柯知非，高 敏，王 毅，程 呈，宋謝恩

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

0 引言

彈道修正彈是指通過采用彈道修正技術(shù)，減小傳統(tǒng)彈藥的射擊散布以及圓概率誤差值。彈道修正彈在飛行彈道的恰當(dāng)弧段上能夠根據(jù)彈箭偏離預(yù)定軌跡或偏離目標(biāo)的情況，通過使用燃?xì)鈩?dòng)力(脈沖的或連續(xù)的)或利用空氣阻力對(duì)彈道做低次數(shù)或短時(shí)間的修正，從而減少彈道偏差，向固定目標(biāo)或移動(dòng)目標(biāo)靠近，從而較大幅度提高了射擊密集度和對(duì)目標(biāo)的命中概率[1]。

當(dāng)前，基于傳統(tǒng)的6自由度的彈道模型，已經(jīng)很成熟，有許多著作對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)的論述與研究[1-6]。以上著作中，盡管采用的坐標(biāo)系、投影方法與描述外彈道的參數(shù)方法不完全相同，但基本上是采用牛頓-歐拉(Newton-Euler)法建立的6自由度運(yùn)動(dòng)方程。以上模型雖能較好的對(duì)普通彈丸進(jìn)行彈道解算與彈道特性分析，但無法準(zhǔn)確描述修正組件與彈體之間的關(guān)系。

針對(duì)此問題，Gagnon E和Lauzon M等將固定鴨舵產(chǎn)生的力和力矩施加在普通榴彈上，采用6自由度剛體彈道模型對(duì)彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述[7]。該模型雖可應(yīng)用于彈丸的彈道特性分析，但應(yīng)用于彈道解算時(shí)將會(huì)引入不能準(zhǔn)確描述彈丸受力的模型誤差。Wernert等針對(duì)155 mm鴨舵式雙旋炮彈進(jìn)行了開環(huán)彈道仿真研究和風(fēng)動(dòng)試驗(yàn)[8]，他假設(shè)前體組件制動(dòng)后可完全減旋，在此情況下建立了6自由度運(yùn)動(dòng)方程，并通過彈丸攻角對(duì)舵偏響應(yīng)進(jìn)行了極坐標(biāo)圖分析。該模型在鴨舵的修正能力和穩(wěn)定性的研究上有一定的意義，但在無控飛行和控制策略的擬定上有所欠缺。

為研究前后體(軸承將彈丸結(jié)構(gòu)分成兩部分，分別稱為前體和后體)質(zhì)量比和軸承摩擦力對(duì)無控狀態(tài)下彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，Costello M針對(duì)雙旋結(jié)構(gòu)彈丸建立了7自由度剛體彈道模型[9]，并對(duì)無控狀態(tài)下的彈道特性進(jìn)行了研究，指出軸承摩擦力和前后體彈丸的質(zhì)量比是影響無控狀態(tài)下彈丸彈道特性的主要因素。該模型中，彈丸的前體和后體為較為一般的概念，即軸承的安裝位置及彈丸前后體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不確定，雖具有無控狀態(tài)下雙旋結(jié)構(gòu)彈丸彈道特性的一般規(guī)律，但由于其不能有針對(duì)性地描述彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不能作為二維彈道修正彈用于彈道解算的彈道模型。Wernert P、Theodoulis S等針對(duì)ISL正研發(fā)的CCF彈道修正引信建立了7自由度剛體彈道模型[10]。然而在建模過程中，僅在普通榴彈的剛體彈道模型基礎(chǔ)上添加了描述鴨舵滾轉(zhuǎn)狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，未討論鴨舵和彈體間的相互作用。

針對(duì)以上問題，本文在前人研究的基礎(chǔ)之上，通過分析修正組件與彈體之間的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，建立其運(yùn)動(dòng)約束關(guān)系，選擇適宜的坐標(biāo)系，利用多剛體理論建立起完整的適用于多種型號(hào)的修正彈彈道模型。

