馮雪峰，唐家銀

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

0 引言

加速壽命試驗(yàn)（Accelerated life test，ALT）是在保持失效機(jī)理不變的條件下，通過(guò)加大試驗(yàn)應(yīng)力來(lái)縮短試驗(yàn)周期的一種壽命試驗(yàn)方法。對(duì)于高可靠度長(zhǎng)壽命產(chǎn)品,通常使用ALT方法來(lái)使其加速失效，然后通過(guò)外推加速應(yīng)力下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)獲得正常應(yīng)力水平下的各種可靠性指標(biāo)的估計(jì)。加速壽命試驗(yàn)分為恒定應(yīng)力ALT（簡(jiǎn)稱(chēng)恒加試驗(yàn)），步進(jìn)應(yīng)力ALT（簡(jiǎn)稱(chēng)步加試驗(yàn)）和序進(jìn)應(yīng)力ALT（簡(jiǎn)稱(chēng)序加試驗(yàn)）。目前關(guān)于加速壽命試驗(yàn)的研究可以概括為：ALT中加速模型的研究；加速壽命試驗(yàn)方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析。其中加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷方法有兩大類(lèi)：經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷方法和貝葉斯（Bayes）統(tǒng)計(jì)推斷方法。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷方法中，應(yīng)用最廣泛的是極大似然估計(jì)（MLE）法。

在加速壽命試驗(yàn)中,恒加試驗(yàn)具有試驗(yàn)方法簡(jiǎn)單,數(shù)據(jù)處理方法較為成熟和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)精度高的優(yōu)點(diǎn)。針對(duì)二參數(shù)Weibull分布參數(shù)的估計(jì)精度而言，采用MLE法推斷加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)參數(shù)的估計(jì)精度較高，這是MLE的優(yōu)點(diǎn)；但運(yùn)用傳統(tǒng)的MLE法求解模型參數(shù)的估計(jì)值時(shí)，參數(shù)估計(jì)解析困難，計(jì)算冗繁，通常需要借助數(shù)值計(jì)算方法。在已有的研究文獻(xiàn)基礎(chǔ)上[1-8]，本文采用簡(jiǎn)化的極大似然法來(lái)對(duì)二參數(shù)Weibull分布的恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，估計(jì)用于構(gòu)造模型參數(shù)漸進(jìn)置信區(qū)間的Fisher信息矩陣，推斷加速方程系數(shù)的極大似然估計(jì)值,估計(jì)產(chǎn)品在各可靠度下的可靠壽命和相應(yīng)的置信區(qū)間,數(shù)值算例表明采用S-MLE法提高了計(jì)算效率和Weibull可靠性統(tǒng)計(jì)模型的可行性。

1 恒加試驗(yàn)Weibull可靠性統(tǒng)計(jì)模型

1.1 基本假設(shè)

Weibull場(chǎng)合下恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性統(tǒng)計(jì)模型假設(shè)如下：

（1）在不同應(yīng)力水平Si下,產(chǎn)品壽命在統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立且同分布；

（2）在應(yīng)力水平Si下,產(chǎn)品壽命服從威布爾分布W(mi，ηi),i=0，1，···，k。其分布函數(shù)為：

式（1）中：mi＞0，ηi＞0（i=0，1，···，k）分別為形狀參數(shù)和特征壽命。該假設(shè)表明，應(yīng)力水平改變不會(huì)改變壽命分布類(lèi)型；

（3）在各應(yīng)力水平Si下，產(chǎn)品的失效機(jī)理不變。由于威布爾分布的形狀參數(shù)反映了失效機(jī)理的變化,因此該假設(shè)意味著分布中的形狀參數(shù)mi相等，即m0=m1=···=mk=m;

（4）產(chǎn)品的特征壽命ηi與應(yīng)力水平Si間滿(mǎn)足對(duì)數(shù)線性關(guān)系：

式（2）中：γ0，γ1為待估參數(shù)；Si是應(yīng)力水平。

上述假設(shè)是否成立，獲取試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)后都可以進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)方法分別可采用：范·蒙特福特檢驗(yàn)法,巴特利特檢驗(yàn)法和相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法[9]。

1.2 可靠性統(tǒng)計(jì)模型的假設(shè)檢驗(yàn)

