張惠茹，賈利民，王 莉，楊 杰

(1.北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044；2.北京交通大學(xué)軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044； 3.北京市城市交通信息智能感知與服務(wù)工程技術(shù)研究中心，北京 100044； 4.城市軌道交通系統(tǒng)安全與運(yùn)維保障國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510330)

在鐵路運(yùn)輸總的能源消耗中，列車牽引運(yùn)行能耗量占據(jù)了較大比例，而時(shí)刻表是列車牽引運(yùn)行的依據(jù)，與節(jié)能控制存在著緊密聯(lián)系。鐵路作為一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)設(shè)施，隨著路網(wǎng)規(guī)模的進(jìn)一步擴(kuò)大以及列車速度的大幅度提升，優(yōu)化時(shí)刻表以提高鐵路的節(jié)能效率成為鐵路節(jié)能的關(guān)鍵。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開始在節(jié)能時(shí)刻表設(shè)計(jì)方面探索研究。文獻(xiàn)[1]通過(guò)研究單列車在區(qū)間惰行工況起始位置的選擇，得到優(yōu)化的列車時(shí)刻表。文獻(xiàn)[2]提出可以通過(guò)優(yōu)化列車在車站的停站時(shí)間以及列車在區(qū)間的惰行時(shí)間制定節(jié)能時(shí)刻表以達(dá)到節(jié)能的目的。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了一種綜合的優(yōu)化模型，給出牽引能耗、凈能耗的定量分析，以綜合優(yōu)化地鐵列車的時(shí)刻表與運(yùn)行速度。文獻(xiàn)[4]針對(duì)地鐵乘客需求頻繁變化的情況，通過(guò)調(diào)整列車追蹤間隔、周期時(shí)間和速度曲線，設(shè)計(jì)節(jié)能時(shí)刻表。文獻(xiàn)[5]考慮列車質(zhì)量的時(shí)空不確定性，提出一種適用于地鐵的綜合時(shí)刻表和速度分布優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[6]研究地鐵列車運(yùn)行節(jié)能問題，通過(guò)優(yōu)化時(shí)刻表和相鄰車站間的速度曲線形成綜合時(shí)刻表。文獻(xiàn)[7]研究針對(duì)高速鐵路列車的節(jié)能時(shí)刻表，以列車在區(qū)間運(yùn)行時(shí)間及停站時(shí)間為輸入變量，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)行效率最高且總能耗最低的目標(biāo)。在節(jié)能時(shí)刻表的設(shè)計(jì)中，城市軌道交通以及高速鐵路均有涉及，但現(xiàn)有研究多以降低列車能耗為目的生成節(jié)能時(shí)刻表，未考慮既有時(shí)刻表，因而調(diào)整幅度可能過(guò)大不適用于實(shí)際操作。

本文重點(diǎn)研究列車采用節(jié)能運(yùn)行控制策略達(dá)到使列車節(jié)能目的的時(shí)刻表優(yōu)化問題，在滿足列車的安全追蹤間隔等約束的條件下，針對(duì)既有時(shí)刻表，以列車能耗值和列車時(shí)刻表穩(wěn)定性綜合最優(yōu)為目標(biāo)，制定面向列車節(jié)能控制的時(shí)刻表優(yōu)化模型，針對(duì)模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)一種采用迭代尋優(yōu)的富余時(shí)間分配求解算法，實(shí)現(xiàn)時(shí)刻表的優(yōu)化過(guò)程。

1 問題描述

現(xiàn)有研究表明，列車在相鄰兩次停車之間的運(yùn)行包括牽引、惰行和制動(dòng)3種工況，通過(guò)變換上述3種工況可以使列車表現(xiàn)出加速、勻速、惰行以及制動(dòng)4種運(yùn)行狀態(tài)[8]，而列車節(jié)能運(yùn)行的關(guān)鍵在于不同狀態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn)位置的確定。

如圖1所示，列車運(yùn)行中均受到運(yùn)行阻力W的作用，0～S1距離內(nèi)列車受牽引力F作用加速運(yùn)行，達(dá)到速度Vy；S1～S2距離內(nèi)列車所受合力為0保持速度Vy勻速運(yùn)行；S2～S3距離內(nèi)列車僅受運(yùn)行阻力W惰行，結(jié)束速度Vdb；S3～S距離內(nèi)列車受制動(dòng)力B制動(dòng)。