1 飛行原理

彈道修正彈所搭載的二維修正組件，是在傳統(tǒng)引信的基礎(chǔ)上增加彈道測(cè)量、飛行控制、舵機(jī)、電源等，使其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外形尺寸均發(fā)生了較大變化，修正組件結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

彈丸出炮口后，在空氣作用下差動(dòng)舵上形成導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩，使修正組件相對(duì)于彈體反向旋轉(zhuǎn)。當(dāng)彈丸飛行至預(yù)定區(qū)域后，舵機(jī)收到飛控系統(tǒng)指令，差動(dòng)舵增大差動(dòng)角，在空氣阻力的作用下使前體修正組件轉(zhuǎn)速進(jìn)一步衰減，進(jìn)而相對(duì)地面系靜止，而后體彈體幾乎不受影響，仍處在較高轉(zhuǎn)速以保持陀螺穩(wěn)定。同時(shí)，同向舵在飛控算法的作用下進(jìn)行實(shí)時(shí)舵偏角控制，實(shí)現(xiàn)彈道的修正，修正組件外形示意圖如圖2所示。

圖2 二維彈道修正引信外形示意圖Fig.2 Contour diagram of 2D trajectory correctionfuze

為建立更為精確的彈道模型,需準(zhǔn)確描述修正組件與彈體之間的關(guān)系,采用多剛體理論對(duì)該型彈丸兩部件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相互作用進(jìn)行分析，建立起描述兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相互作用的數(shù)學(xué)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)單獨(dú)考慮舵片受力的方案進(jìn)行研究，并建立分別應(yīng)用于彈道解算和彈道特性分析的多剛體彈道模型。

2 彈道建模

2.1 雙旋運(yùn)動(dòng)分析

如圖1、圖2所示，定義修正組件為前體(Forebody，F(xiàn)B)，去掉引信部分的修正彈作為后體(Afterbody，AB),兩者之間通過螺紋連接，兩者軸線重合(不計(jì)安裝誤差)，則兩者軸向運(yùn)動(dòng)的角速度相同，但兩者繞軸線自轉(zhuǎn)的滾轉(zhuǎn)角速度不同。在不考慮修正組件和彈體間氣動(dòng)耦合的情況下，分別視兩者為剛體來研究其運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系和相互作用。

2.1.1FB與AB的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

設(shè)彈丸質(zhì)量、修正組件質(zhì)量和彈體質(zhì)量分別為m、mf和ma，本文中所提到的彈體指代的是彈丸去掉引信后的部分(即后體)，且三者質(zhì)心分別為G、Gf和Ga，則有

(1)

式(1)中，la、lf分別為彈丸質(zhì)心G到修正組件質(zhì)心Gf、彈丸質(zhì)心G到彈體質(zhì)心Ga的矢量。

設(shè)彈丸質(zhì)心的速度為v，則修正組件質(zhì)心速度和彈體質(zhì)心速度分別為：

(2)

(3)

設(shè)彈丸質(zhì)心的加速度為 ，則修正組件質(zhì)心加速度和彈體質(zhì)心加速度分別為：

(4)

綜上可得描述修正組件和彈體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2.1.2FB與AB的相互作用

無控狀態(tài)下，修正組件和彈體之間的力和力矩通過軸承傳遞。有控狀態(tài)下，則需要添加制動(dòng)器產(chǎn)生的兩者之間的控制力矩，控制力矩方向在彈丸的軸線方向。修正組件所受力和力矩可表示為：

(5)

式(5)中，F(xiàn)fq、Mfq為修正組件所受的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩，F(xiàn)fa、Mfa為彈體對(duì)修正組件作用的力和力矩(包含控制力矩)， 為修正組件所受重力。同理，彈體所受力和力矩可表示為：

(6)

式(6)中，F(xiàn)aq、Maq為彈體所受氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩，F(xiàn)af、Maf為修正組件對(duì)彈體作用的力和力矩(包含控制力矩)，mag為彈體所受重力。

綜上，可得

(7)

