綦 路，陳 蔚

（山東大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院，濟南 250100）

0 引言

不平等指數(shù)是指高收入和低收入的比例和，一般用不平等指數(shù)值表示社會不平等程度，反映社會貧富兩極人口的分布特征[1]。不平等指數(shù)值越低則表示社會中等收入較多，社會分化程度良好，反之，不平等指數(shù)值越高則表示社會貧富分化嚴重[2]。計算不平等指數(shù)時，比較難界定高收入和低收入，因此產(chǎn)生了諸多不平等指數(shù)計算方法，一般分為兩大類別，一類為絕對性指標，如方差、kolm指數(shù)和極差等，依據(jù)量綱對不平等程度進行絕對性計算。此類方法雖然計算流程簡單，但在計算單位變化后，即使不平等程度未變化，計算結(jié)果也會變化，無法準確反映不平等程度[3]。另一類為相對性指標，比較常用的有基尼系數(shù)、泰爾指數(shù)、相對平均離差等，一般認為相對性指標優(yōu)于絕對性指標，原因在于相對性指標避免了單位對指數(shù)的影響。但相對性指標計算方法眾多，是否在面對所有問題時，可任意選取相對性指標計算方法。從學(xué)術(shù)研究成果看，目前沒有任何一種相對性指標方法全面優(yōu)于其他指標，每個不平等指標方法都存在局限性，如基尼系數(shù)無法體現(xiàn)不平等分布狀態(tài)[4]、泰爾指數(shù)無法反映收入位置變動情況[5]。因此，在研究不同狀態(tài)的不平等問題時，需根據(jù)不平等問題特征來選取合適的指標方法，特別是運用相對指標計算方法時，此類計算方法過程復(fù)雜、涉及變量多，如何選擇計算指標方法成為重點。接下來對不平等指數(shù)計算中兩類（基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)）重要相對性指標方法進行研究，以確定這些相對性指標方法最適應(yīng)哪種情形下的不平等指數(shù)計算。

1 基尼系數(shù)框架及其計算方法

1.1 基尼系數(shù)的基本理論框架

基尼系數(shù)是國際衡量不平等程度的通用指數(shù)，赫希曼發(fā)明后由基尼發(fā)揚壯大。赫希曼從洛倫茨曲線分布中發(fā)現(xiàn)不平等程度的面積比關(guān)系[6]，設(shè)實際收入曲線（洛倫茨曲線）與絕對收入平等線之間的合圍面積為X，實際收入曲線（洛倫茨曲線）其他下圍面積為Y，則基尼系數(shù)G可表示為：

從公式（1）可知，如果X值為0則基尼系數(shù)G值為0，表示社會處于完全公平狀態(tài)；如果Y值為0則基尼系數(shù)G值為1，表示社會處于絕對不平等狀態(tài)。如果以實際收入曲線（洛倫茨曲線）為參照線，實際收入曲線（洛倫茨曲線）孤度越大，基尼系數(shù)G值越大，不平等程度越大，反之，實際收入曲線（洛倫茨曲線）孤度越小，基尼系數(shù)G值越小，不平等程度越小。為更清楚地反映上述關(guān)系，利用幾何圖解方式將基尼系數(shù)表示為圖1。

圖1 基尼系數(shù)的幾何圖解關(guān)系

由幾何圖解和面積比公式可得基尼系數(shù)的取值范圍為0～1，聯(lián)合國開發(fā)計劃署等組織根據(jù)不平等程度將基尼系數(shù)劃分為5個等級，見表1。國際上將基尼系數(shù)0.382設(shè)為不平等程度的黃金分割律[7]，超過該數(shù)值則表示國家的不平等程度越高，一般發(fā)達國家的基尼系數(shù)區(qū)在0.2～0.38，我國2016年的基尼系數(shù)為0.465，遠高于國際黃金分割律，不過隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，預(yù)測未來5年內(nèi)基尼系數(shù)有望降至黃金分割律之下。

