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        身管火炮膛壓和最大射程落點(diǎn)諸元與初速關(guān)系經(jīng)驗(yàn)擬合公式

        2019-03-19 11:41:08王雨時(shí)張志彪王光宇
        關(guān)鍵詞:落角榴彈身管

        孟 程,王雨時(shí),張志彪,聞 泉,王光宇

        (南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

        0 引言

        火炮、彈丸型號(hào)和發(fā)射裝藥確定之后,彈丸的炮口初速就可以確定了。然而目前已有的彈道諸元參數(shù)計(jì)算公式多為需要較多參數(shù)的、復(fù)雜的時(shí)間函數(shù)式。文獻(xiàn)[1—3]中列出了真空彈道中彈道諸元參數(shù)與時(shí)間的關(guān)系式,但很少有文獻(xiàn)研究身管火炮膛壓和最大射程落點(diǎn)諸元與初速之間的關(guān)系,文獻(xiàn)[4]僅給出了比較復(fù)雜且計(jì)算參數(shù)較多的經(jīng)驗(yàn)公式。因此針對(duì)特定彈炮系統(tǒng),根據(jù)已有彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)彈道、外彈道特性參量之間函數(shù)關(guān)系定量分析,給出簡(jiǎn)潔的適用于引信和戰(zhàn)斗部設(shè)計(jì)的彈道諸元與炮口初速的函數(shù)關(guān)系經(jīng)驗(yàn)公式就十分必要。在引信和戰(zhàn)斗部總體論證、初步設(shè)計(jì)甚至是在初步摸底試驗(yàn)時(shí),彈丸射程、飛行時(shí)間、落角、落速等彈道諸元參數(shù)數(shù)值信息往往不全,因而給性能、質(zhì)量分析和試驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)估與鑒別帶來(lái)一定困難。本文針對(duì)上述問(wèn)題,提出了應(yīng)用1stOpt軟件以有多號(hào)發(fā)射裝藥的155 mm加榴炮普通榴彈、122 mm榴彈炮普通榴彈和120 mm迫擊炮彈為例,對(duì)內(nèi)、外彈道學(xué)運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化分析的方法。

        1 擬合軟件介紹及擬合算例

        1.1 擬合軟件

        1stOpt(First Optimization)是我國(guó)七維高科有限公司獨(dú)立開(kāi)發(fā)的一套數(shù)學(xué)優(yōu)化分析綜合工具軟件包,主要用于非線性回歸、曲線擬合、非線性復(fù)雜模型參數(shù)估算求解、線性/非線性規(guī)劃等領(lǐng)域。1stOpt軟件不僅操作界面簡(jiǎn)單,而且其核心計(jì)算方法——通用全局優(yōu)化算法(UGO,Universal Global Optimization)克服了當(dāng)今世界上在優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域使用迭代法必須給出合適初始值的難題,即不需要用戶給出參數(shù)初始值,在絕大多數(shù)情況下,僅依靠自身的全局搜索能力,從任意隨機(jī)值出發(fā),就可求得最優(yōu)解[5]。

        1.2 擬合算例

        以155 mm加榴炮普通榴彈為算例,已知數(shù)據(jù)如表1和表2所列。已知身管長(zhǎng)lg=7.046 m。其中各裝藥號(hào)下的初速V0、最大膛壓Pm、最大射程Xm是由射表給定的,落速Vc、全飛行時(shí)間T以及最大射程角θ0、對(duì)應(yīng)最大射程角的落角θc則由彈丸外彈道質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程反推出彈道系數(shù)c43后計(jì)算得出。

        表1 155 mm加榴炮普通榴彈射表給定的彈道諸元和反求得到的彈道系數(shù)

        表2 155 mm加榴炮普通榴彈外彈道諸元解算結(jié)果

        2 身管火炮膛壓和最大射程落點(diǎn)諸元與初速關(guān)系經(jīng)驗(yàn)擬合

        2.1 身管火炮最大膛壓與彈丸初速關(guān)系擬合

        在內(nèi)彈道中,膛內(nèi)最大壓力位置不是在炮口處,但最大膛壓可以由膛內(nèi)平均膛壓估算得出[6],由在簡(jiǎn)化假設(shè)基礎(chǔ)上的內(nèi)彈道方程組可知[7]:

        (1)