假定修正組件和彈體之間沒有氣動(dòng)耦合，則有

mfaf+maaa=Ff+Fa=
Ffq+Ffa+mfg+Faq+Faf+mag=
(Ffq+Faq)+(mfg+mag)=Fq+mg

(8)

故有

ma=Fq+mg

(9)

由式(5)-式(9)可知，修正組件和彈體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可統(tǒng)一用彈丸的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)來描述。假定修正組件和彈體之間沒有氣動(dòng)耦合，彈丸所受氣動(dòng)力為修正組件和彈體所受氣動(dòng)力的矢量和，因此，彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程中，彈丸的受力可直接采用所受氣動(dòng)力和重力計(jì)算。

由于修正組件和彈體的軸線重合，兩者在俯仰和偏航平面內(nèi)繞各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)可通過彈丸繞彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來描述。將兩者的旋轉(zhuǎn)中心都移至彈丸質(zhì)心，分別作用在兩者上的氣動(dòng)力合力的作用點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離改變，造成所形成的力矩幅值改變，使力矩表達(dá)式極為復(fù)雜。本文中選用的氣動(dòng)參數(shù)均以彈丸質(zhì)心為彈丸的旋轉(zhuǎn)中心，即氣動(dòng)參數(shù)中彈丸力矩的計(jì)算均以彈丸質(zhì)心為基點(diǎn)，以彈丸質(zhì)心作為旋轉(zhuǎn)中心利于彈道建模工作的展開。

2.2 飛行動(dòng)力學(xué)模型

發(fā)射系內(nèi)建立的運(yùn)動(dòng)方程組用于彈道解算。首先建立彈丸質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程組，然后依據(jù)修正組件和彈體的繞彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)描述彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的方程組，依據(jù)兩剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可將所建立的方程簡化，建立描述彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的彈道模型。

2.2.1坐標(biāo)系

本文所使用的坐標(biāo)系及角度定義見文獻(xiàn)[11]，所使用坐標(biāo)系包括地面坐標(biāo)系Oxyz、彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1、速度坐標(biāo)系Ox3y3z3、準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Ox4y4z4、準(zhǔn)速度坐標(biāo)系等Ox5y5z5，發(fā)射系與彈丸出炮口瞬間的地面坐標(biāo)系完全重合，所使用的角度包括俯仰角φ、偏航角ψ、彈道傾角θ、彈道偏角σ、攻角α、側(cè)滑角β等。

圖3 準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下兩剛體滾轉(zhuǎn)角Fig.3 Two roll angles in the equal coordinate system of projectile body

2.2.2彈丸受力的分解

修正組件滾轉(zhuǎn)角的定義如圖4所示。當(dāng)操縱舵處于水平位置并產(chǎn)生向上的控制力時(shí)，定義固定舵滾轉(zhuǎn)角為0°，產(chǎn)生向下的控制力時(shí)為±180°。從彈尾向前看，固定舵向右滾轉(zhuǎn)為正，向左滾轉(zhuǎn)為負(fù)。

圖4 修正組件滾轉(zhuǎn)角定義Fig.4 Definition of the roll angle of correction kit

彈丸整體的氣動(dòng)參數(shù)通過網(wǎng)格計(jì)算獲得，且氣動(dòng)參數(shù)為彈體系下的氣動(dòng)參數(shù)。由于彈丸氣動(dòng)布局不對(duì)稱，獲取彈丸受力時(shí)的氣動(dòng)參數(shù)應(yīng)采用彈體下的攻角α*、側(cè)滑角β*進(jìn)行插值計(jì)算。而攻角α、側(cè)滑角β均定義在準(zhǔn)彈體系下，因而應(yīng)首先找到兩組攻角、側(cè)滑角的幾何關(guān)系。準(zhǔn)彈體系下攻角和側(cè)滑角的計(jì)算方法如下：

(10)

