☉江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 景 君

“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要方面，這些素養(yǎng)之間既相互獨(dú)立，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)、和諧的整體.但如何正確引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展呢？我們可以直接通過具有導(dǎo)向意義的高考真題來展示.下面結(jié)合2018年高考數(shù)學(xué)真題，就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查進(jìn)行實(shí)例剖析.

數(shù)學(xué)抽象主要涉及的內(nèi)容：從數(shù)學(xué)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，進(jìn)而從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語言予以表征，用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行處理.

例1（2018年全國(guó)卷Ⅱ）已知f（x）是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）.

分析：結(jié)合抽象函數(shù)的基本性質(zhì)與關(guān)系式，通過奇函數(shù)的性質(zhì)、周期函數(shù)等來轉(zhuǎn)化與處理，再直接利用函數(shù)的基本性質(zhì)來切入，從而得以求解.

解：由于f（x）是奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0，且滿足f（1-x）=f（1+x），則有f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），令x=t+1，則-f（t）=f（t+2），-f（t+2）=f（t+4），故f（t）=f（t+4），即f（x）=f（x+4），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期T為4.

結(jié)合f（x+1）=-f（x-1），f（1）=2，可得f（3）=-f（1）=-2，而f（2）=f（-2）=-f（2），可得f（2）=0，則有f（4）=-f（2）=0，則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12×0+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合抽象函數(shù)的基本性質(zhì)與關(guān)系式，通過奇函數(shù)的性質(zhì)、周期函數(shù)等來轉(zhuǎn)化與處理，直接利用函數(shù)的基本性質(zhì)作為切入點(diǎn)進(jìn)行求和.

邏輯推理主要涉及兩類問題：一類是從特殊到一般的推理，其邏輯推理形式主要有歸納、類比等；一類是從一般到特殊的推理，其邏輯推理形式主要有演繹等.

例2（2018年北京卷）設(shè)集合A={（x，y）|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，則（ ）.

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）∈A

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）?A

C.當(dāng)且僅當(dāng)a＜0時(shí)，（2，1）?A

分析：假定（2，1）∈A，分別作為x與y的值，代入條件中的集合，從而確定參數(shù)a的取值范圍，由此得以推理出對(duì)應(yīng)結(jié)論的真假情況.

解：若（2，1）∈A，當(dāng)x=2，y=1時(shí)，有2a+1＞4且2-a≤2，即且a≥0，所以當(dāng)時(shí)，（2，1）∈A，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1）?A.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：通過假定（2，1）∈A，確定x與y之間的值，進(jìn)而確定參數(shù)的取值情況，考查邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在具體推理過程中，要抓住問題的條件結(jié)合數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)語言，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，再結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來處理與推理.

數(shù)學(xué)建模主要涉及的內(nèi)容：在實(shí)際情境中，通過數(shù)學(xué)的視角來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，進(jìn)而求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.

例3（2018年全國(guó)卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.

分析：通過構(gòu)造單位圓，把對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式與相應(yīng)的三角形面積加以鏈接得到S△ABC=|sinx（1+cosx）|，通過單位圓中所有內(nèi)接三角形中正三角形的面積最大的性質(zhì)來建立不等式即可求解最值問題.

解：如圖1，構(gòu)造單位圓，其中A（-1，0），B（cosx，sinx），C（cosx，-sinx），D（cosx，0），那么

可知（fx）=2sinx+sin2x的最小值為

點(diǎn)評(píng)：借助解幾的特殊數(shù)學(xué)模型——單位圓，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).巧妙地把對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式與三角形的面積加以鏈接，利用在單位圓中所有內(nèi)接三角形中正三角形的面積最大的性質(zhì)來建立不等式，利用單位圓所對(duì)應(yīng)的圖像法來解答更直觀、更簡(jiǎn)捷、更可行，另辟蹊徑，便于解答.

直觀想象主要涉及：（1）借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化及運(yùn)動(dòng)規(guī)律等；（2）利用圖形描述來分析數(shù)學(xué)問題；（3）建立數(shù)與形的聯(lián)系，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，達(dá)到解決問題的目的.

例4（2018年全國(guó)卷Ⅲ）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖2中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖2擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是圖3中的（ ）.

分析：通過直觀圖的分析，由于某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，那么靠近一邊的中間部分必須是中空的，由此可以確定對(duì)應(yīng)的俯視圖形狀.

解：通過觀察直觀圖，可知咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是選項(xiàng)A中的圖形.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：以古代的建筑為問題背景，借助空間幾何體的三視圖來確定相應(yīng)的視圖問題，考查直觀想象的核心素養(yǎng).在解決此類問題時(shí)，往往要從空間幾何體的性質(zhì)、三視圖的規(guī)律等方面入手，借助空間幾何體，真正做到從圖形入手，學(xué)會(huì)畫圖、識(shí)圖、用圖，培養(yǎng)空間想象能力.

數(shù)學(xué)運(yùn)算主要涉及內(nèi)容：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.

例5（2018年全國(guó)卷Ⅰ）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入的構(gòu)成比例，得到如圖4所示的餅狀圖：

圖4

則下面結(jié)論中不正確的是（ ）.

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

分析：假設(shè)建設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入數(shù)，進(jìn)而得到建設(shè)后的經(jīng)濟(jì)收入數(shù)，分別利用兩個(gè)經(jīng)濟(jì)收入的構(gòu)成比例餅狀圖中的數(shù)據(jù)信息加以整合，對(duì)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析，從而作出正確的判斷.

解：假設(shè)建設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入為100，則建設(shè)后的經(jīng)濟(jì)收入為200，可得建設(shè)前的種植收入為100×60%=60，建設(shè)后的種植收入為200×37%=74，由此知A錯(cuò)誤；

建設(shè)前的其他收入為100×4%=4，建設(shè)后的其他收入為200×5%=10，由此知B正確；

建設(shè)前的養(yǎng)殖收入為100×30%=30，建設(shè)后的養(yǎng)殖收入為200×30%=60，由此知C正確；

建設(shè)后的養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為37%+28%=65%，由此知D正確.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：借助統(tǒng)計(jì)中的餅狀圖的識(shí)別與應(yīng)用，通過對(duì)統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)信息的分析與處理，真正考查數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).解決此類統(tǒng)計(jì)中的圖表問題時(shí)，要正確地從統(tǒng)計(jì)的圖表中讀出相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，并加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用相應(yīng)的數(shù)據(jù)來分析與解決問題，達(dá)到?jīng)Q策、判斷的目的.

其實(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)課程發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要有針對(duì)性地加強(qiáng)學(xué)生各方面核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與訓(xùn)練.在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要真正切實(shí)地融入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，重視學(xué)生的閱讀與理解能力，讓學(xué)生充分理解與思考，在思考中充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，主動(dòng)獲取知識(shí)，提高抽象推理能力，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程與發(fā)展，才能真正有利于學(xué)生各方面的發(fā)展.H