李 陳，趙 剛，陳麗群

(1.北京大學(xué)，北京 100871； 2.中聯(lián)煤層氣有限責(zé)任公司，北京 100016；3.中國(guó)石油塔里木油田分公司，新疆 庫爾勒 841000)

0 引 言

近年來，隨著對(duì)煤層氣藏開發(fā)研究越來越多，對(duì)煤層氣的認(rèn)識(shí)也越來越深[1-3]。由于煤層氣藏脆性較大并存在吸附氣，相比于其他類型氣藏，煤層中的一些地質(zhì)參數(shù)對(duì)開發(fā)生產(chǎn)過程中的壓力變化更加敏感[4]。一方面，由于煤層基質(zhì)的脆性較大以及裂隙的存在，在生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)層壓力的降低，上覆巖層將會(huì)壓縮基質(zhì)；另一方面，隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，吸附氣將通過解吸附作用從基質(zhì)中解析出來，會(huì)導(dǎo)致基質(zhì)周圍的壓力平衡被打破，基質(zhì)受到的壓力增加，基質(zhì)被壓縮。以上2種物理現(xiàn)象在滲流規(guī)律研究中表現(xiàn)為：煤層氣的天然裂縫系統(tǒng)的孔隙度和滲透率隨著壓力變化，而在開采過程中壓力隨著時(shí)間變化，最終表現(xiàn)為開發(fā)過程中天然裂縫的孔隙度和滲透率隨時(shí)間而變化，孔隙度和滲透率不再為一個(gè)常數(shù)，而是壓力的函數(shù)[5-8]。目前，考慮煤層氣基質(zhì)收縮效應(yīng)的解析解研究相對(duì)較少，考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)的產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型則更少。并且，考慮基質(zhì)收縮的巨大計(jì)算量給產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型軟件化帶來了阻礙[9-11]。針對(duì)上述問題，提出了新的擬時(shí)間函數(shù)，能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)的解析解。

1 物理模型

氣藏中心一口壓裂直井，地層邊界為無限大邊界、封閉邊界或者恒壓邊界；水力裂縫為有限導(dǎo)流裂縫；生產(chǎn)條件為定壓生產(chǎn)或者定產(chǎn)生產(chǎn)；整個(gè)氣藏恒溫、均質(zhì)；氣體的擴(kuò)散發(fā)生在基質(zhì)系統(tǒng)且為穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，滲流發(fā)生在天然裂縫系統(tǒng)和水力裂縫；考慮基質(zhì)的收縮效應(yīng)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 天然裂縫流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

物質(zhì)平衡方程：

(1)

式中：r為氣藏模型徑向半徑，m；p為地層壓力，MPa；μ為氣體黏度，mPa·s；Z為氣體偏差因子；φ為氣藏孔隙度；cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；K為氣藏滲透率，D；t為時(shí)間，d；psc為標(biāo)準(zhǔn)壓力，MPa；T為氣藏的溫度，K；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)溫度，K；V為氣體的濃度，m3/m3。

在處理基質(zhì)擴(kuò)散的過程中，采用擬穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散得到的物質(zhì)平衡方程，右邊是帶有壓力項(xiàng)的函數(shù)，目前的處理方法是令其約等于常數(shù)，這樣通常會(huì)帶來誤差。另外，在考慮基質(zhì)收縮的歷史擬合中，每變一次壓力或者產(chǎn)量會(huì)重新求解物質(zhì)平衡方程，會(huì)使時(shí)間疊加原理帶來巨大的計(jì)算量，用目前普通計(jì)算機(jī)無法解決，使得在軟件化過程中不能考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)。文中討論的基質(zhì)擴(kuò)散模型可以有效地規(guī)避這一問題，在計(jì)算過程中不必假設(shè)壓力常數(shù)，而且可以降低計(jì)算量，提高計(jì)算速度，在產(chǎn)能評(píng)價(jià)軟件中可考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)。

穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的物質(zhì)平衡方程[12]：

(2)

(3)

式中：cd為吸附壓縮系數(shù)，MPa-1；ψ為Hussainy擬壓力[13]；pb為擬壓力積分參考?jí)毫?，MPa。

引入擬時(shí)間函數(shù)：

(4)

(5)

式中：VL為朗格繆爾體積，m3/t；pL為朗格繆爾壓力，MPa。

該擬時(shí)間函數(shù)能夠考慮滲透率及孔隙度對(duì)時(shí)間的變化，可以結(jié)合時(shí)間疊加原理使用。只需把孔滲隨時(shí)間變化的關(guān)系式輸入即可，而對(duì)于煤層的孔滲隨時(shí)間變化關(guān)系已有諸多研究[14-17]。把擬時(shí)間函數(shù)帶入式(2)中：

(6)

通過對(duì)擴(kuò)散狀態(tài)的合理設(shè)定以及擬時(shí)間函數(shù)的引入，能夠完全地把煤層氣藏中物質(zhì)平衡方程的右邊轉(zhuǎn)化為常數(shù)。無因次化之后，可以根據(jù)邊界條件和初始條件，得到式(6)的解為：

(7)

表1 不同邊界條件下A和B的值

注：reD為無因次氣藏半徑；K1、I1為一階貝塞爾函數(shù)。

2.2 水力裂縫流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

忽略裂縫中流體的壓縮性，有限導(dǎo)流裂縫中的流動(dòng)方程為[18-20]：

(8)