式(10)中，v為彈丸合速度，vx4、vy4和vz4為彈丸速度矢量在準(zhǔn)彈體系上的投影。

準(zhǔn)彈體下攻角α、側(cè)滑角β向彈體系攻角α*、側(cè)滑角β*的轉(zhuǎn)換過程如下：

(11)

采用α*、β*和馬赫數(shù)Ma進(jìn)行氣動(dòng)插值獲得相應(yīng)的氣動(dòng)參數(shù)后，進(jìn)行彈體系下氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩的計(jì)算，而后轉(zhuǎn)換到準(zhǔn)彈體系下。準(zhǔn)彈體系下彈丸受力如下：

(12)

修正組件和彈體的馬格努斯力垂直于總攻角平面，而馬格努斯力矩在攻角平面內(nèi)，分別將其轉(zhuǎn)換到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)下，得表達(dá)式如下：

(13)

式(13)中，各量分別為修正組件和彈體所受馬格努斯力和馬格努斯力矩在準(zhǔn)彈體下的分量。

2.2.3發(fā)射系下運(yùn)動(dòng)方程組的建立

飛行過程中，彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過彈丸質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來描述。將彈丸質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)描述在發(fā)射系下，即彈丸質(zhì)心的速度、位置信息均在發(fā)射系下投影，利用該方式進(jìn)行彈道解算，便于與實(shí)際飛行狀態(tài)下的彈丸速度、位置信息相對(duì)比，是當(dāng)前彈道解算的常用方法。將彈丸繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)建立在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下，形式最為簡單。

建立描述彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程組如下：

(14)

式(14)中，Mfax4、Mafx4分別為修正組件和彈體間相互作用力矩在準(zhǔn)彈體系x4軸上的分量，該力矩包括軸承間的摩擦力矩和制動(dòng)過程中的控制力矩。

參照滾動(dòng)軸承摩擦力矩公式(11)可得飛行過程中的摩擦力矩計(jì)算如下：

(15)

式(15)中，Mfax4f為作用在修正組件的摩擦力矩，f1為載荷系數(shù)，P1為軸承載荷，dm為軸承平均直徑，f0為潤滑系數(shù)，與所采用的潤滑方法有關(guān)，?為潤滑劑粘度系數(shù)，sgn為符號(hào)函數(shù)。

由于大括號(hào)中第二項(xiàng)值很小，可忽略，且彈丸飛行過程中兩剛體之間始終存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則式(15)可整理為：

Mfax4f=f1P1dm

(16)

式(16)中，載荷系數(shù)f1和軸承平均直徑dm一定，故修正組件與彈體間的摩擦力矩軸承承受的載荷成正比。

無控狀態(tài)下，無控制力矩。在有控狀態(tài)下，除摩擦力矩外仍需考慮控制力矩。當(dāng)固定舵穩(wěn)定在相對(duì)

于地面的某一角度式，修正組件所受氣動(dòng)力矩在x4軸上的投影處于平衡狀態(tài)，即

(17)

此處可求得作用在彈體上的控制力矩 ，將其帶入式(14)中即可進(jìn)行有控狀態(tài)下的彈道解算。

2.2.4繞彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程組

1)彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組

本文不加推導(dǎo)直接給出修正組件繞彈丸質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組

(18)

式(18)中，Jfx、Jfy、Jfz為修正組件相對(duì)彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在準(zhǔn)彈體上的投影，ωfx4、ωy4、ωz4為修正組件的角速度在其準(zhǔn)彈體系上的投影，Mfx4、Mfy4、Mfz4為修正組件所受氣動(dòng)力矩在準(zhǔn)彈體上的投影，Mfax4、Mfay4、Mfaz4為彈體對(duì)修正組件作用的力矩(包含控制力矩)在準(zhǔn)彈體上的投影。

同理，可給出彈體繞其彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程組

(19)

式(19)中，Jax、Jay、Jaz為彈體相對(duì)彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在準(zhǔn)彈體系上的投影，ωax4、ωy4、ωz4為彈體角速度在其準(zhǔn)彈體系上的投影，Max4、May4、Maz4為彈體所受氣動(dòng)力矩在準(zhǔn)彈體系上的投影，Mafx4、Mafy4、Mafz4為修正組件對(duì)彈體作用的力矩(包含控制力矩)在準(zhǔn)彈體上的投影。

