳感器與控制器之間引入對(duì)數(shù)量化器fi(·)，假設(shè)不同模態(tài)的量化器相同因此記fi(·)=f(·)。量化器f(·)定義為f(y)=[f1(y1)f2(y2) …fn(yn)]T，對(duì)數(shù)量化器fs(ys)(s=1,2,…,n)定義如下：

(8)

(9)

設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器為：

(10)

結(jié)合(6)～(10)可以得到:

(11)

將(11)代入(1)中，得到以下閉環(huán)控制系統(tǒng)：

(12)

在本節(jié)結(jié)束之前，我們給出了系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定和H∞性能指標(biāo)的定義以及一些重要的引理。

定義1：當(dāng)外界擾動(dòng)ω(k)=0時(shí)，對(duì)任意初始條件，系統(tǒng)(12)滿足:

(13)

那么，系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的。

定義2：對(duì)于任意ω(k)≠0,ω(k)∈L2[0,∞)，在零初始條件下，控制器輸出z(k)滿足:

E{‖z(k)‖2<‖ω(k)‖2}

(14)

則系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的且H∞性能指標(biāo)γ>0。

引理1[16]：對(duì)于任意實(shí)數(shù)ρ，矩陣R>0,XT=X滿足以下不等式：

-XR-1X≤ρ2R-2ρX

引理2[17]：對(duì)于給定的對(duì)稱矩陣E1和任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣E2,E3，那么：

對(duì)于所有滿足ΔT(k)Δ(k)≤I的Δ(k)，當(dāng)且僅當(dāng)存在ε>0時(shí)，使得以下式子成立：

引理3[18]：對(duì)于任意正定矩陣M∈Rn*n，標(biāo)量d1,d2∈Z(d1≤d2)，向量w(k)∈Rn,k∈[d1,d2]，則有如下不等式成立：

2 主要結(jié)果

基于上節(jié)建立的離散Markov跳變時(shí)延系統(tǒng)模型，本節(jié)將給出閉環(huán)系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)結(jié)論。

2.1 穩(wěn)定性分析

以下將給出系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定的一個(gè)判據(jù)定理1，為接下來(lái)的控制器設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

定理1 對(duì)于給定標(biāo)量γ>0,τM,τm，增益矩陣Ki以及觸發(fā)系數(shù)0≤σi<1，如果存在正定對(duì)稱矩陣Pi>0,Q1>0,Q2>0,R1>0,R2>0,Φi>0(i∈S)，滿足以下線性矩陣不等式：

(15)

(16)

其中：

Λ11=-Pi+Q1+Q2-R1

Λ33=-Q1-R1-R2,Λ44=-Q2-R2Γ1=

有限集S={1,2,3…N}。

那么，閉環(huán)系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的且具有H∞性能指標(biāo)γ>0(此處直接寫gama即可，不用強(qiáng)調(diào)大于0)。

證明： 針對(duì)系統(tǒng)(12)，構(gòu)造如下所示的Lyapunov-Krasovskii 泛函：

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)+V4(k)+V5(k)

(17)

其中：

V1(k)=xT(k)Pix(k)

η(l)=x(l+1)-x(l)

當(dāng)外部擾動(dòng)ω(k)=0時(shí)，求ΔV(k)。

E{ΔV2(k)}=E{xT(k)Q1x(k)-xT(k-τM)Q1x(k-τM)}

E{ΔV3(k)}=E{xT(k)Q2x(k)-xT(k-τm)Q2x(k-τm)}

E{ΔV5(k)}=E{(τM-τm)2ηT(k)R1η(k)-

利用引理3的Jenson不等式可以得到：

E{ΔV(k)}≤ξT(k)∑ξ(k)

其中：

根據(jù)Schur補(bǔ)引理可得如果(15)～(16)成立，那么系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的。

接下來(lái)證明系統(tǒng)(12)的H∞性能，當(dāng)ω(k)≠0時(shí)，可得：

E{ΔV(k)}=E{ΔV(k)}+zT(k)z(k)-γ2ωT(k)ω(k)-

zT(k)z(k)+γ2ωT(k)ω(k)=

ξT(k)Ψξ(k)-zT(k)z(k)+γ2ωT(k)ω(k)

其中：

根據(jù)Schur補(bǔ)引理可得(15)保證Ψ<0，因此如果(15)～(16)成立，那么系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的且具有H∞性能指標(biāo)γ>0。證畢。

注釋2：在證明定理1的過(guò)程中，通過(guò)使用Jenson不等式得到是線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件并且降低系統(tǒng)的保守性。在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中為了降低系統(tǒng)的保守性常常引入適當(dāng)維數(shù)的自由矩陣，雖然此方法能夠達(dá)到所需的效果可是卻大大增加了計(jì)算的復(fù)雜度而Jenson不等式則可以有效的避免這個(gè)問題。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

在定理1的基礎(chǔ)上，我們?cè)O(shè)計(jì)了輸出反饋控制器使得系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定。以下給出了具體控制器的設(shè)計(jì)方法。

(18)

(19)

(20)