表1 基尼系數(shù)的國際等級劃分及代表

1.2 基尼系數(shù)的計算方法對比

求解基尼系數(shù)的關(guān)鍵為計算面積比，而面積比的求解方式眾多，因此學(xué)者對基尼系數(shù)的具體計算方法作了大量探索，椐不完全統(tǒng)計大約在15種左右，如直接法、平均差法、矩陣法、曲線擬合法等，接下來本文對應(yīng)用比較廣泛的積分法和幾何分組法進行具體的對比。

第一，積分法。積分法的思路較為簡單，由基尼系數(shù)的幾何圖解關(guān)系可知，絕對收入平等線下圍是一個直角等邊三角形，且二條直角邊的長度為單位1（100%），按上述思路二條直角邊分別定義為OA和OB，見圖2。

即得到三角形AOB，那么就有：

圖2 基尼系數(shù)積分法的幾何圖解

由公式（3）可知，積分法求解基尼系數(shù)的關(guān)鍵是圖2中Y的面積。為得到Y(jié)面積假定實際收入曲線（洛倫茨曲線）滿足函數(shù)f(x),則Y面積可以用函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]的定積分表示。

將式（4）代入式（3），則可得到基尼系數(shù)G的最終公式為：

由此可見，積分法的關(guān)鍵是確定函數(shù)f(x)的形式，顯然函數(shù)f(x)與人口累計百分比、收入累計百分比相關(guān)，利用回歸分析法假定人口累計百分比為x，收入累計百分比為y，則有y=f(x)。在具體的基尼系數(shù)計算過程中，人口累計百分比x和收入累計百分比y為成對數(shù)據(jù)，只要對成對的x、y值進行回歸擬合，則可得出函數(shù)f(x)的具體形式。

第二，幾何分組法。積分法的優(yōu)點在于能夠比較準確地反映基尼系數(shù)，劣勢在于要求用回歸方法求得實際收入曲線（洛倫茨曲線）函數(shù)，對于符合函數(shù)規(guī)律數(shù)據(jù)而言，積分法無疑是最優(yōu)求解方式，如果數(shù)據(jù)為非規(guī)律性函數(shù)則會產(chǎn)生誤差。幾何分組法避免了此類問題，在OA軸上取n個點，將面積Y劃分為n份，見圖3。

圖3 基尼系數(shù)幾何分組法的幾分圖解

每部分以直代曲的方法求解面積，最后加成n份的總面積。由于直代曲存在誤差，只有將n取值為無窮大時，誤差才能降至最低[8]。從圖3中可以看出每份的面積由一個長方形（abcd）和一個三角形（ade）組成，則有：

Y的面積由n個Sabce組成，即有：

將式（7）與式（3）結(jié)合，則可以得出幾何分組法的基尼系數(shù)：

如果將式（8）中的度量單位轉(zhuǎn)換為統(tǒng)計學(xué)意義，則有bc為組距，dc為組下限，ec為組上限，利用上述幾個統(tǒng)計學(xué)指標，即可求得基尼系數(shù)。

1.3 積分法和幾何分組法的計算結(jié)果比較

基尼系數(shù)的計算方法眾多，但廣泛運用的為本文研究的積分法和幾何分組法，兩種方法的計算方式不同，積分法適應(yīng)符合函數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)求解，而幾何分組法能擺脫實際收入曲線（洛倫茨曲線）函數(shù)的限制，對數(shù)據(jù)特征依賴性不強。為驗證兩個計算方法的優(yōu)劣性，選擇某城鎮(zhèn)居民的2017年收入分配數(shù)據(jù)為研究樣本（見表2），對兩種計算方法進行實證檢驗。

表2 某城鎮(zhèn)居民2017年收入分配數(shù)據(jù) （單位：100%）

圖4 某城鎮(zhèn)居民2017年收入分配數(shù)據(jù)的函數(shù)分布規(guī)律散點圖

如果使用積分法求解基尼系數(shù)，關(guān)鍵在于確定函數(shù)形式，將表2中的人口累計比和收入分配累計比散點分布用圖4表示，以尋求二種數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系。