列車在完成時(shí)刻表規(guī)定時(shí)間T、距離S條件下的運(yùn)輸作業(yè)時(shí)，在加速、勻速、惰行、制動(dòng)4種狀態(tài)的受力情況、運(yùn)行速度、運(yùn)行時(shí)間以及運(yùn)行距離是列車節(jié)能控制的關(guān)鍵，且已有研究證明，在理想平直道上，勻速狀態(tài)的速度值Vy，與由惰行狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹苿?dòng)狀態(tài)的速度值Vdb之間存在一定的數(shù)值關(guān)系[9]。

圖1 列車最優(yōu)速度距離曲線

2 模型建立

綜合考慮列車運(yùn)行特性、時(shí)刻表制定要素以及節(jié)能策略，在滿足列車安全追蹤間隔等約束的條件下，建立面向列車節(jié)能控制的時(shí)刻表優(yōu)化模型。

2.1 模型假設(shè)

為了簡(jiǎn)化分析，反映模型的本質(zhì)問題，本文建立以下假設(shè)：(1)車站及側(cè)線抽象為節(jié)點(diǎn)，連接節(jié)點(diǎn)的弧段表示閉塞區(qū)間；(2)將列車抽象為一個(gè)僅有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)；(3)列車在相鄰兩站之間做包含加速、勻速、惰行以及制動(dòng)的運(yùn)動(dòng)；(4)列車在理想的平直道上運(yùn)行。

2.2 優(yōu)化模型

為完成列車時(shí)刻表的節(jié)能優(yōu)化，以列車時(shí)刻表穩(wěn)定性與線路消耗能量綜合最優(yōu)為優(yōu)化目標(biāo)，考慮到兩者的單位不統(tǒng)一，進(jìn)行歸一化處理。本文以全部列車在線路上原定到達(dá)、發(fā)車時(shí)間與實(shí)際到達(dá)、發(fā)車時(shí)間差值平方和的開方根表征列車時(shí)刻表的穩(wěn)定性，以牽引力對(duì)距離做功計(jì)算消耗的能量。

目標(biāo)函數(shù)同時(shí)考慮時(shí)刻表穩(wěn)定性和能耗最小。

( 1 )

式中：

( 2 )

2.3 約束條件

鐵路客運(yùn)專線的運(yùn)輸組織對(duì)于節(jié)能時(shí)刻表問題起到一定的約束作用，列車受力、運(yùn)行距離、速度、運(yùn)行時(shí)間以及相鄰列車間安全追蹤間隔可作為模型的約束。

(1)受力約束

列車在運(yùn)行過(guò)程中，受到F，B，W作用，其中：F，B在4種運(yùn)行狀態(tài)的值有所不同，通過(guò)kf，kb調(diào)整；W為基本阻力。

dv(t)/dt=(kfF-kbB-W)/M

( 3 )

根據(jù)列車運(yùn)行阻力模型——戴維斯方程，列車的基本阻力可以通過(guò)列車速度的二次函數(shù)表示

W=μ+κv+γv2

( 4 )

式中：μ為基準(zhǔn)阻力參數(shù)；κ為滾動(dòng)阻力參數(shù)；γ為空氣阻力參數(shù)。

(2)距離約束

根據(jù)線路條件不同，加速、勻速、惰行和制動(dòng)4種運(yùn)行狀態(tài)都有最優(yōu)節(jié)能運(yùn)行距離且滿足總運(yùn)行里程約束。

( 5 )

(3)速度約束

列車在區(qū)間的初始速度和最終速度均為0 km/h，且運(yùn)行速度不大于限制速度。

( 6 )

(4)時(shí)間約束

列車在各個(gè)區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間均大于等于所需的最小運(yùn)行時(shí)間，且小于等于所需的最大運(yùn)行時(shí)間。

( 7 )

(5)追蹤間隔約束

保證列車時(shí)刻表中相鄰列車i和i′之間在優(yōu)化前后的出發(fā)、到達(dá)時(shí)刻都滿足最小的追蹤間隔約束，保證安全運(yùn)行。

( 8 )

式中：

3 模型求解

由龐德里亞金最大原則[10]可知，最小化列車牽引運(yùn)行能耗則要求最大化哈密爾頓函數(shù)H[11]。

H=p1/v×(kfF-kbB-W)+p2v-kfvF

( 9 )

根據(jù)函數(shù)可證明，當(dāng)p1與v2的大小關(guān)系不同時(shí)，kf和kb取下列不同值，哈密爾頓函數(shù)可到達(dá)最大。

哈密爾頓函數(shù)取值最大的條件，即列車在區(qū)間能耗最小的運(yùn)行策略。對(duì)于在理想的平直道上運(yùn)行的列車，本文給出一種利用時(shí)刻表規(guī)定始末到發(fā)時(shí)間求解整條線路最優(yōu)駕駛策略，并生成節(jié)能時(shí)刻表的方法。

