☉江蘇省徐州市第二中學 劉 陽

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》一文在“課程基本理念”中創(chuàng)新性地提出：“高中數學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數學學科核心素養(yǎng).”進而根據數學學科特點，歸納總結出了高中階段數學的六大核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

數學課堂是教師教學、學生學習的主要陣地，而解題是貫穿其中的一條主要鏈條，如何在解題的過程中培養(yǎng)與滲透學生的數學核心素養(yǎng)呢？本文結合教學實踐，通過具體的教學案例來剖析學生的數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升.

二、問題的解決

（一）在數學概念應用中培養(yǎng)與提升學生的數學抽象素養(yǎng)

數學概念應用成為培養(yǎng)與提升學生的數學抽象素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)之一.

數學抽象是指除去事物的一切物理屬性后所剩的具體的數學研究對象的思維過程，而數學概念恰恰是揭示對應事物之間的數量、結構、關系以及空間形式等本質屬性，兩者之間具有一定的關聯(lián).特別地，數學概念完全離不開數學抽象的思維過程，必須從具體事物中區(qū)分并抽象出所研究的具體對象的本質特征，進而加以科學的抽象概括，從而得以認識和理解所研究的對象，最后結合對應的數學知識來分析與處理.

案例1已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數f（x）為單調函數，且滿足

思維過程：本題涉及抽象函數及其函數值的求解，涉及函數的單調性、函數的解析式、函數值問題等.解題的關鍵是如何從抽象函數所滿足的關系式入手，通過賦值，利用待定系數法、局部換元法、整體換元法等方法來解決，從而達到求解相應的函數值的目的，巧妙地滲透數學抽象素養(yǎng).

解題剖析：設f（1）=m≠0（否則不滿足

所以令x=1時，可得，即mf（m+1）=1，可得

又令x=m+1時，可得，即，可得

由函數f（x）為定義在區(qū)間（0，+∞）上的單調函數，

（二）在數學定理、公式應用中培養(yǎng)與提升學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng)

數學定理及公式的應用成為培養(yǎng)與提升學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng)的重要手段之一.邏輯推理是從一些已知的事實、確定的命題等角度出發(fā)，根據邏輯規(guī)則、相應的定義、公理或定理等來推理一個相關命題的邏輯思維過程，而數學定理、公式的推理與應用往往是邏輯推理的重要結果之一，同時邏輯推理也是得到數學定理、公式的重要方式之一，其中又滲透著豐富的數學運算素養(yǎng).

案例2已知cos（α+β）=cosα+cosβ，試求cosα的最大值.

思維過程：從三角恒等變換入手加以變換，結合三角關系式的特征，視β為主元，通過觀察（cosα-1）cosβsinαsinβ，利用輔助角公式加以轉化，結合三角函數的圖像與性質得到相應的三角不等式，再通過解三角不等式來解決最值問題.巧妙滲透邏輯推理和數學運算素養(yǎng).

解題剖析：由cos（α+β）=cosα+cosβ，可得cosαcosβsinαsinβ=cosα+cosβ，

整理可得（cosα-1）cosβ-sinαsinβ=cosα，

根據輔助角公式可得cos2α=［（cosα-1）2+（-sinα）2］sin2（β+φ），

則有cos2α≤（cosα-1）2+（-sinα）2，整理可得cos2α+，解得

（三）在立體幾何應用中培養(yǎng)與提升學生的直觀想象素養(yǎng)

立體幾何應用成為培養(yǎng)與提升學生的直觀想象素養(yǎng)的重要場所之一.在立體幾何應用中，用不同空間場景、不同位置關系、不同數量形態(tài)、不同變化規(guī)律等為直觀想象的埋設提供條件.而直觀想象又是在立體幾何的基礎上直觀地發(fā)現和提出數學問題，并結合立體幾何的相關知識分析和解決數學問題的重要手段之一，奠定探索和形成有效的論證思路、進行合理的邏輯推理、構建具體的抽象結構的思維基石，從而有效解決問題.

案例3（2018·全國尖子Ⅰ理·12）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則用α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

思維過程：解決本題的關鍵是確定滿足條件“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”的平面α的變化規(guī)律，通過動與靜的結合，構造直觀模型，確定所有截面圖形中截面面積的最大值所對應的截面情況，很好的體現了空間想象能力與推理論證能力，而具體的最值求解則顯得比較簡單.巧妙滲透直觀想象素養(yǎng).

解題剖析：根據題目條件可知平面A1C1B符合題意，如圖1所示，那么題中的平面α可以由平面A1C1B平移得到，平移后的圖像如圖2所示，六邊形EFGHMN為該截面，如圖3所示，

圖2

圖3

同理△EHP也為等邊三角形，

（四）在實際問題應用中培養(yǎng)與提升學生的數學建模和數據分析素養(yǎng)

實際問題應用成為培養(yǎng)與提升學生的數學建模和數據分析素養(yǎng)的重要平臺之一.在實際生活應用問題中，經常需要根據實際問題對相關的數據進行數學層面的分析與處理，將生活實際問題轉化為與之對應的數學模型（即數學建模），進而再利用相關的數學知識來分析、解決對應的數學模型，最后再轉化為實際生活問題的解即可.

案例4（2018·北京理·4；文·5）“十二平均律”是通用的音律體系，明代著名的律學家，有“律圣”之稱的朱載堉（1536年—1611年）最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展與應用做出了重要貢獻.十二平均律是將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于同一個常數若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（ ）.

思維過程：根據題目條件的分析可知“十二平均律”中的所有的單音的頻率構成一個等比數列，并通過確定首項與公比，結合等比數列的通項公式來處理求解即可.巧妙滲透數學建模和數據分析素養(yǎng).

解題剖析：根據題目條件可知，所有的單音的頻率構成一個以a1=f為首項，公比的等比數列，

三、感悟與反思

其實，我們知道“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”這六大高中數學核心素養(yǎng)之間既相互獨立，可以直接應用于具體問題，又相互融合，形成一個有機和諧的整體，共同用來解決相關問題.因此，不僅僅是中學階段，從小 學一年級（或更早的學前教育階段）開始到大學階段，各個階段都離不開數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升，這是一個系統(tǒng)不間斷的過程.在數學解題過程中都可以有意識地培養(yǎng)與滲透.總之，在新課程標準的指引下，如何在各層面培養(yǎng)與提升學生的數學核心素養(yǎng)已經成為每一位數學教師的光榮使命，通過不同角度積極實踐，獲得有效成果，共同交流，共同提高.