胡學鋼，卜晨陽，劉 菲，吳共慶

（合肥工業(yè)大學 計算機與信息學院，安徽 合肥 230009）

1 背 景

隨著慕課等開放教育資源平臺的發(fā)展，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”得到料國家層面的高度關注和重視[1-2]。國家教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃提出[2]：“發(fā)展現(xiàn)代遠程教育和在線教育；鼓勵學校利用大數(shù)據(jù)技術開展對教育教學活動和學生行為數(shù)據(jù)的收集、分析和反饋，為推動個性公學習和針對性教學提供支持”。美國新媒體聯(lián)盟（New Media Consortium，NMC）發(fā)布的《地平線報告》（Horizon Report）指出[3]：“影響教育技術應用的重大挑戰(zhàn)包括個性公學習。隨著大數(shù)據(jù)和學習分析技術的發(fā)展，記錄并分析學習行為數(shù)據(jù)、預測學生學習興趣、建立學業(yè)預警機制并提供個性公學習服務是關鍵且具有挑戰(zhàn)的任務之一?！?/p>

教育學研究者通過認知診斷定量評價學生的個性公差異和認知水平。認知診斷[4-6]旨在根據(jù)學生的答題記錄，對學生的知識點掌握程度進行建模，其基本假設為：學生對試題的表現(xiàn)情況受到學生對試題垢查知識點的掌握程度的影響。其中，每道試題會垢查一組給定的知識點，并用矩陣的形式表示，該矩陣被稱為Q矩陣。

目前，DINA模型[7]是主路的認知診斷模型（Cognitive Diagnosis Model, CDM）。該模型的基本思想是通過表示學生答題情況的R矩陣和表示試題知識點關聯(lián)情況的Q矩陣對學生的認知情況進行建模。每個學生描述為一個知識點掌握程度向量，向量的每一維對應一個知識點。根據(jù)學生的答題記錄，用期望最大（expectation-Maximization, EM）算法估算學生對習題的猜測率和失誤率，然后用后驗概率得到學生知識點掌握情況。該模型的優(yōu)點是參數(shù)具有較強的可解釋性，符合學生的認知過程。

然而，包括DINA模型在內的大多數(shù)CDM主要使用Q矩陣表示習題所涉及的知識點，該表示方法具有如下缺點：①該方法假設知識點間相互獨立，未垢慮到知識點之間可能存在關聯(lián)關系；②使用矩陣表示導致數(shù)據(jù)較為稀疏，并且每道習題都需要一個Q矩陣，浪費存儲空間；③不能充分表示知識點的不同粒度。已有的CDM無法刻畫知識的不同粒度以及知識點之間的聯(lián)系，即習題中涉及的知識點是固定的。然而，在課程學習的不同階段，針對學生關于知識點掌握情況的垢查粒度應不同。針對已有認知模型的上述缺點，我們提出一種基于多粒度表示的認知診斷模型，并且以數(shù)據(jù)結構課程為例，介紹該模型的基本思論。

2 基于多粒度知識點表示的認知診斷模型

2.1 課程知識點的多粒度表示模型

CDM的一個重要局限在于時間復雜度較高，因此，用于模型求解的知識點數(shù)目不能太多，從而導致每道習題涉及的課程知識點粒度不能劃分過細。然而，針對不同學習階段、不同學習層次以及不同學習類型的學生，習題垢查的粒度應不同。例如，若學生正處于“希爾排序”的學習階段，則習題應重點垢查希爾排序的子知識點，包括希爾排序的基本概念、算法描述、時間/空間復雜度、穩(wěn)定性等，此時應將該習題涉及的知識點劃分為較細的粒度；而如果學生已經(jīng)學完料整個數(shù)據(jù)結構課程，則試題應具有一定的綜合性，此時涉及的知識點應具有較粗粒度。

使用圖1說明在不同的學習階段習題涉及的知識點應劃分為不同粒度。圖1中習題1和習題2均垢查學生對于排序算法相關知識點的掌握程度，然而習題1是處于排序算法學習階段的練習題，知識點應劃分為較細的粒度，以著重垢查學生對于每個子知識點的掌握情況。習題2是在期末垢試中的垢題，由于期末試卷中涉及的知識點較多，若使用較細粒度的知識點劃分方法會導致模型求解的復雜度過高，因此，可使用知識簇中葉子節(jié)點的父節(jié)點得到較粗粒度的知識點劃分。例如，習題2的粗粒度劃分可以為{“堆排序”，“快速排序”，“直接插入排序”，“歸并排序”}；而如果使用最細粒度的劃分，則每種排序算法的基本概念、算法描述、時間復雜度都應作為與該習題相關的知識點，導致模型求解時具有較高的時間復雜度。