從圖4散點分布特征來看，人口累計百分比與收累計百分比之間存在y=axb函數(shù)關(guān)系。為驗證該關(guān)系并求得常數(shù)a、b值，將所有數(shù)據(jù)代入y=axb函數(shù)，即可得到：

由式（9）求得a=0.7798,b=1.045,將a、b值代入積分法的基尼系數(shù)求解公式，則可得到：

結(jié)果表明，積分法計算下該城鎮(zhèn)2017年收入分配基尼系數(shù)為0.24，屬于低水平的基尼系數(shù)區(qū)間。接下來使用幾何分組法對2017年該城鎮(zhèn)居民的基尼系數(shù)進行運算，由于原始數(shù)據(jù)已經(jīng)分組完成，因此幾何分組法只需要將數(shù)據(jù)代入公式（8）即可。

由此可見，積分法和幾何分組法求解的基尼系數(shù)都為0.24，說明兩種方法的準確率相似。但是積分法需要求解函數(shù)形式，對于數(shù)據(jù)的特征性要求更高，而且在實際操作中，尋找數(shù)據(jù)規(guī)律函數(shù)難度較大，在數(shù)據(jù)散點分布圖中可能無法找到或無法確定函數(shù)形式。而幾何分組法只需要將數(shù)據(jù)進行規(guī)律分組，無需依賴實際收入曲線（洛倫茨曲線）函數(shù)，對數(shù)據(jù)的規(guī)律依賴較少，適用多數(shù)實際性操作。而且?guī)缀畏纸M法對數(shù)據(jù)按不同性質(zhì)歸類分組處理后，可以求解不同層次的基尼系數(shù)，便于研究不同層次的貧富差距等問題。

2 泰爾指數(shù)理論框架與實例計算

基尼系數(shù)對不平等程度反映較為準確，但存在二點不足。第一，基尼系數(shù)具有厭惡不平等現(xiàn)象，對窮人觀察值較敏感，如果樣本中窮人數(shù)據(jù)較大時，則基尼系數(shù)的計算結(jié)果誤差偏大。第二，相同數(shù)量收入轉(zhuǎn)移到研究樣本時，基尼系數(shù)的結(jié)果可能全部轉(zhuǎn)移至低收入樣本，對計算結(jié)果有不利影響。因此，在計算不平等指數(shù)的相對性指標方法中，還有一類泰爾指數(shù)較為常用。泰爾指數(shù)由泰爾(Theil,1967)利用信息理論熵計算收入不平等而來，假設(shè)U為收入分配事件A的發(fā)生概率，即有p(A)=U,并且收入分配事件A發(fā)生信息量e(U) 服從的減函數(shù)形式，那么n個收入分配事件發(fā)生概率為U1、U2、U3……Un，并且在所有事件中，某收入分配事件一定會發(fā)生，即根據(jù)信息熵理論可得：

顯然，當收入分配事件概率Ui趨近時熵值越大，泰爾認為可以用e（U）來反映收入分配不平等差距，依據(jù)信息熵理論e（U）值越大，收入分配越公平[9]，當n個收入分配事件中都有時，則表示n個收入分配事件達到了絕對公平，即e(U)=logn,泰爾在此基礎(chǔ)上將定義logn-e(U)為泰爾不平等指數(shù)（T）。

2.1 泰爾指數(shù)與廣義熵指數(shù)的關(guān)系

由基本理論框架可知泰爾指數(shù)由信息理論熵指數(shù)演變而來，那么泰爾指數(shù)與信息理論中熵指數(shù)有什么關(guān)聯(lián)呢？在信息理論中熵被定義為平均信息量，一般分布形式為連續(xù)和離散兩種[10]，用公式（14）表示離散的廣義熵指數(shù),用公式（15）表示連續(xù)的廣義熵指數(shù)。

