胡朝龍，王緒迪，閔 濤

(西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054)

在算子理論中，建立代數(shù)方法去解決其中的問題是一種十分重要的手段[1]。結(jié)合代數(shù)學(xué)中的模理論，Douglas和Paulsen[2]首先引進(jìn)了Hilbert模的概念，之后學(xué)者們利用這一新的概念解決了許多算子問題[3-7]。隨后，人們將代數(shù)幾何和復(fù)幾何運(yùn)用到算子理論中[8]。其中，關(guān)于一些算子的約化性問題更是取得了許多實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展[9]。

我們知道，對(duì)算子約化子空間的研究是一個(gè)十分重要的課題，這與von Neumann代數(shù)有著密切聯(lián)系。記H是Hilbert空間，T是H的有界線性算子，稱閉子空間M?H是T的約化子空間，如果TM?M且T*M?M。而約化子空間往往不能直接得到，需要建立一些特殊的方法去解決。

近年來，受文獻(xiàn)[10～12]的啟發(fā)，人們發(fā)現(xiàn)某些算子作用在Hilbert空間上會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的分次結(jié)構(gòu)，并且這種分次結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)解決該算子約化性問題非常的有用。

(1)

并且有：

(2)

通過這一現(xiàn)象，文獻(xiàn)[10～11]于2015年成功地利用分次結(jié)構(gòu)的概念解決了該算子的不可約性問題，即Mz+αw是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)|α|≠1。并且同樣證明了該結(jié)果在雙圓盤Hardy空間H2(D2)上的有效性[12]。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 加權(quán)平方可和序列空間

設(shè)ω={ω0,ω1,…,ωn,…}是一個(gè)正數(shù)序列，f為形式冪級(jí)數(shù)：

(3)

定義范數(shù)：

(4)

此外，設(shè)δ={δ0,δ1,…,δn,…}是另一個(gè)正數(shù)序列，對(duì)形式冪級(jí)數(shù)：

(5)

設(shè)p(z)是一個(gè)形式冪級(jí)數(shù)，在H2(ω)上部分地定義一個(gè)算子為：

(Mpf)(z)=p(z)f(z)

(6)

其乘法是形式冪級(jí)數(shù)乘法。

定義3Mp被稱為符號(hào)為p的乘法算子。

性質(zhì)3對(duì)任意多項(xiàng)式p，Mp是H2(ω)上的稠定線性算子。

(7)

即Mp的共軛。

1.2 分次S-模

在介紹分次S-模之前，先引進(jìn)一些簡(jiǎn)單記號(hào)和概念。

定義5設(shè)H是一個(gè)Hilbert空間，A和B是H上有界線性算子，A和B的換位子[A,B]是指：

[A,B]=AB-BA

(8)

現(xiàn)令

其換位子為：

(9)

通過計(jì)算可得：

Cznwm=(φ(n)-ψ(m))znwm

(10)

其中n,m∈+，且：

(11)

[f](n)=f(n)-f(n-1)

(12)

在繼續(xù)引進(jìn)定義之前，先介紹一些符號(hào)。設(shè)A是Hilbert空間H的一族有界線性算子，F(xiàn)是H的任意子集，記[F]是通過F所生成的閉子空間，定義AF為：

AF=[{Af:A∈A,f∈F}]

(13)

定義6令T是Hilbert空間H上的一個(gè)有界線性算子，對(duì)每個(gè)整數(shù)n∈，定義：

(14)

同時(shí)，如果F是H的一個(gè)子集，則通過F產(chǎn)生T的約化子空間就等同于[∨n∈SnF]。若彼此相互正交，則有且有對(duì)任意n,m∈，

由上述現(xiàn)象可定義分次S-模。

定義7取定T，稱一個(gè)Hilbert空間H是分次S-模，如果有：

(15)

且

SnHm?Hn+m，n,m∈

(16)

其中Hn是H的閉子空間。

此后，當(dāng)H稱為分次S-模時(shí)，這意味著H有一個(gè)齊次分解(式(15))?，F(xiàn)進(jìn)一步假設(shè)

如下新的定義擴(kuò)展了文獻(xiàn)[13]中的穩(wěn)定性概念。

定義8稱分次S-模H是穩(wěn)定的，如果對(duì)每個(gè)整數(shù)n≥n0和非負(fù)整數(shù)m，成立SmHn=Hn+m。稱分次S-模H是反向穩(wěn)定的，如果對(duì)每個(gè)整數(shù)n≤n1和非負(fù)整數(shù)m，還成立S-mHn=Hn-m。既穩(wěn)定又反向穩(wěn)定的分次S-模就被稱為是雙穩(wěn)定的，此時(shí)稱T是雙穩(wěn)定的。