(10)

首先計(jì)算線路的最短運(yùn)行時(shí)間，然后與現(xiàn)有時(shí)刻表作差，得到相鄰車站之間的富余時(shí)間。將富余時(shí)間按照一定的分配原則分配到各個(gè)區(qū)間并計(jì)算能耗值，富余時(shí)間分配時(shí)需考慮到相鄰列車之間的沖突消解。最后計(jì)算得到整條線路的節(jié)能時(shí)刻表。

3.1 最短時(shí)間計(jì)算

考慮到在實(shí)際運(yùn)行中列車都能滿足只包括加速、最大速度勻速以及制動(dòng)3種狀態(tài)的運(yùn)行，本文定義最短時(shí)間包括加速、最大速度勻速、惰行和制動(dòng)4種運(yùn)行狀態(tài)。

(1)加速狀態(tài)

列車在加速狀態(tài)受牽引力與運(yùn)行阻力的作用加速行駛，速度達(dá)到Vmax，加速時(shí)間Tf、距離Sf以及能耗Ef計(jì)算如下。

(11)

(2)勻速狀態(tài)

列車在勻速狀態(tài)受力為0，保持Vmax勻速行駛，運(yùn)行時(shí)間Ty、距離Sy以及能耗Ey計(jì)算如下。

(12)

(3)惰行狀態(tài)

列車在惰行狀態(tài)僅受運(yùn)行阻力的作用，運(yùn)行時(shí)間Td、距離Sd以及能耗Ed計(jì)算如下。

(13)

(4)制動(dòng)狀態(tài)

列車在制動(dòng)狀態(tài)受運(yùn)行阻力與制動(dòng)力的作用減速行駛，最終速度為0，運(yùn)行時(shí)間Tb、距離Sb以及能耗Eb計(jì)算如下。

(14)

列車運(yùn)行總時(shí)間為

Tmin=Tf+Ty+Td+Tb

(15)

單列車運(yùn)行能耗為

E=Ef+Ey

(16)

通過(guò)上述計(jì)算即可得到列車在線路上的最短運(yùn)行時(shí)間，將求得的最短時(shí)間與時(shí)刻表規(guī)定的運(yùn)行時(shí)間比較得到富余時(shí)間。

3.2 富余時(shí)間分配

列車時(shí)刻表規(guī)定的運(yùn)行時(shí)間T與計(jì)算所得的最小運(yùn)行時(shí)間Tmin之間的差值定義為富余時(shí)間ΔT。在滿足相鄰列車最小追蹤間隔與沖突消解約束的前提下進(jìn)行分配，考慮到每個(gè)區(qū)間的線路長(zhǎng)度等運(yùn)行條件不完全相同，將ΔT分配到不同的線路區(qū)間所節(jié)約的能耗值ΔE也不完全相同。

富余時(shí)間分配如圖2所示，兩條曲線分別是區(qū)間1和區(qū)間2對(duì)應(yīng)的列車能耗-時(shí)間曲線。對(duì)區(qū)間1而言，最小運(yùn)行時(shí)間T1，在此基礎(chǔ)上增加ΔT，節(jié)約能量ΔE1。同理，區(qū)間2節(jié)約能量ΔE2，因?yàn)棣1<ΔE2，顯然將ΔT分配給區(qū)間2更加合理，找到能耗值減少最快的區(qū)間分配富余時(shí)間，可使整條線路的能耗最小。

圖2 富余時(shí)間分配

考慮到分配的合理性，給定一個(gè)整數(shù)n，將富余時(shí)間分解為更小的單位Δt逐次分配，Δt=ΔT/n。比選所有區(qū)間中能耗減少最多的區(qū)間，則該區(qū)間時(shí)間增加一個(gè)Δt，進(jìn)行下一次分配，直到總的富余時(shí)間ΔT全部分配完畢。

3.3 算法步驟

本文提出的面向列車節(jié)能控制的時(shí)刻表優(yōu)化模型是一個(gè)多目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃問題，各目標(biāo)函數(shù)在約束條件下較難通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到精確的最優(yōu)解。考慮到實(shí)際情況對(duì)解的精確度與運(yùn)算時(shí)間的要求，設(shè)計(jì)一種通過(guò)不斷迭代并檢驗(yàn)解的優(yōu)越性以獲得近似最優(yōu)解的方法。算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程