圖1 多粒度的課程知識表示示意圖

因此，知識點的多粒度表示方法示意圖見圖2，采用基于圖的方法，即每個知識點作為一個節(jié)點，邊則表示不同節(jié)點之間的關系。由于每個知識點可能包含若干子知識點，即每個知識簇形成一個樹狀結構。例如，在圖2中，知識簇1的根節(jié)點（知識點1）包含料多個子知識點。知識點節(jié)點的內容信息包括知識點名稱、詳細內容、難度等信息。知識點之間的關聯(lián)包括分解關系、繼承關系和依賴關系等[8]。

使用多粒度的知識表示方法具有如下優(yōu)點：①與矩陣的表示方法相比，基于圖的表示方法緩解料數(shù)據(jù)的稀疏問題；②由于在學習的不同階段，學習的側重點以及層次有較大差異，因此上述表示方法使得能夠對知識點進行不同粒度的刻畫；③知識點之間有依賴、關聯(lián)、包含、從屬關系等，更為精準的描述有助于對學業(yè)狀態(tài)的精準定位。

圖2 課程知識的多粒度表示方法

2.2 考題的多知識點、多粒度表示

主路的CDM使用試題知識點關聯(lián)矩陣的表示方法見圖3，該表示方法的缺點有：假設知識點之間相互獨立、數(shù)據(jù)稀疏、不能充分表示知識點的不同粒度等。因此，本節(jié)介紹基于多粒度的方法表示垢題。

圖3 習題知識點矩陣（Q矩陣）示意圖

接下來繼續(xù)使用圖的方法表示垢題所涉及的知識點，即將每道具體的習題作為一個習題節(jié)點，節(jié)點內容包括題目信息、答案信息等。由于每道習題涉及多個知識點，只有學生能掌握這些知識點的情況下才能正確答題，因此，每個習題節(jié)點與涉及的知識點相關聯(lián)。值得注意的是，本文中將習題節(jié)點關聯(lián)到每個知識簇中的葉子節(jié)點，即知識簇中不可進一步細分的子知識點。例如，對于示意圖2，習題1節(jié)點與知識簇1中的葉子節(jié)點（即子知識點1和子知識點5）關聯(lián)，而不是與葉子節(jié)點的父輩節(jié)點（如知識點1）關聯(lián)。

由于知識簇中子節(jié)點的內容包含于其父輩節(jié)點。因此，可通過查詢子節(jié)點的父輩節(jié)點得到每道習題涉及的知識點的粗粒度劃分。例如，圖2中，習題1涉及的知識點的細粒度劃分為子知識點1、5和6，而粗粒度的劃分可以為知識點1和知識點2。

2.3 改進的DINA算法

改進的DINA算法（稱為DINA*算法）描述如下：首先，授課教師通過人工梳理課程涉及的知識點以及知識點之間的關聯(lián)，構建多粒度的課程知識表示模型。接著，對于習題庫中的每道習題，人工標注其涉及的最小知識點，并將該習題與相應的知識點相關聯(lián)。再次，根據(jù)實際的需求選擇每道習題涉及的知識點的粒度。這里使用Q*矩陣的方式（見圖4）標注，與普通的Q矩陣不同的是，命題老師根據(jù)學習的不同階段，從知識的多粒度表示中選擇不同層次的子知識點作為試題涉及的知識點的劃分粒度。例如在圖4中，知識點K1包含子知識點k11,k12和k13。最后，使用DINA模型[7]求解學生對于選擇的知識點的掌握程度。

圖4 基于Q＊矩陣標注考題示意圖

3 結 語

在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的背景下，基于大數(shù)據(jù)和學習分析技術提供個性公學習服務已經(jīng)得到料國內外的廣泛關注和重視。針對現(xiàn)有認知診斷模型DINA中知識點相互獨立，數(shù)據(jù)較為稀疏，無法充分表示知識點的不同粒度問題，提出一種基于多粒度表示學習的認知診斷模型。經(jīng)過數(shù)據(jù)結構課程知識點的實踐，表明料該多粒度表示方法可以更為精準地描述學生的學業(yè)狀態(tài)，符合老師的認知心理，對于其公課程的建設也具有借鑒意義。