        式(1)中,S為炮膛橫截面積,P為膛內(nèi)平均壓力,φ為次要功計(jì)算系數(shù),m為彈丸質(zhì)量,v為彈丸在膛內(nèi)的瞬時(shí)速度,t為彈丸在膛內(nèi)的時(shí)間??梢钥闯觯摲匠讨?,只要火炮和彈丸型號(hào)確定,S、φ、m就為已知量,將彈丸的瞬時(shí)速度和時(shí)間進(jìn)行積分可以得出:

        (2)

        (3)

        (4)

        因此,最大膛壓和彈丸初速關(guān)系式為:

        (5)

        由上式可知,最大膛壓與彈丸初速是最高二次冪的關(guān)系。應(yīng)用1stOpt軟件進(jìn)行擬合,為了提高擬合曲線的精度,選用的擬合公式形式為:

        Pm=b0+b1V0+b2V02+b3V03+b4V04

        (6)

        經(jīng)過(guò)擬合發(fā)現(xiàn)使用1stOpt擬合時(shí)公式中的常數(shù)項(xiàng)b0不為0而且數(shù)值較大,這是由此軟件具有較高的擬合精度造成的。如果彈丸在炮口沒(méi)有速度但是最大膛壓存在,說(shuō)明彈丸在膛內(nèi)的摩擦導(dǎo)致彈丸達(dá)到炮口時(shí)速度減小到0,這在實(shí)際工程中是有可能存在的。由于實(shí)際彈丸速度較高,所以為了簡(jiǎn)化起見(jiàn),可以假設(shè)b0值為0,由此得:

        Pm=-0.274 23V0+0.001 807V02-1.534 6×
        10-6V03+4.060 1×10-10V04

        (7)

        式(7)中,Pm的計(jì)量單位為MPa,V0的計(jì)量單位為m/s。擬合后的曲線如圖1所示。

        圖1 擬合后的火炮最大膛壓與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.1 Relationship curve between the maximum chamber pressure of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

        擬合后的公式中,雖然b3、b4的值很小,但是也對(duì)擬合結(jié)果有影響。將b3、b4取為0后再進(jìn)行擬合,擬合后:

        Pm=0.051 21V0+4.478×10-4V02

        (8)

        (9)

        由于理論計(jì)算時(shí)最大膛壓與初速為二次冪的關(guān)系,因此再分別擬合一條一次冪關(guān)系的直線和二次冪關(guān)系的拋物線,同式(9)進(jìn)行比較。直線和拋物線公式分別為:

        Pm=0.329 5V0

        (10)

        Pm=5.230 5×10-4V02

        (11)

        圖2 擬合后的火炮最大膛壓與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curve between the maximum chamber pressure of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

        對(duì)比上述的擬合結(jié)果可發(fā)現(xiàn),擬合后式(7)、式(9)、式(11)與原數(shù)據(jù)符合度較好,式(10)與原數(shù)據(jù)差距較大,在式(7)、式(9)、式(11)中以式(11)最簡(jiǎn)潔,而且與理論計(jì)算最為符合,故擬合后火炮最大膛壓與初速平方成正比。式(8)至式(11)中Pm的計(jì)量單位為MPa,V0的計(jì)量單位為m/s。

        2.2 身管火炮最大射程與初速關(guān)系擬合

        在空氣彈道中射程與彈丸初速的關(guān)系為[4]:

        (12)

        式(12)中:

        (13)

        Xm=b1V0+b2V0a

        (14)

        經(jīng)過(guò)改變a的取值,可以得到當(dāng)a=1.6時(shí),擬合公式的均方差最小,擬合后:

        Xm=16.427 4V0+0.266 9V01.6

        (15)

        Xm的計(jì)量單位為m,V0的計(jì)量單位為m/s。為了使公式簡(jiǎn)化,再擬合出一條直線:

        Xm=28.971 9V0

        (16)

        圖3 擬合后的火炮最大射程與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve between the maximum range of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

        對(duì)比原數(shù)據(jù)與式(15)、式(16)的擬合結(jié)果可以觀察到式(16)較為簡(jiǎn)潔,故擬合后火炮最大射程和彈丸初速近似呈線性關(guān)系。

        2.3 身管火炮最大射程落速與初速關(guān)系擬合

        在空氣彈道中,落速受到外彈道環(huán)境的影響與射程受到的影響一樣,因而[4]:

        (17)

        式(17)中,Vxc=Vccosθc,Vx0=V0cosθ0。

        化簡(jiǎn)可得:

        (18)

        從上式可知,火炮落速與彈丸初速、射角、落角有關(guān)。通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),彈丸的射角和落角的余弦函數(shù)值的比值是逐漸減小的,線型大致為拋物線,因而選擇的射程和彈丸初速之間的擬合關(guān)系式為:

        Vc=b1V0a+b2

        (19)

        擬合后:

        (20)

        式(20)中,V0和Vc的計(jì)量單位均為m/s。

        在式(20)中,如果彈丸落速為0,彈丸初速經(jīng)過(guò)計(jì)算也約等于0,與理論分析結(jié)果一致。擬合后的公式均方差很小,相關(guān)系數(shù)接近于1,說(shuō)明在本文算例的初速范圍內(nèi)彈丸落速與初速的擬合公式是可信的。擬合后彈丸落速與彈丸初速的關(guān)系曲線近似為拋物線,初速無(wú)限增大,落速趨于恒值374.5 m/s。

        圖4 擬合后的彈丸最大射程落速與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curve between the falling velocity of maximum range of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

        2.4 身管火炮彈丸全飛行時(shí)間與初速關(guān)系擬合

        在空氣彈道中,彈丸飛行時(shí)間受到外彈道環(huán)境的影響,因而[4]:

        (21)

        將公式化簡(jiǎn)可得:

        (22)

        從上式可知,彈丸飛行時(shí)間與彈丸初速、射角、落角和空氣阻力系數(shù)有關(guān),通過(guò)以上公式簡(jiǎn)單計(jì)算可知,彈丸全飛行時(shí)間與初速大致為一次冪關(guān)系,因而選用的擬合關(guān)系式為:

        T=b1V0+b2V0a

        (23)

        擬合后:

        T=0.284 8V0-9.077 5×10-2V01.1

        (24)

        式中,T單位為s,V0單位為m/s。再對(duì)式(21)進(jìn)一步簡(jiǎn)化:

        T=0.112 8V0

        (25)

        將式(23)、式(24)與原數(shù)據(jù)相比較可以得到式(25)較為簡(jiǎn)潔,誤差也在允許的范圍內(nèi),這表明彈丸飛行時(shí)間與彈丸初速近似呈線性關(guān)系。

        2.5 身管火炮最大射程落角與初速關(guān)系擬合

        在空氣彈道中,由于受到外彈道阻力的影響,落角的絕對(duì)值肯定會(huì)比射角大。目前未見(jiàn)到有彈丸落角與彈丸初速之間的關(guān)系,因而使用1stOpt軟件自帶的自動(dòng)搜索匹配公式的功能進(jìn)行擬合,經(jīng)過(guò)分析比對(duì)選用的擬合公式為:

        θc=b0+b1V01.5+b2V02.5+b3V03

        (26)

        擬合后的關(guān)系式為:

        θc=-62.759+6.826×10-3V01.5-
        2.387×10-5V02.5+5.392×10-7V03

        (27)

        圖5 擬合后的彈丸全飛行時(shí)間與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curve between the full flight time of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

        觀察原數(shù)據(jù)的圖形可以發(fā)現(xiàn),原數(shù)據(jù)與邏輯斯蒂曲線形狀相似,再以邏輯斯蒂曲線公式進(jìn)行擬合,可以得到:

        (28)

        由于邏輯斯蒂曲線形狀較為線性,再擬合出一條一次冪關(guān)系的直線:

        θc=-2.884 6×10-2V0-39.844 1

        (29)

        式(27)—式(29)中,θc的計(jì)量單位為(°),V0的計(jì)量單位為m/s。

        圖6 擬合后的彈丸最大射程落角與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve between the falling angle of maximum range of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

        對(duì)比式(27)、式(28)、式(29)的擬合結(jié)果,可以觀察到式(27)與原數(shù)據(jù)符合程度較高。但是在誤差允許的范圍內(nèi),式(29)更為簡(jiǎn)潔,擬合后彈丸落角與彈丸初速近似呈線性關(guān)系,初速越大,落角絕對(duì)值也就越大。