步驟1初始化參數(shù)

n為整數(shù)，m=0，輸入原有時(shí)刻表時(shí)間T。

步驟2計(jì)算最小運(yùn)行時(shí)間Tmin

包括加速、最大限速勻速、惰行以及制動(dòng)。

步驟3計(jì)算富余時(shí)間

ΔT=T-Tmin，Δt=ΔT/n。

步驟4富余時(shí)間分配

比選能耗減少最多的區(qū)間逐次分配Δt，直到ΔT分配完畢。列車在最小運(yùn)行時(shí)間的基礎(chǔ)上增加富余時(shí)間Δt后，找到最優(yōu)的勻速運(yùn)行速度，并采取惰行策略以降低能耗。其中最優(yōu)速度通過(guò)不同步長(zhǎng)迭代試湊的方式得出。

步驟5輸出優(yōu)化時(shí)刻表

通過(guò)該算法可求出多目標(biāo)優(yōu)化問題近似最優(yōu)解。

4 算例研究

以京滬高速鐵路數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行分析驗(yàn)證。選取2016年5月18日京滬高速鐵路北京開往上海方向2 h的時(shí)刻表數(shù)據(jù)。相關(guān)參數(shù)由京滬高速鐵路調(diào)研得到，數(shù)值見表1。

表1 相關(guān)參數(shù)

線路從北京南站至上海虹橋站，全長(zhǎng)1 318 km，共包括24個(gè)車站。列車運(yùn)行中受到牽引力、制動(dòng)力和阻力的作用，運(yùn)用以速度為變量的函數(shù)表示牽引力與阻力，同時(shí)考慮牽引動(dòng)輪回轉(zhuǎn)[12]、牽引力使用的系數(shù)以及牽引電機(jī)的效率。2 h的時(shí)刻表中共包括6列車，分別為G101，G5，G105，G11，G107，G111，且各列車的停站策略不同。使用MATLAB工具，分別研究列車在最短運(yùn)行時(shí)間以及節(jié)能條件下的運(yùn)行情況，并繪制速度-距離曲線。圖4與圖5中每張大圖由上下兩幅小圖組成，上圖為最短運(yùn)行時(shí)間條件，下圖為節(jié)能條件。

圖4 G101在兩種條件下的速度-距離曲線

圖4為G101在兩種條件下，首次停車的區(qū)間內(nèi)，不同運(yùn)行狀態(tài)示意圖。其中：A1，A2，A3分別為G101在最短運(yùn)行時(shí)間狀態(tài)下的勻速點(diǎn)、惰行點(diǎn)、制動(dòng)點(diǎn)；B1，B2，B3分別為G101在節(jié)能時(shí)刻表?xiàng)l件下的勻速點(diǎn)、惰行點(diǎn)、制動(dòng)點(diǎn)。

從圖4可以看出：在此區(qū)間，優(yōu)化后的勻速點(diǎn)比原時(shí)刻表早，也就是說(shuō)勻速的速度值變?。欢栊悬c(diǎn)、制動(dòng)點(diǎn)均晚于原時(shí)刻表，且優(yōu)化后的惰行距離長(zhǎng)于原惰行距離。

(a)G101

(b)G5

(c)G105

(d)G11

(e)G107

(f)G111圖5 6列車在兩種條件下的速度-距離曲線

圖5為本次實(shí)驗(yàn)中6列車的速度-距離曲線。根據(jù)圖5可知：

(1)節(jié)能時(shí)刻表有分配距離較大區(qū)間更多時(shí)間的趨勢(shì)，本文設(shè)計(jì)的富余時(shí)間分配算法是在最短運(yùn)行時(shí)間的基礎(chǔ)上，比選增加相同富余時(shí)間能耗值減少最多的區(qū)間。距離較大的區(qū)間增加富余時(shí)間后，勻速運(yùn)行速度將會(huì)下降，并有足夠的距離充分惰行，而惰行過(guò)程列車牽引力不再做功，惰行距離的增加是降低能耗的關(guān)鍵。所以此算法會(huì)把更多的時(shí)間分配給距離較大的區(qū)間。

(2)本文設(shè)計(jì)的算法不改變時(shí)刻表中規(guī)定的列車始發(fā)、終到時(shí)間以及中間車站的停站時(shí)間，是在滿足列車安全追蹤間隔等約束的條件下，通過(guò)調(diào)整中間車站的到發(fā)時(shí)間以實(shí)現(xiàn)降低能耗的目的。即列車總的運(yùn)行時(shí)間是一定的，如果距離較大的區(qū)間時(shí)間分配太多，則距離較小區(qū)間的時(shí)間將減少，列車速度將增加，以保證在給定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定距離的運(yùn)輸任務(wù)。