式（14）和式（15）中的C為常數(shù)，表示厭惡不平等程度，C值越大，表示厭惡不平等程度越小，Q（p）表示收入累計人口比對應(yīng)的收入份配，μ表示收入平均值，p表示收入累計人口比。實際上泰爾指數(shù)是信息理論熵指數(shù)的特例，主要取決于常數(shù)C的取值，在離散型和連續(xù)型熵指數(shù)公式中，常數(shù)C不同取值代表不同的指數(shù)性質(zhì)，具體見表3。

由表3可知，在離散型廣義熵指數(shù)中，當C→0和C→1時，廣義熵指數(shù)表示為泰爾指數(shù)，而在連續(xù)型廣義熵指數(shù)中，當C=0和C=1時，廣義熵指數(shù)表示為泰爾指數(shù)。

2.2 泰爾指數(shù)計算公式和計算實例

泰爾指數(shù)提出后，因其能夠提煉相互獨立的組間差異和組內(nèi)差異，迅速被運用于不平等指數(shù)的計算。如果某區(qū)域內(nèi)的收入和累計收入比等于人口和累計人口比，則表明該區(qū)域內(nèi)的泰爾指數(shù)為0，收入分配達到絕對公平線。如果某區(qū)域內(nèi)的收入份額較大，人口份額較少，則表明該區(qū)域內(nèi)的泰爾指數(shù)趨近1，貧富差距較大，可見泰爾指數(shù)的取值范圍也為[0,1]，這點與基尼系數(shù)有相似之處，甚至泰爾指數(shù)和基尼系數(shù)具有互補關(guān)系。基尼系數(shù)的計算方法眾多，主要有積分法和幾何分組法，而泰爾指數(shù)計算方法相對單一，目前國際上比較認同的主要為以下計算公式：

表3 不同C值下廣義熵指數(shù)的性質(zhì)

式（16）為總泰爾指數(shù)的計算公式，其中Y表示總收入份額，N表示總?cè)丝冢琘ij表示分組單元中的收入份額，Nij表示分組單元中的總?cè)丝凇Ｓ捎谔栔笖?shù)可以分解為若干個亞收入單元，因此還可以求得組間泰爾指數(shù)和組內(nèi)泰爾指數(shù)，其計算公式依次為式（17）和式（18）。

式中Yi表示分組單元中第i個亞收入單元的收入份額，Ni表示分組單元中第i個亞收入單元的總?cè)丝凇Ｓ缮鲜龉娇傻玫揭粋€重要結(jié)論T=Tb+Tw，即泰爾指數(shù)為組間泰爾指數(shù)與組內(nèi)泰爾指數(shù)之和，顯然是一個加權(quán)后的泰爾指數(shù)結(jié)果，為體現(xiàn)未加權(quán)的泰爾指數(shù)關(guān)系，可以利用公式（19）計算收入單元內(nèi)的未加權(quán)泰爾指數(shù)。

接下來利用沿海某市的人口數(shù)量、人均收入、省份總?cè)丝?、省份人均收入為研究樣本，測算該市在2008—2017年的泰爾指數(shù)，結(jié)果見下頁表4。

表4 某沿海城市2007—2017年的泰爾指數(shù)

由表4可知，總體泰爾指數(shù)T呈遞減趨勢，部分年份泰爾指數(shù)的增加未能改變遞減趨勢，證明在經(jīng)濟發(fā)展趨勢利好的情形下，收入分配不平等現(xiàn)象正在逐漸降低，通過比較組內(nèi)泰爾指數(shù)和組間泰爾指數(shù)的趨勢變化，可以進一步佐證該現(xiàn)象。而泰爾指數(shù)的走向變化與經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）最新公布的數(shù)據(jù)相吻合，說明泰爾指數(shù)在反映不平等程度具有較好的準確率。