在理論解析解求解過程中，需要假設(shè)內(nèi)邊界條件為定值來得到解析解的特解，但在實(shí)際生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)條件的影響，產(chǎn)量和壓力一般是變化的，需要借助Duhamel褶積來對(duì)變化的產(chǎn)量或壓力進(jìn)行疊加，進(jìn)而可以得到變產(chǎn)量和變壓力下的理論解析解，實(shí)現(xiàn)理論解析解和實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的擬合，在擬合的基礎(chǔ)上最終實(shí)現(xiàn)氣井的產(chǎn)能評(píng)價(jià)和產(chǎn)量預(yù)測(cè)。

3 實(shí)例分析

3.1 壓力影響分析

實(shí)際井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)來自FEKETE軟件中的例子，基本參數(shù)如表2。基質(zhì)收縮模型采用Seidle and Huitt模型[6]，其表達(dá)式為：

(9)

(10)

式中：φi為原始狀態(tài)下的滲透率，D；dCm為基質(zhì)收縮系數(shù)，t/m3，pi為原始狀態(tài)下的地層壓力，MPa；Ki為原始狀態(tài)下的地層滲透率，D；n為孔滲關(guān)系指數(shù)。

表2 基質(zhì)收縮效應(yīng)對(duì)比基礎(chǔ)參數(shù)

基質(zhì)收縮是由基質(zhì)的解吸現(xiàn)象及基質(zhì)受到壓縮所導(dǎo)致的，在前期吸附氣體解吸不明顯，基質(zhì)收縮對(duì)無因次井底壓力影響不大，隨著開采的進(jìn)行，基質(zhì)收縮影響越來越明顯。對(duì)于Seidle and Huitt模型而言，隨著壓力的降低，基質(zhì)收縮會(huì)使得滲透率增加，從而使得地層的滲流條件變好，在定流量的前提下，地層中的壓降會(huì)降低，地層能量的利用率提高。

3.2 模型實(shí)際應(yīng)用分析

以中國(guó)沁水盆地樊莊區(qū)塊壓裂直井為例。該區(qū)塊位于沁水盆地南部晉城馬蹄形斜坡帶，煤層厚度較大，可采煤層包括3號(hào)、9號(hào)和15號(hào)，中山西組3號(hào)煤層為目前開發(fā)的主要煤層，埋深為400～700 m，總體上東深西淺，一般厚度為5～6 m，總體上東厚西薄，分布穩(wěn)定，煤層結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，底部常發(fā)育0.7 m左右的構(gòu)造煤[9]。

選取樊莊區(qū)塊6口具有基質(zhì)收縮效應(yīng)的單井為例，由巖心應(yīng)力測(cè)試數(shù)據(jù)可知，這些井及其附近煤層具有較強(qiáng)的基質(zhì)收縮特性，故采用考慮基質(zhì)收縮特性的煤層氣藏解析解模型來對(duì)生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，基質(zhì)收縮模型采用適用范圍較廣的常指數(shù)滲透率模型[5]。FZ-1井基礎(chǔ)數(shù)據(jù)見表3，根據(jù)時(shí)間疊加原理，采用文中得到的產(chǎn)能方程對(duì)單井產(chǎn)氣量、井底流壓以及累計(jì)產(chǎn)氣量等歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，通過歷史擬合對(duì)比，解析解的擬合參數(shù)與目前單井認(rèn)識(shí)基本相同(表4)。

表3 FZ-1井基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

通過理論模型與現(xiàn)場(chǎng)6口生產(chǎn)井對(duì)比，考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)能夠得到準(zhǔn)確的產(chǎn)能評(píng)價(jià)結(jié)果，與現(xiàn)場(chǎng)認(rèn)識(shí)誤差均在10%以內(nèi)(表4)，其中，地層系數(shù)平均誤差為4.10%，滲透率平均誤差為4.41%，孔隙度平均誤差為7.84%，基質(zhì)收縮系數(shù)平均誤差為4.30%，裂縫半長(zhǎng)平均誤差為6.83%。單井生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果顯示，考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)能夠有效地提高擬合結(jié)果，降低擬合誤差(表5)，其中，壓力平均擬合誤差降低了45.80%，產(chǎn)量平均擬合誤差降低了45.10%，累計(jì)產(chǎn)氣量平均擬合誤差降低了89.80%。在歷史擬合的基礎(chǔ)上，可以設(shè)定井底流壓，對(duì)單井未來的產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表4 考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)的單井產(chǎn)能評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比

注：A為文中模型結(jié)果,B為綜合認(rèn)識(shí)。

表5 考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)條件下單井生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

注：C為不考慮基質(zhì)收縮；D為考慮基質(zhì)收縮。

4 結(jié) 論

(1) 建立了煤層氣藏有限導(dǎo)流裂縫的滲流模型，通過Duhamel褶積，解決了變流壓生產(chǎn)或者變產(chǎn)量生產(chǎn)問題，達(dá)到了解析解模型與歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合的目的。

(2) 通過引入新的擬時(shí)間函數(shù)，考慮了穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散下煤層氣藏基質(zhì)收縮效應(yīng)對(duì)生產(chǎn)的影響，降低了計(jì)算量，提升了計(jì)算效率。

(3) 基質(zhì)收縮是由基質(zhì)的解吸現(xiàn)象及基質(zhì)受到壓縮所導(dǎo)致的，在前期吸附氣體解吸較不明顯的情況下，基質(zhì)收縮對(duì)無因次井底壓力的影響不大，隨著開采的進(jìn)行，基質(zhì)收縮的影響越來越明顯，基質(zhì)收縮會(huì)使得滲透率增加，地層能量的利用率提高。

(4) 通過與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合，在考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)的過程中，可提高擬合精度，降低預(yù)測(cè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的擬合誤差，基質(zhì)收縮是煤層氣藏必須考慮的一個(gè)因素。