定理1若分次S-模是不可約的，則H是雙穩(wěn)定的。

證明：

由文獻(xiàn)[13]可得，若分次S-模是不可約的，H是穩(wěn)定的。接下來只需證明若分次S-模是不可約的，H是反向穩(wěn)定的。

取

則有：

(17)

且

(18)

(19)

于是H是反向穩(wěn)定的。

證畢。

Hn=[{zkwl:k-l=n}]

(20)

2 定理的證明

先證明如下引理，這是關(guān)于判斷Hilbert空間中兩個(gè)具有相似結(jié)構(gòu)的子空間相等性的結(jié)果。

引理1假設(shè)H是Hilbert空間，{f1,f2,…}是H的一組正交基。令：

H1=[f1+f2,f2+f3,…]

(21)

和

H2=[λ1f1+λ2f2,λ2f2+λ3f3,…]

(22)

其中λ1,λ2,…是復(fù)數(shù)。則有：

a) dim(H?H1)≤1；

d) 存在某個(gè)H使得對(duì)所有λi≠0且有H1≠H2；

e) 如果H≠H1，則H1=H2當(dāng)且僅當(dāng)0≠λ1=λ2=…；

f) 如果H≠H1，則H1+H2=H當(dāng)且僅當(dāng)H2≠H1且H2≠0。

證明：

0=〈f,fi+fi+1〉=ci‖fi‖+ci+1‖fi+1‖

(23)

可取d使得對(duì)任意整數(shù)i>0有d=|ci|‖fi‖。由于f∈H，有：

(24)

將d代入式(24)得：

(25)

對(duì)于c)，如果存在某個(gè)λi=0，則ei⊥H2，因此H≠H2。由此可以看出，如果所有λi≠0，則c)的結(jié)果是b)的一個(gè)推論。

對(duì)于d)，考慮：

K1=[e1+e2,e2+e3,…]

(26)

和

K2=[e1+2e2,2e2+3e3,…]

(27)

則由b)，有H=K1。由c)，有H≠K2。

0=〈g,λifi+λi+1fi+1〉=(-1)iλi+(-1)i+1λi+1

(28)

由于H1≠0，可得0≠λ1=λ2=…。

對(duì)于f)，若H≠H1，由H1+H2=H可得H2≠0，假設(shè)H1=H2，則有H=H1矛盾。此外，如果H1≠H2且H2≠0，由H1的余一維性質(zhì)，可得H1+H2=H。

證畢。

開始證明定理2。

定理2的證明：

(29)

當(dāng)n≥0，Hn=[{zn+kwk:k∈+}]，此時(shí)可證得S1Hn=Hn+1。

當(dāng)n<0，Hn=[{zkwk-n:k∈+}]，令考慮有四種情況：

顯然，對(duì)于S1Hn=Hn+1，以上四種情況包含了所有可能。

對(duì)于a)，S1Hn=Hn+1成立。

對(duì)于b)，由引理1 a)可知：

(30)

(31)

因此S1Hn=Hn+1成立。

令Hn+1=[{zkwk-n-1:k∈+}]，對(duì)于c)，由：

(32)

和

(33)

并通過引理1 e)，可得到一系列等式：

φ(k+1)-ψ(k-n)=φ(k)-ψ(k-n-1)

(34)

其中k∈+。記Δ為相同的值，則Δ≠0且φ(k)=Δ+ψ(k-n-1)，k∈+。注意，Δ=0即d)。

又因?yàn)椋?/p>

(35)

可得：

(36)

其中：

(37)

對(duì)于d)，Δ=0，此時(shí)重新記式(36)為：

(38)

令

則：

f(k)=f(0)+s(k)

(39)

其中：

(40)

然而，f(k)≥f(0)，得：

(41)

3 結(jié) 語

由此可知，對(duì)于一般的H2(ω,δ)空間，要從雙穩(wěn)定性達(dá)到不可約性，還需要關(guān)于單生成元的結(jié)果，后續(xù)將就這個(gè)問題繼續(xù)進(jìn)行討論

最近，關(guān)于分?jǐn)?shù)階算子的模型有很多新進(jìn)展[14-15]，這些模型和研究的典型問題將為分次模理論的研究提供一些新的思路。