在運(yùn)行時(shí)間變化的44個(gè)區(qū)間中，12個(gè)區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間共增加2 876 s，32個(gè)區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間共減少2 876 s，平均每個(gè)區(qū)間的運(yùn)行調(diào)整時(shí)間約130 s，見表2。

原始時(shí)刻表與節(jié)能時(shí)刻表對(duì)比如圖6所示，其中紅色線在前，說(shuō)明列車速度較快，超越原時(shí)刻表時(shí)間運(yùn)行，反之則反。對(duì)比可得：G5情況比較特殊，在越行G101后最先到達(dá)目的地，時(shí)間改變最?。辉谙噜徚熊囎粉欓g隔較小時(shí)，如G101，G105，G11，G107，會(huì)采取縮短短區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間，相對(duì)增加長(zhǎng)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間的策略；追蹤間隔較大時(shí)，如G111，會(huì)盡可能采取速度小于原時(shí)刻表的策略，從而更大程度節(jié)約能耗；此外，從G105，G11，G107優(yōu)化后時(shí)刻表來(lái)看，列車的追蹤間隔變大，如天津西到棗莊，意味著時(shí)刻表的可調(diào)性和魯棒性變強(qiáng)。由圖6可知，列車總體調(diào)整幅度較小，優(yōu)化后的時(shí)刻表整體的穩(wěn)定性較強(qiáng)，本文提出的算法具有可操作性。

表2 44個(gè)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間調(diào)整統(tǒng)計(jì)

圖6 原始時(shí)刻表與節(jié)能時(shí)刻表對(duì)比

各列車在不同時(shí)間條件下的能耗值見表3，其中，列車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能耗轉(zhuǎn)換效率取η=0.85，即將計(jì)算所得的牽引力能耗除以η折算得到運(yùn)行能耗。M1為原有時(shí)刻表最短時(shí)間運(yùn)行能耗；M2為原有時(shí)刻表經(jīng)驗(yàn)值能耗，即目前京滬高速鐵路月平均能耗值，此值是京滬線上司機(jī)實(shí)際駕駛行為的平均值；M3為節(jié)能時(shí)刻表節(jié)能運(yùn)行能耗，此值是在本文提出的優(yōu)化模型所得節(jié)能時(shí)刻表?xiàng)l件下的能耗值。

表3 列車能耗對(duì)比

通過(guò)表3可知：

(1)列車在節(jié)能時(shí)刻表?xiàng)l件下的能耗最小。有經(jīng)驗(yàn)值表明，八編組CRH系列動(dòng)車組列車運(yùn)行1 318 km的線路，大約消耗9 885 kW·h的電能，若開行6列車，共消耗59 310 kW·h的電能；考慮在節(jié)能時(shí)刻表?xiàng)l件下，采取文中設(shè)計(jì)的節(jié)能運(yùn)行控制策略，6列車共消耗56 914.85 kW·h的電能，可節(jié)約能量2 395.15 kW·h，占總能耗的4.04%，節(jié)能效果明顯。

(2)列車在原有時(shí)刻表最短時(shí)間條件下的能耗最大，與經(jīng)驗(yàn)值相比，能耗增加8 874.46 kW·h，與節(jié)能時(shí)刻表相比，能耗增加11 269.61 kW·h。但是該運(yùn)行策略適用于線路突發(fā)狀況時(shí)使用，同樣具有現(xiàn)實(shí)意義。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在分析列車運(yùn)行特性和列車節(jié)能控制策略的基礎(chǔ)上，結(jié)合時(shí)刻表的組成要素，針對(duì)既有時(shí)刻表，以列車能耗值和列車時(shí)刻表穩(wěn)定性綜合最優(yōu)為目標(biāo)，建立面向列車節(jié)能控制的時(shí)刻表優(yōu)化模型，針對(duì)模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)最短運(yùn)行時(shí)間計(jì)算及富余時(shí)間分配的算法。此算法在保證列車時(shí)刻表穩(wěn)定性在一定范圍內(nèi)的前提下，通過(guò)調(diào)整列車在中間車站的到發(fā)時(shí)間，增強(qiáng)了時(shí)刻表的可調(diào)性和魯棒性，減少了列車在站間運(yùn)行的能耗，且不會(huì)對(duì)目前的運(yùn)營(yíng)秩序造成巨大調(diào)整，方便計(jì)劃編制人員和調(diào)度員的實(shí)際操作。以京滬高速鐵路實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證模型及算法的可行性。結(jié)果表明，通過(guò)模型優(yōu)化，共節(jié)能2 395.15 kW·h，占總能耗的4.04%，節(jié)能效果明顯，有待進(jìn)一步完善并應(yīng)用于實(shí)際的節(jié)能時(shí)刻表制定中。