其中：

βi=diag{-M1,…,-Mi-1,-Mi+1,…,-MN}

那么，閉環(huán)系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的且具有H∞性能指標(biāo)γ>0。

證明： 矩陣不等式(15)等價(jià)于：

(21)

其中：

注釋3：由于Δf為不確定項(xiàng)因此無(wú)法使用Matlab當(dāng)中的LMI工具箱進(jìn)行求解，所以需對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換具體方法如下：

利用引理2可得，存在實(shí)數(shù)ε>0使得式(21)轉(zhuǎn)變?yōu)橐韵虏坏仁剑?/p>

(22)

(23)

(24)

其中：

由于YiC1i=C1iMi不是嚴(yán)格的不等式，于是我們將其轉(zhuǎn)化：

接著，將(16)左右同時(shí)乘以Mi可得：

(25)

利用Schur補(bǔ)引理可知(25)等價(jià)于(19)。

綜上所述，如果(18)～(20)成立，那么系統(tǒng)(12)是漸近穩(wěn)定的且具有H∞性能指標(biāo)γ>0。證畢。

注釋4：在推導(dǎo)定理2的過(guò)程中，最大的困難在于如何解決KiC1iMi這樣的非線性項(xiàng)的問題。在Zha等[7]的啟發(fā)下，我們成功地克服了這個(gè)問題并且針對(duì)離散Markov跳變系統(tǒng)提出了一種新的靜態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法。

注釋5：近些年來(lái)，盡管有一些文獻(xiàn)已經(jīng)提出了靜態(tài)輸出反饋控制[19]，但很難用于即存在事件觸發(fā)機(jī)制又帶有量化的離散Markov跳變系統(tǒng)。定理2給出的新方法無(wú)疑對(duì)具有量化的網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)的事件觸發(fā)輸出反饋H∞控制器的設(shè)計(jì)是有效的。

3 數(shù)值仿真

假設(shè)系統(tǒng)(12)有兩個(gè)模態(tài)描述如下：

模態(tài)1：

模態(tài)2：

針對(duì)該系統(tǒng)，我們考慮以下情況。對(duì)數(shù)量化器量化指標(biāo)相同δ=0.1,給定最小時(shí)延τm=0.01時(shí)。根據(jù)定理2通過(guò)求解LMIs得到不同觸發(fā)系數(shù)σi與最大時(shí)延τM的關(guān)系如表1所示，從中我們可以容易地看出，觸發(fā)系數(shù)越σi大，最大時(shí)延τM越小，這表示系統(tǒng)時(shí)延減小，但系統(tǒng)的性能下降。

表1 不同觸發(fā)系統(tǒng)下對(duì)應(yīng)的最大時(shí)延

當(dāng)觸發(fā)系數(shù)給定為σ1=σ2=0.1時(shí)，可以得到不同量化指標(biāo)δ與最大時(shí)延τM的關(guān)系如表2所示，從中可以看出量化使得最大時(shí)延τM有所減小，這也表明了本文提出的能夠減小網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)載。

綜上所述，給定觸發(fā)系數(shù)σ1=σ2=0.1，最大時(shí)延τM=0.5，量化指標(biāo)δ=0.1，γ=4通過(guò)定理3利用LMI工具箱得到以下數(shù)據(jù)：

表2 不同量化指標(biāo)下對(duì)應(yīng)的最大時(shí)延

輸出反饋增益：K1=0.0539,K2=-0.2830.

觸發(fā)矩陣：

注釋6：Markov 跳變系統(tǒng)可以用來(lái)模擬許多具有突變特性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，比如生化系統(tǒng)，電力系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)以及網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。近年來(lái)，將事件觸發(fā)機(jī)制與量化結(jié)合考慮的文章有很多，例如文獻(xiàn)[7]主要研究的是連續(xù)的Markov跳變系統(tǒng)，就目前而言離散Markov跳變系統(tǒng)方面的研究還是有限的。這就更加說(shuō)明了本文研究的必要性。在本文的仿真例子中，網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包存在于傳感器、控制器以及執(zhí)行器三者之間的信息傳輸通道中，而我們將這些隨機(jī)特性用 Markov 鏈來(lái)表示，再結(jié)合事件觸發(fā)和量化進(jìn)而建立一個(gè)新的系統(tǒng)模型并對(duì)該模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

圖1 模態(tài)切換圖

圖2 狀態(tài)響應(yīng)圖

圖3 事件觸發(fā)時(shí)刻圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于事件觸發(fā)機(jī)制的離散Markov跳變系統(tǒng)的量化H∞輸出反饋控制。在考慮到網(wǎng)絡(luò)帶寬有限導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)資源不合理利用地情況下，引入了事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)決定采樣信號(hào)能否傳遞。另一方面在傳感器與控制器之間引入對(duì)數(shù)量化器。在結(jié)合分析網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的基礎(chǔ)上，將事件觸發(fā)，量化以及離散Markov跳變系統(tǒng)統(tǒng)一起來(lái)建立了一個(gè)新的系統(tǒng)模型。利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法得到使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器。最后通過(guò)仿真實(shí)例說(shuō)明本文設(shè)計(jì)方法的有效性。