3 不平等指數(shù)相對性指標對比

前文對基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)的理論框架和計算方法進行了系統(tǒng)分析，但兩者在不平等指數(shù)測算中實踐差異如何，則可通過實際數(shù)據(jù)庫進行驗證。本文選擇中國家庭動態(tài)跟蹤調(diào)查（CFPS）數(shù)據(jù)庫中的收入數(shù)據(jù)做樣本[11]，時間跨度為2011—2016年，通過多次搜集反復(fù)驗證，最終選擇河南省為研究對象，并采取隨機起點、等距抽樣方法選取樣本。本文側(cè)重點為比較基尼系數(shù)與泰爾指數(shù)的優(yōu)劣性，而非計算基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)，因此本文并未區(qū)分樣本數(shù)據(jù)中的城鄉(xiāng)指標，統(tǒng)一按隨機分配方式選擇樣本?？紤]數(shù)據(jù)的可得性，樣本數(shù)據(jù)以家庭為單位，主要以工資收入為指標，家庭經(jīng)營性收入、投資性收入等被刪除，最終樣本量為1055戶。為使對比結(jié)果具備科學(xué)性，對比方式分橫、縱兩種方式，縱向比較用2011—2016年的整體數(shù)據(jù)，橫向比較用2015年月度數(shù)據(jù)。本文數(shù)據(jù)主要由Stata軟件處理完成，結(jié)果除基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)外，將變異系數(shù)和阿爾特金森指數(shù)一并列出。為便于比較所有結(jié)果精確到萬分位，其中縱向比較結(jié)果見表5。

表5 2011—2016年不平等指數(shù)相對性指標的縱向?qū)Ρ冉Y(jié)果

根據(jù)表5，基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)的縱向比較結(jié)果類似，特別是排序結(jié)果基尼系數(shù)、泰爾指數(shù)、變異系數(shù)和阿爾特金森指數(shù)完全一樣，證明不平等指數(shù)相對性指標方法具有一致性，對于不平等程度都具有解釋能力。從基尼系數(shù)來看，2011—2016年間樣本數(shù)據(jù)的基尼系數(shù)長期處于黃金分割律線0.382之下，說明樣本數(shù)據(jù)中的收入相對較為平等，泰爾指數(shù)、變異系數(shù)和阿爾特金森指數(shù)佐證了該結(jié)論。但2013年幾種測算方法的測算結(jié)果偏高，特別是基尼系數(shù)誤差明顯大于其他幾種指標方法，甚至超過了黃金分割律線。研究樣本發(fā)現(xiàn)，2013年樣本中的低收入人群明顯高于高收入人群，基尼系數(shù)的這種厭惡不平等性質(zhì)，給基尼系數(shù)測算結(jié)果造成一定影響。而泰爾指數(shù)由于將收入群體進行分解，產(chǎn)生此類測算誤差相對較少。那么是否說明泰爾指數(shù)優(yōu)于基尼系數(shù)呢？選擇較平緩的2015年月度數(shù)據(jù)作橫向比較。由于連續(xù)月度數(shù)據(jù)相近且變化不大，為便于區(qū)分，只列出雙月的測算結(jié)果，見表6。為對比，將變異系數(shù)和阿爾特金森指數(shù)一并列出。

表6 2015年不平等指數(shù)相對性指標的橫向?qū)Ρ冉Y(jié)果

根據(jù)表6可知，2015年樣本數(shù)據(jù)收入不平等現(xiàn)象并未發(fā)生較大變化，幾乎是一個平靜的波動過程，各指數(shù)的排序結(jié)果依然相似，只在個別月份出現(xiàn)微調(diào)現(xiàn)象，進一步說明不平等指數(shù)相對性指標具有一致性，在條件允許的情況下，可利用多種方法對不平等程度進行驗證計算。從計算結(jié)果來看，幾種相對性指標方法的均值結(jié)果約等于該指數(shù)全年整體值，說明不平等現(xiàn)象是一個積累過程?；嵯禂?shù)在該輪驗證過程中并未產(chǎn)生較大的誤差，說明2013年過多的低收入人群對基尼系數(shù)計算結(jié)果產(chǎn)生了影響，在低收入人群占樣本多數(shù)時，建議采用泰爾指數(shù)計算不平等指數(shù)的研究方法。同時在計算的過程中發(fā)現(xiàn)，樣本數(shù)據(jù)6月至8月間中等收入和低收入人群有50%左右的位置更換過，基尼系數(shù)由于采用幾何分組法，在分組的過程中很容易發(fā)現(xiàn)已更換位置的樣本。但泰爾指數(shù)沒有該步驟，即使樣本個體位置變動也未被發(fā)現(xiàn)。由此可見，泰爾指數(shù)與基尼系數(shù)相比，泰爾指數(shù)無法體現(xiàn)收入位置的變動現(xiàn)象，即使高低收入人群全部進行互換，所得的泰爾指數(shù)相等。在研究收入位置變動的不平等指數(shù)時不適合采用泰爾指數(shù)，而應(yīng)選擇基尼系數(shù)。