將式(18)和式(19)中的后兩式分別相加，則有

(20)

式(20)中，彈丸相互作用力矩Mfay4與Mafy4和Mfaz4與Mafz4是彈丸整體的內(nèi)力。令Jy=Jfy+Jay，Jz=Jfz+Jaz，My4=Mfy4+May4，Mz4=Mfz4+Maz4，My4、Mz4分別為彈丸整體所受氣動(dòng)力矩在準(zhǔn)彈體系y4軸、z4軸上的分量，故式(20)可整理為：

(21)

因而，得彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組

(22)

2)彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組

彈丸姿態(tài)使用俯仰角φ、偏航角ψ、修正組件滾轉(zhuǎn)角γf和彈體滾轉(zhuǎn)角γa4個(gè)變量來描述。設(shè)準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系相對(duì)于地面發(fā)射系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω′，則有

(23)

彈體坐標(biāo)系相對(duì)于地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω可寫成

(24)

則有

(25)

整理后，可得

(26)

3 仿真與飛行試驗(yàn)驗(yàn)證

在某實(shí)驗(yàn)基地進(jìn)行某型加裝修正組件的榴彈飛行試驗(yàn)，其中，結(jié)構(gòu)彈1發(fā)，如圖5所示。固定鴨舵舵偏角6°。彈丸采用45°射角發(fā)射，炮目連線方向?yàn)?12.468 8°，射向在炮目連線基礎(chǔ)上左修20 mil。彈丸實(shí)際初速908.2 m/s，射程28.9 km。

圖5 二維修正榴彈Fig.5 2-D correction projectile

由于彈上未安裝記錄儀，僅能通過雷測(cè)曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析對(duì)比，結(jié)果如圖6—圖11所示。

由圖6—圖9可知，仿真曲線與雷測(cè)曲線在合速度、彈道高、x向速度和y向速度上重合度很高，合速度偏差不大于3 m/s，最大彈道高偏差約為40 m，x向速度偏差不大于3 m/s，y向速度偏差不大于2 m/s。圖10和圖11中，側(cè)偏和z向速度也能較好的與雷測(cè)曲線保持一致，側(cè)偏偏差不大于60 m，速度偏差不大于4 m/s。仿真落點(diǎn)與實(shí)際落點(diǎn)相比，縱向偏近16 m，橫向偏遠(yuǎn)48 m。仿真結(jié)果與實(shí)際彈丸落點(diǎn)偏差小于彈丸射程的5‰，其精度滿足要求。

圖6 射程合速度曲線Fig.6 Curve of the range-speed

圖7 射程彈道高曲線Fig.7 Curve of the range-highth

圖8 射程x向速度曲線Fig.8 Speed curve of the x direction

圖9 射程y向速度曲線Fig.9 Speed curve of y direction

圖10 射程側(cè)偏曲線Fig.10 Cornering curve of the range

圖11 射程z向速度曲線Fig.11 Speed curve of z direction

仿真結(jié)果與雷測(cè)曲線的對(duì)比表明，所建立的數(shù)學(xué)模型可對(duì)修正彈的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確描述，驗(yàn)證了模型建立的正確性。

4 結(jié)束語

本文在分析修正組件與彈體的雙旋運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，建立了多剛體修正彈彈道模型。仿真和飛行試驗(yàn)結(jié)果表明，所建立的數(shù)學(xué)模型可對(duì)彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，仿真結(jié)果與實(shí)際彈丸落點(diǎn)偏差小于彈丸射程的5‰，符合精度要求。但文章并未對(duì)雙旋運(yùn)動(dòng)下的角運(yùn)動(dòng)和飛行穩(wěn)定性情況未進(jìn)行進(jìn)一步分析，需要在今后的工作中進(jìn)一步研究。