        2.6 122 mm榴彈炮普通榴彈與120 mm迫擊炮彈最大射程落點(diǎn)諸元與初速關(guān)系

        為了驗(yàn)證擬合關(guān)系式的普適性,再選用122 mm榴彈炮普通榴彈與某120 mm迫擊炮彈最大射程落點(diǎn)諸元與初速的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。其中擬合某120 mm迫擊炮彈最大射程落點(diǎn)諸元與初速關(guān)系時(shí),試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少不足以進(jìn)行擬合,因而將已知的試驗(yàn)數(shù)據(jù)反求得的彈道系數(shù)取平均值后解算不同初速下的彈道諸元,求得的彈道系數(shù)平均值為0.788 5。擬合所需的參數(shù)如表3、表4[8]、表5和表6所示。

        經(jīng)過(guò)擬合可以得到122 mm榴彈炮普通榴彈的最大射程、最大射程落速、全飛行時(shí)間和最大射程落角與彈丸初速的擬合關(guān)系式為:

        Xm1=23.923 0V01

        (30)

        (31)

        T1=0.067 4V01+19.200 2

        (32)

        θc1=-0.025 8V01-41.929 5

        (33)

        表3 122 mm榴彈炮普通榴彈射表給定的彈道諸元和反求得到的彈道系數(shù)

        表4 122 mm榴彈炮普通榴彈外彈道諸元解算結(jié)果

        表5 120 mm迫擊炮彈已知的初速、解算使用的彈道系數(shù)和最大射程

        表6 120 mm迫擊炮彈外彈道諸元解算結(jié)果

        某120 mm迫擊炮彈的最大射程、最大射程落速、全飛行時(shí)間和最大射程落角與彈丸初速的擬合關(guān)系式為:

        Xm2=30.615 3V02-2 416.338 2

        (34)

        Vc2=-1.608 8×106V02-2+232.289 5

        (35)

        T2=0.117 3V02+3.183 1

        (36)

        θc2=-0.022 0V02-43.614 2

        (37)

        3 分析與討論

        各個(gè)公式的相對(duì)誤差如表7、表8和表9所列。

        由于要求擬合關(guān)系式盡量簡(jiǎn)潔直觀,所以所選擬合公式并不是誤差最小的。

        表7 155 mm加榴炮普通榴彈擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差

        表8 122 mm榴彈炮普通榴彈擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差

        表9 120 mm迫擊炮彈擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差

        從表7至表9可知,最大膛壓、最大射程和最大射程落速與彈丸初速擬合公式的最大相對(duì)誤差均較大。在擬合過(guò)程中,修改初速指數(shù),可得到不同的擬合公式。降低初速指數(shù),可使擬合公式更為簡(jiǎn)潔,從而便于揭示出清晰的規(guī)律。由于各種火炮的空氣彈道規(guī)律大體上是相同的,所以本文雖然只是針對(duì)三種火炮進(jìn)行計(jì)算對(duì)比,但是所得基本規(guī)律對(duì)于其他火炮同樣適用,應(yīng)該具有普適性,有助于彈藥和引信總體論證、初步設(shè)計(jì)、性能分析和試驗(yàn)評(píng)估時(shí)的外彈道特性估算參考。對(duì)于其他火炮彈藥系統(tǒng),只要有對(duì)應(yīng)不同初速的最大膛壓和最大射程落點(diǎn)諸元數(shù)據(jù),就可以按本文的方法擬合出身管火炮諸元如膛壓(影響引信發(fā)射過(guò)載系數(shù))和最大射程落點(diǎn)諸元與初速之間的關(guān)系(規(guī)律)。

        4 結(jié)論

        本文提出了應(yīng)用1stOpt軟件以有多號(hào)發(fā)射裝藥的155 mm加榴炮普通榴彈、122 mm榴彈炮普通榴彈和120 mm迫擊炮彈為例,對(duì)內(nèi)、外彈道學(xué)運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化分析的方法。該方法基于對(duì)155 mm身管火炮普通榴彈彈道諸元與初速關(guān)系進(jìn)行分析,擬合了彈道諸元中最大膛壓、最大射程、最大射程時(shí)的落速、全飛行時(shí)間、最大射程時(shí)的落角與初速之間的函數(shù)關(guān)系,利用這個(gè)函數(shù)關(guān)系可以迅速得到彈道諸元的近似值。擬合結(jié)果表明:最大膛壓與初速平方近似呈正比;最大射程及全飛行時(shí)間與初速近似呈正比;最大射程落速與初速的關(guān)系曲線近似為拋物線,初速無(wú)限增大,最大射程、落速趨于恒定值;最大射程落角與初速近似呈線性關(guān)系,初速越大,落角也越大。

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