4 結(jié)論與討論

不平等指數(shù)反映社會貧富兩極人口的分布特征，對社會和諧發(fā)展具有重要的指導(dǎo)作用。學(xué)術(shù)中將計算不平等指數(shù)方法分為絕對性指標和相對性指標，絕對性指數(shù)的計算方法簡單，但受量綱限制，對單位變化后的不平等指數(shù)計算不準確，因此本文在相關(guān)研究的基礎(chǔ)上認為相對性指標要優(yōu)于絕對性指標。相對性指標方法眾多，比較常用的有基尼系數(shù)、泰爾指數(shù)、相對平均離差等，如何選擇相對性指標方法是本文的重點。通過對比發(fā)現(xiàn)基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)是較為成熟的兩種方法，對不平等指數(shù)具有較好的解釋能力。

本文通過系統(tǒng)的幾何分解基尼系數(shù)和推導(dǎo)泰爾指數(shù)后發(fā)現(xiàn)以下幾點問題。

（1）基尼系數(shù)的計算方法眾多，比較常用的有積分法和幾何分組法，積分法能夠較為簡單的求得基尼系數(shù)，但對數(shù)據(jù)的規(guī)律性要求較高，求解實際收入線（洛倫茨曲線）函數(shù)的工作量無法預(yù)測，因此積分法的實際操作性不強。幾何分組法可依據(jù)已知數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)庫進行規(guī)律性的分組，盡管計算量較大，但可操作性強，相對而言，幾何分組法是實際基尼系數(shù)計算過程的重要方法之一。另外，幾何分組法中存在以直代曲的步驟，是計算結(jié)果誤差的主要來源，因此，幾何分組法計算下的基尼系數(shù)是誤差值，并不是實際基尼系數(shù)值。（2）值得注意的是本文只針對不平等指數(shù)相對性指標中的基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)進行了比較，變異系數(shù)、阿爾特金森指數(shù)只列出了相關(guān)結(jié)果，僅僅起對比作用，實際上變異系數(shù)、阿爾特金森和泰爾指數(shù)與熵指數(shù)的有著密切的關(guān)系，廣義熵指數(shù)是他們的特例，而基尼系數(shù)則與熵指數(shù)沒有關(guān)系，因此不能將基尼系數(shù)歸類于熵指數(shù)。（3）盡管基尼系數(shù)不同于泰爾系數(shù)，但兩者之間具有一定的互補性。首先二者的取值區(qū)間都為[0,1]，對于同一樣本數(shù)據(jù)，基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)的變化趨勢類似。其次，面對不同不平等指數(shù)計算時，可依據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征進行選擇，比如基尼系數(shù)具有“厭惡不平等”現(xiàn)象，對低收入人群較為敏感，當?shù)褪杖霕颖緮?shù)據(jù)較大時，選擇基尼系數(shù)會加大計算結(jié)果誤差，此時可選擇泰爾指數(shù)替換基尼系數(shù)。當研究收入變動的不平等指數(shù)時，由于泰爾指數(shù)無法體現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的收入變動現(xiàn)象，如果使用泰爾指數(shù)反映此類問題則可能得到錯誤的變動結(jié)果，此時可選擇基尼系數(shù)替換泰爾指數(shù)。