☉南京大學附屬中學 薛 梅

數(shù)學必修1是高中數(shù)學的基礎(chǔ)，是高一新生進入高中階段必須先學習的內(nèi)容.在初中階段，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，其對函數(shù)已經(jīng)有了初步的感性認識.而高中階段迎接學生的是另外三個全新的基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).常言道：良好的開端是成功的一半.因此，如何引導學生牢固掌握這三個基本初等函數(shù)，是教師不可回避的問題.作為教師，必須深入研究教材，牢牢把握教學要求，積極地為學生的學習開辟綠色通道.

一、明確教學目標，把握教學難度

要做到明確教學目標，把握教學難度，必須先重溫三個函數(shù)的考綱要求：

1.關(guān)于指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解有理數(shù)指數(shù)冪的定義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

2.關(guān)于對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運算中的作用.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）.

3.關(guān)于冪函數(shù)

從三個函數(shù)的考綱要求中，我們應該抓住四個關(guān)鍵詞：知道、了解、理解和掌握.由此可以看出，教學的重點和難點設(shè)計應該在要求理解和掌握的知識點上，即應該放在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)上，對于指數(shù)運算和對數(shù)運算也不可掉以輕心，尤其是對數(shù)運算，對于學生來說是難點，它是學習對數(shù)函數(shù)之前必須要跨過的一道坎，必須要花大力氣去克服.過去有人認為，將來高考主要考的是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，而不是冪運算與對數(shù)運算，于是，就忽視了這部分內(nèi)容的教學，通常對有關(guān)運算不加研究，只做到點到為止，因此，對數(shù)運算成了學生的“盲區(qū)”.其實，從近幾年高考來看，指數(shù)運算與對數(shù)運算的考題也頻頻出現(xiàn)，因此，作為教師，必須糾正對這個問題的錯誤看法.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)則是教學的重中之重，在教學中，教師應做到低起點、高要求.

所謂低起點，就是從課本要求出發(fā)，以本為本，掃清基本知識障礙；所謂高要求，是針對高考命題要求而言，在教學中，可以適當增加練習難度，設(shè)計具有一定綜合性的例題，讓學生感知高考要求，但不宜將高三一輪復習的題目下放到這里，切不可揠苗助長.

而對于冪函數(shù)教學要求則較低，不必“深挖洞”，也不宜“廣積糧”，掌握教材上的例題與習題的難度就足夠了.

二、把握函數(shù)關(guān)系，厘清思維導圖

任何事物都不是孤立存在的，函數(shù)也是如此，教師教會學生厘清三個基本初等函數(shù)間的關(guān)系，也就教會了學生從整體上把握住這三個函數(shù).

關(guān)于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，可以引導學生從以下三個方面去研究：

1.從整體上把握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

從整體上把握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，引導學生抓住以下五點：

（1）對于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）而言，指數(shù)函數(shù)的定義域與值域是其相應對數(shù)函數(shù)的值域與定義域.它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，故它們互為反函數(shù)，如y=10x與y=lgx.

（2）從函數(shù)的奇偶性角度來看，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都不具備奇偶性.

（3）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與y=a-x（a＞0且a≠1）的圖像關(guān)于y軸對稱.

（4）對照它們的圖像特征，可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在y軸右側(cè)部分，圖像越在上方，它的底數(shù)越大；對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）在x軸上方部分，圖像越在下邊，它的底數(shù)越大.

（5）在指數(shù)冪中，它的底可以取1，也可以取負值；但在指數(shù)函數(shù)中，它的底數(shù)必須是不等于1的常數(shù).

2.從圖像上理解對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系

對數(shù)函數(shù)的圖像可根據(jù)其反函數(shù)的圖像性質(zhì)作出，也可用描點法來畫，把握住對數(shù)函數(shù)圖像的以下特征，就能準確地畫出對數(shù)函數(shù)的圖像：

對數(shù)函數(shù)圖像具有如下特點：

（1）它們都過兩個點（1，0），（a，1）.

（2）y軸是漸近線.

（3）a＞1時，由左向右逐漸上升；0＜a＜1時，由左向右逐漸下降.

（4）曲線位于y軸右側(cè)，且以y軸為漸近線，故定義域x∈（0，+∞）.

（5）曲線向上向下無限延伸，值域y∈R.

（6）曲線恒過定點（1，0），即loga1=0，即當x=1時，y=0.

（7）當a＞1時，曲線逐漸上升，該函數(shù)是增函數(shù)；當0＜a＜1時，曲線逐漸下降，該函數(shù)是減函數(shù).

3.從特例來理解對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

關(guān)于冪函數(shù)，主要引導學生抓住幾個特殊冪函數(shù)在第一象限的圖像，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性，推導出函數(shù)圖像的其他部分，如圖2所示.

同時，要求學生在學習這三個基本初等函數(shù)時，腦中必須有如下結(jié)構(gòu)圖：

要求學生將圖中內(nèi)容演化為知識點，再將知識點串聯(lián)，內(nèi)化為自己的知識.

三、學會思考問題，提升思維能力

學習數(shù)學的最終目的之一，就是會解題.對于本部分內(nèi)容來說，求解有關(guān)題目時，必須關(guān)注相關(guān)的函數(shù)圖像與性質(zhì)，尤其是對于初次遇到這類復合函數(shù)的學生來說，更要花大力氣教給學生基本的方法和數(shù)學思想，如數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、分類討論等.

這是一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的含參復合函數(shù)問題，一直是學生的“痛點”，對于這類問題，教師應該這樣引導學生：對數(shù)不等式問題，一般要先確保對數(shù)中底數(shù)大于0，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解不等式，特別是對數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，單調(diào)性不明確，從而無法求解不等式，故應分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論.

要提升學生的思維能力，教師還必須要引導學生做題時減少失誤，盡量做到“零失誤”.為此，筆者幫助學生總結(jié)了以下幾條：

1.解答指數(shù)與對數(shù)的運算問題時，通常要先統(tǒng)一底數(shù)，然后才能運用相關(guān)的運算和法則.

2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像應用十分廣泛，它在確定函數(shù)的單調(diào)性、值域、非常規(guī)方程的根和非常規(guī)不等式中的參數(shù)等中都有重要的作用.

3.對于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的應用十分廣泛，應用時要注意確定底數(shù)范圍，通常情況下底數(shù)不確定時，應注意分類討論思想的應用.運用單調(diào)性比較實數(shù)大小時通常要首先分析數(shù)（式）的結(jié)構(gòu)，是指數(shù)形式？還是對數(shù)形式？若底數(shù)相同，則可直接利用單調(diào)性解決；若底數(shù)不相同，則可通過統(tǒng)一底數(shù)或借助中間值來解決.

4.對于對數(shù)函數(shù)的復習要樹立一種意識，即“底數(shù)大于0不等于1，真數(shù)大于0”.

5.掌握求解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)混合構(gòu)成的方程或不等式恒成立問題時，常常要考慮它們對應的函數(shù)圖像的交點情況，或由它們的位置關(guān)系通過建立方程或不等式來解決.

以上三個做法，是筆者長期教學的實踐經(jīng)驗，希望對大家有所啟示.本文不當之處，懇請斧正.W