（1）Weibull分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

設(shè)在樣本量為n的截尾壽命（定數(shù)或定時(shí)）試驗(yàn)中獲得r個(gè)失效數(shù)據(jù):t1＜t2＜…＜tr。基于此r個(gè)失效數(shù)據(jù),采用范·蒙特福特檢驗(yàn)法[9]來(lái)檢驗(yàn)產(chǎn)品的壽命是否服從Weibull分布。若產(chǎn)品的壽命分布為F(t)，則要檢驗(yàn)假設(shè)：

令xi=lnti,Zi=(xi-μ)σ,則在原假設(shè)H0成立下,xi和Zi分別是來(lái)自極值分布和標(biāo)準(zhǔn)極值分布的第i次序統(tǒng)計(jì)量,其中μ=lnη,σ=1/m為未知參數(shù).Van Montfort提出統(tǒng)計(jì)量:

并證明了在H0成立下，諸li漸近獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布，即自由度為2的χ2分布。把li均分為兩組,則統(tǒng)計(jì)量：

在H0成立下的條件下，漸近服從其中r′=[r/2]。對(duì)于給定的顯著性水平α,如果W＜Fα2(2或則拒絕H0,否則接受H0。

（2）形狀參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)

采用巴特利特檢驗(yàn)法[9]來(lái)檢驗(yàn)威布爾分布W(mi，ηi)中的形狀參數(shù)mi相等,即檢驗(yàn)假設(shè)：

H0:m1=m2=…=mk（原稿中mk前缺少一個(gè)“=”號(hào)）

根據(jù)巴特利特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造,記：

則在原假設(shè)H0成立下,B2C漸近服從自由度為k-1的χ2分布。對(duì)于給定的顯著性水平α,檢驗(yàn)規(guī)則為:當(dāng)(k-1)時(shí),拒絕H0;否則接受H0,即各應(yīng)力水平下的形狀參數(shù)mi相等.其中,的方差系數(shù)。

（3）對(duì)數(shù)線性模型的假設(shè)檢驗(yàn)

對(duì)數(shù)線性模型式（3）是否能刻畫(huà)特征壽命與試驗(yàn)應(yīng)力水平間的關(guān)系,這需要進(jìn)行檢驗(yàn)。在實(shí)際工作中可用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法，首先計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)：

對(duì)于給定的顯著性水平α,查相關(guān)系數(shù)臨界值表的臨界值時(shí),則認(rèn)為樣本中Si與yi相關(guān)，用對(duì)數(shù)線性模型來(lái)刻畫(huà)特征壽命與試驗(yàn)應(yīng)力間的關(guān)系是合理的；當(dāng)時(shí)，則認(rèn)為樣本中Si與yi不相關(guān),這意味著本文選取的對(duì)數(shù)線性模型不可用。

2 定時(shí)截尾試驗(yàn)下模型參數(shù)的估計(jì)方法

2.1 定時(shí)截尾樣本數(shù)據(jù)的極大似然估計(jì)

基于Weibull分布定時(shí)截尾恒加試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膮?shù)的估計(jì)方法有：極大似然估計(jì)（MLE），最小二乘估計(jì)和圖估計(jì)等。由于MLE較其他估計(jì)方法而言，估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)離差是最小的，且MLE估計(jì)具有漸近正態(tài)性。因此，本文采用簡(jiǎn)化的極大似然估計(jì)（S-MLE）法對(duì)Weibull分布恒加試驗(yàn)可靠性統(tǒng)計(jì)模型的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

在滿(mǎn)足可靠性統(tǒng)計(jì)模型的三項(xiàng)基本假設(shè)的前提下,對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn),試驗(yàn)的加速應(yīng)力水平為S1＜S2＜…＜Sk。假設(shè)在加速應(yīng)力水平Si下投入ni個(gè)樣品進(jìn)行定時(shí)截尾壽命試驗(yàn),試驗(yàn)的截止時(shí)間為τi。在[0，τi]內(nèi)觀測(cè)到ri個(gè)樣品發(fā)生失效,失效時(shí)間依次為：

且認(rèn)為其余ni-ri個(gè)樣品將在(τi，∞)內(nèi)發(fā)生失效。

則k個(gè)加速應(yīng)力水平S1＜S2＜…＜Sk下的全部失效樣品數(shù)據(jù)為：

由Weibull分布的概率密度函數(shù)：

可得第i個(gè)應(yīng)力水平Si下的似然函數(shù)為：

則第i個(gè)應(yīng)力水平Si下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

從而,k個(gè)加速應(yīng)力水平S1＜S2＜…＜Sk下的全部失效樣品數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

