☉廣東省惠州市第一中學(xué) 方志平
數(shù)列與概率都是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在高中各級(jí)各類數(shù)學(xué)考試中頻頻出現(xiàn)數(shù)列與概率的交匯題.其中一類題借用數(shù)列中的遞推關(guān)系,用有限的方法解決無限的問題,這也是解決一些概率問題行之有效的好方法.本文采擷了幾道與遞推法相關(guān)的概率試題,權(quán)當(dāng)拋磚引玉.
例1(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西壯族自治區(qū)預(yù)賽試題)一名籃球隊(duì)員進(jìn)行投籃練習(xí),若第n次投籃投中,則第n+1次投籃投中的概率為若第n次投籃不中,則第n+1次投籃投中的概率為若該隊(duì)員第1次投籃投中的概率為,則第4次投籃投中的概率為______.
解:設(shè)該隊(duì)員投中第n-1個(gè)球的概率為Pn-1,投不中的概率為1-Pn-1,則投進(jìn)第n個(gè)球的概率為:
評(píng)注:根據(jù)已知條件雖然可依次求得概率P2,P3,P4,但比較繁瑣.考慮第n+1次結(jié)果受第n次結(jié)果的影響,且前后次之間的概率Pn與Pn+1存在著遞推關(guān)系,于是聯(lián)想到借助遞推思想方法求解更為簡(jiǎn)捷.
例2(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試題)甲、乙兩人輪流擲一枚骰子,甲先擲,規(guī)定:若甲擲到1點(diǎn),則甲繼續(xù)擲,否則由乙擲;若乙擲到3點(diǎn),則乙繼續(xù)擲,否則由甲擲.兩人始終按此規(guī)則進(jìn)行,則第n次是甲擲的概率Pn=______.
解:甲擲到1點(diǎn)(乙擲到3點(diǎn))概率為甲未擲到1點(diǎn)(乙未擲到3點(diǎn))概率為設(shè)第n次由甲擲的概率為P,n則乙擲的概率為1-Pn,第一次由甲擲的概率P1=1,故第二次由甲擲的概率,于是第n+1次由甲擲的概率為,即所以,所以
評(píng)注:本題的解題切入點(diǎn)是從題設(shè)的信息中探索出相鄰兩次拋擲的概率間的遞推關(guān)系.于是得出甲能擲第n+1次取決于甲第n次擲到1點(diǎn)或乙第n次未擲到3點(diǎn),由于這兩事件是互斥的,于是有
例3(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津市預(yù)賽試題)電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個(gè)數(shù)字1或2,將輸出的前n個(gè)數(shù)字之和被3整除的概率記為Pn.
證明:(1)這n個(gè)數(shù)字共有2n種可能情形,設(shè)其中數(shù)字之和被3整除的有xn種,則不被3整除的有2n-xn種,對(duì)于n+1個(gè)數(shù)字的情形,如果其和被3整除,則前n個(gè)數(shù)字之和不被3整除;反之,對(duì)于前n個(gè)數(shù)字之和不被3整除的每種情形,都有唯一的第n+1個(gè)數(shù)字可使前n+1個(gè)數(shù)字之和被3整除,于是有xn+1=2n-xn.(*)
評(píng)注:本題關(guān)于概率Pn的遞推關(guān)系比較隱蔽,但從事件發(fā)生的情況種數(shù)分析思考,不難理解遞推關(guān)系xn+1=然后利用,將其轉(zhuǎn)化為,特別注意,所以,從而問題便迎刃而解.
例4(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽試題)擲一枚硬幣,每次出現(xiàn)正面得1分,出現(xiàn)反面得2分,反復(fù)擲這枚硬幣,則恰好得n分的概率為______.
解:(1)由于事件得分為n+2是由以下兩個(gè)互斥事件組成:
①事件“得分為n+1分,再出現(xiàn)一次正面向上得1分”,此時(shí)得分為n+2分的概率為
②事件“得分為n分,再出現(xiàn)一次反面向上得2分”,此時(shí)得分為n+2分的概率為
評(píng)注:本題也可以從問題的反面思考,利用“Pn=aPn-1+b型”求解.設(shè)得n分的概率為Pn,得不到n分的情況只有先得n-1分,再擲出反面,概率為,所以1-P=n,即又因?yàn)椋訮-n此解法新穎,富有創(chuàng)意.
例5從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M,按向量a=(0,1)移動(dòng)的概率為按向量b=(0,2)移動(dòng)的概率為設(shè)M到達(dá)點(diǎn)(0,n)的概率為Pn,求Pn.
解:M到達(dá)點(diǎn)(0,n)有兩種情形:
(1)從點(diǎn)(0,n-1)按向量a=(0,1)移動(dòng)到點(diǎn)(0,n),此時(shí)概率為
(2)從點(diǎn)(0,n-2)按向量b=(0,2)移動(dòng)到點(diǎn)(0,n),此時(shí)概率為
評(píng)注:本題背景新穎,既是用向量“包裝”的概率題,又是與遞推法相關(guān)的數(shù)列題,三者聯(lián)袂,不但開拓了學(xué)生的視野,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維,而且還彰顯了數(shù)學(xué)的無窮魅力!
綜上,本文列舉的幾個(gè)例子是與數(shù)列有關(guān)的概率題,從中可以看出遞推法是解決此類問題的簡(jiǎn)潔方法,甚至有些問題也只能用遞推法求解.上述各例也向我們展示了用遞推法求解的解題過程,實(shí)現(xiàn)了由局部已知到全局未知的探索,由抽象思維到形象思維的融合,這對(duì)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)創(chuàng)新能力都大有裨益!H