式（6）中:

定義非負(fù)整數(shù)a和b,即a，b≥0。由于：

根據(jù)Qa，b可容易求得對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL的一階偏導(dǎo)數(shù):

通過(guò)令對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，即可獲得模型參數(shù)的極大似然估計(jì)值。通常,求解對(duì)數(shù)似然方程需要采用數(shù)值計(jì)算方法，這會(huì)增加計(jì)算難度。因此本文考慮一種改進(jìn)的算法,如令：

可得：

再將式（11）代入式（6）可得簡(jiǎn)化的對(duì)數(shù)似然函數(shù)

通過(guò)最大化簡(jiǎn)化的對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL*可獲得m,γ1的極大似然估計(jì)值?和,然后再將?和?代入式（11）即可獲得γ0的極大似然估計(jì)

2.2 信息矩陣與協(xié)方差矩陣

其中,協(xié)方差矩陣∑可通過(guò)信息矩陣F的逆矩陣來(lái)估計(jì),而信息矩陣F是對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL的負(fù)二階偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望[10],即信息矩陣F為：

當(dāng)產(chǎn)品的壽命分布服從Weibull分布時(shí),信息矩陣F的元素可用對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL的負(fù)二階偏導(dǎo)數(shù)值來(lái)近似[11],其計(jì)算公式為：

2.3 Weibull型產(chǎn)品可靠壽命估計(jì)

運(yùn)用S-MLE法估計(jì)出γ?0,γ?1和m?后，即可獲得正常應(yīng)力水平S0下產(chǎn)品可靠度為R的可靠壽命（對(duì)數(shù)可靠壽命）的極大似然估計(jì) lnt?R，0,即：

進(jìn)一步，確定Fisher信息矩陣F后，可用式（13）來(lái)計(jì)算正常應(yīng)力水平S0下產(chǎn)品可靠度為R的可靠壽命（對(duì)數(shù)可靠壽命）估計(jì)值的方差即：

由MLE的不變性和漸近正態(tài)性[10],可認(rèn)為產(chǎn)品可靠度為R的可靠壽命（對(duì)數(shù)可靠壽命）的極大似然估計(jì)漸近服從均值為lntR，0,方差為的正態(tài)分布,即：

從而,可靠度為R的可靠壽命tR，0的置信度為1-α漸近置信區(qū)間為：

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

3.1 可靠性統(tǒng)計(jì)模型基本假設(shè)的檢驗(yàn)

文獻(xiàn)[12]給出了某產(chǎn)品在不同溫度應(yīng)力下的壽命數(shù)據(jù),其中包括壽終數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù),具體數(shù)據(jù)見(jiàn)下頁(yè)表1?，F(xiàn)基于此加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù),來(lái)對(duì)此產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行評(píng)估。

表1 某產(chǎn)品的恒定溫度加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)

首先,檢驗(yàn)此產(chǎn)品在各溫度應(yīng)力下的壽命是否服從Weibull分布W(m，η),其檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 Weibull分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果表

由表2可知,給定顯著性水平α=0.05,在230℃下范·蒙特福特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值4.5滿(mǎn)足F0.05(4，6)=0.16＜4.5＜6.16=F0.95(4，6),在245℃下范·蒙特福特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值2.034滿(mǎn)足F0.05(8，10)=0.29＜2.034＜3.35=F0.95(8，10),因此可以接受原假設(shè)H0,即可認(rèn)為此產(chǎn)品的壽命服從Weibull分布。

其次,在顯著性水平α=0.05下,巴特利特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值B2C=5.879,它小于臨界值χ2(0.95，4)=9.488,故可接受原假設(shè)H0,即可認(rèn)為在各應(yīng)力水平下Weibull分布的形狀參數(shù)相等,即m1=m2=…=m5。

3.2 Weibull分布可靠性統(tǒng)計(jì)模型的參數(shù)估計(jì)

采用牛頓迭代算法來(lái)求解模型參數(shù)的極大似然估計(jì),由于在S1=200℃和S2=215℃下產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)太少,因此通過(guò)對(duì)應(yīng)力水平S3=230℃,S4=245℃,S5=260℃下失效數(shù)據(jù)的分析,γ1和m的初值定為m=3.5,γ1=-0.035。表3列出了每一步牛頓迭代運(yùn)算下m,γ1的估計(jì)值,簡(jiǎn)化的似然函數(shù)值及似然函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的值,經(jīng)過(guò)8次迭代后m和γ1收斂到穩(wěn)定值:

表3 牛頓迭代過(guò)程模型參數(shù)和相應(yīng)似然函數(shù)值

表4 不同可靠度下產(chǎn)品可靠壽命估計(jì)結(jié)果

3.3 正常應(yīng)力水平S0下壽命分布及可靠性指標(biāo)的估計(jì)

正常應(yīng)力水平S0下Weibull分布中：

因此,特征壽命η0的估計(jì)為：

可靠度函數(shù)R0(t)的估計(jì)為：

其相應(yīng)的可靠度曲線見(jiàn)圖1。

圖1 正常應(yīng)力水平S0下可靠度曲線

另外,由于對(duì)數(shù)特征壽命與試驗(yàn)應(yīng)力間的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于α=0.01顯著性水平下的絕對(duì)值故可認(rèn)為對(duì)數(shù)特征壽命lnηi與試驗(yàn)應(yīng)力Si呈高度線性相關(guān)關(guān)系,其散點(diǎn)圖見(jiàn)圖2。

圖2 對(duì)數(shù)特征壽命對(duì)溫度應(yīng)力的散點(diǎn)圖

3.4 加速系數(shù)的估計(jì)

加速系數(shù)又稱(chēng)加速因子,它是正常應(yīng)力下某種特征壽命與加速應(yīng)力下相應(yīng)特征壽命之比,其具體定義為:

定義[13]:設(shè)某產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平S0下的失效分布函數(shù)為F0(t),記tR，0為其可靠度為R的可靠壽命,即又設(shè)此產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平Si下的失效分布函數(shù)為Fi(t),記tR，i為其可靠度為R的可靠壽命,則兩個(gè)可靠壽命之比:

稱(chēng)為加速應(yīng)力水平xi對(duì)正常應(yīng)力水平S0下可靠壽命的加速系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)Si對(duì)S0的加速系數(shù)或加速因子。具體地,下文給出Weibull分布下的加速系數(shù)。

對(duì)Weibull分布而言，由于特征壽命ηi就是可靠度為R=e-1=0.368的可靠壽命，因此常用兩個(gè)特征壽命之比來(lái)作為Weibull分布場(chǎng)合的加速系數(shù)。

本例Si對(duì)S0的加速系數(shù)的估計(jì)分別為:

這表明，溫度從200℃提高到215℃時(shí)，平均壽命可縮短3倍；若溫度提高到215℃,平均壽命可縮短7倍；若溫度提高到230℃，平均壽命可縮短17倍；其他可類(lèi)似解釋。

4 結(jié)論

采用簡(jiǎn)化的極大似然估計(jì)（S-MLE）方法對(duì)某產(chǎn)品在5個(gè)加速應(yīng)力水平下的恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，主要結(jié)論如下：

（1）與普通的MLE相比,S-MLE較減小了計(jì)算的復(fù)雜度且提高了參數(shù)的估計(jì)精度；

（2）不同溫度水平下Weibull分布的形狀參數(shù)相同，且Weibull分布的對(duì)數(shù)特征壽命與溫度應(yīng)力間呈高度線性相關(guān)關(guān)系；

（3）得出了Weibull分布的可靠度為0.5,0.6,0.7,0.8和0.9的點(diǎn)估計(jì)和漸近置信區(qū)間；

（4）估計(jì)出了不同溫度水平對(duì)正常溫度水平的加速因子。

本文在快速評(píng)估高可靠度長(zhǎng)壽命產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平下的可靠性研究方面，盡管取得了一些初步成果，但還存在不足，未來(lái)的研究工作可以從以下幾個(gè)方面考慮：

（1）在正常應(yīng)力水平下,產(chǎn)品的可靠性水平在受溫度應(yīng)力影響的同時(shí),還很有可能受濕度應(yīng)力的影響;因此有必要研究在溫度和濕度綜合應(yīng)力下影響產(chǎn)品可靠性水平的快速評(píng)估理論與方法。

（2）模型參數(shù)的極大似然估計(jì)須通過(guò)數(shù)值計(jì)算才可獲得,然而數(shù)值計(jì)算對(duì)初值的依賴(lài)程度較高；若初值選取不夠合理，則直間影響可靠性評(píng)估結(jié)果。故有必要從ALT數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)方法方面進(jìn)行探索研究。