齊長(zhǎng)興，畢義明，李 勇

（火箭軍工程大學(xué)，西安 710025）

0 引言

彈道導(dǎo)彈具有殺傷力巨大、突防能力強(qiáng)、難以防御等特點(diǎn)，是現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中能夠發(fā)揮決定性作用的殺手锏武器。為了防御彈道導(dǎo)彈的威脅，美國(guó)、俄羅斯、以色列等軍事強(qiáng)國(guó)都在積極研究和部署彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)。其中，美國(guó)的彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)（BMDS）是比較成熟的，已經(jīng)形成了由中段攔截系統(tǒng)和末段攔截系統(tǒng)構(gòu)成的多層彈道導(dǎo)彈防御體系［1-3］。

彈道導(dǎo)彈突防作戰(zhàn)效能評(píng)估是當(dāng)前研究的一個(gè)重要方向，通過(guò)突防效能評(píng)估可以有效支撐彈道導(dǎo)彈研制和改良。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)導(dǎo)彈突防效能評(píng)估研究已經(jīng)取得了較大的進(jìn)展，見(jiàn)文獻(xiàn)［4-14］。

彈道導(dǎo)彈攻防作戰(zhàn)中，存在許多隨機(jī)現(xiàn)象，導(dǎo)彈突防時(shí)的一些隨機(jī)現(xiàn)象無(wú)法很好地表現(xiàn)出來(lái)。本文綜合考慮彈道導(dǎo)彈突防作戰(zhàn)時(shí)面臨的彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)多層攔截的現(xiàn)狀，在進(jìn)行上一層防御系統(tǒng)效能評(píng)估的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行下一層的突防效能評(píng)估。導(dǎo)彈在突防每一層導(dǎo)彈防御系統(tǒng)時(shí)均為獨(dú)立過(guò)程，同時(shí)彈道導(dǎo)彈突防時(shí)突防狀態(tài)具有隨機(jī)性和無(wú)后效性等特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)相鄰兩層防御系統(tǒng)間的突防過(guò)程近似為馬爾科夫過(guò)程，可以用馬爾科夫理論進(jìn)行多層防御系統(tǒng)的突防效能評(píng)估［15］。本文將馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率引入突防多層彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)時(shí)導(dǎo)彈突防效能評(píng)估中，構(gòu)建基于馬爾科夫鏈的導(dǎo)彈突防效能評(píng)估模型，用馬爾科夫鏈描述彈道導(dǎo)彈突防多層防御系統(tǒng)的作戰(zhàn)過(guò)程，突破一層防御系統(tǒng)后的狀態(tài)之間用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行關(guān)聯(lián)。通過(guò)實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，該方法既可以反映彈道導(dǎo)彈突防的突防概率和期望值，也可以反映不同狀態(tài)的概率分布。

1 彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估的馬爾科夫鏈模型

分層防御是針對(duì)彈道導(dǎo)彈的飛行階段特點(diǎn)，采用多層攔截模式，使彈道導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中面臨多重風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于多個(gè)獨(dú)立的防御系統(tǒng)，構(gòu)成的分層防御體系，能夠通過(guò)多次攔截實(shí)現(xiàn)高的攔截效能。分層防御中的“層”指可以進(jìn)行獨(dú)立“觀察-射擊”的組成部分，每層有一枚或多枚攔截彈可攔截來(lái)襲目標(biāo)。

為便于建模分析，在彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估馬爾科夫鏈模型中需要進(jìn)行以下假設(shè)：

1）每個(gè)交戰(zhàn)過(guò)程都是獨(dú)立進(jìn)行的；

2）每次攔截過(guò)程都是相互獨(dú)立的；

3）在彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的每個(gè)層之間沒(méi)有進(jìn)行交互干涉；

4）支持子系統(tǒng)可以滿足防御需求。

1.1 基本馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈模型［16］可以表示為一個(gè)二元組：。

I是所有可能狀態(tài)的集合，用Ii、Ij表示系統(tǒng)的狀態(tài)；P是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，對(duì)有限狀態(tài)空間，其一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

在狀態(tài)空間有限的情況下，n步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 P（n）為：

1.2 單枚導(dǎo)彈突防多層防御系統(tǒng)馬爾科夫鏈模型

在彈道導(dǎo)彈突防過(guò)程中，每一次的交戰(zhàn)過(guò)程都可看作是一次伯努利試驗(yàn)，多個(gè)交戰(zhàn)過(guò)程構(gòu)成了一次突防，一個(gè)導(dǎo)彈防御層中所有的突防形成了一個(gè)馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣，整個(gè)導(dǎo)彈突防過(guò)程是一個(gè)獨(dú)立時(shí)間馬爾科夫過(guò)程。

彈道導(dǎo)彈攻防模型中導(dǎo)彈的狀態(tài)用導(dǎo)彈突防數(shù)量表示，馬爾科夫攻防模型中所有來(lái)襲向量均為隨機(jī)概率向量，用以表示數(shù)量或狀態(tài)的概率分布，在進(jìn)行模型求解時(shí)需要確定彈道導(dǎo)彈攻防對(duì)抗的初始狀態(tài)向量。

以一枚導(dǎo)彈突防兩層導(dǎo)彈防御體系為例，每一層防御系統(tǒng)僅一枚攔截彈對(duì)一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行攔截，導(dǎo)彈突防馬爾科夫過(guò)程如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)單多層防御馬爾科夫鏈模型示意圖

彈道導(dǎo)彈的狀態(tài)用成功突防后的數(shù)量表示，對(duì)單個(gè)目標(biāo)，其可能的狀態(tài)分別為0、1，“0”表示不是威脅的狀態(tài)，“1”表示目標(biāo)存活狀態(tài)（威脅），因此，其狀態(tài)變換共有3種情況，分別是0→0，1→0，1→1，其中，1→0表示來(lái)襲目標(biāo)被攔截，1→1表示來(lái)襲目標(biāo)未被攔截。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率由攔截彈的單枚毀傷概率pi決定，且單枚導(dǎo)彈的生存概率qi=1-pi。

1.3 多枚導(dǎo)彈突防多層防御系統(tǒng)馬爾科夫鏈模型

多枚導(dǎo)彈突防導(dǎo)彈防御系統(tǒng)時(shí)，彈道導(dǎo)彈最大來(lái)襲數(shù)量為n枚，來(lái)襲導(dǎo)彈數(shù)為r時(shí)，通過(guò)i層導(dǎo)彈防御系統(tǒng)后有c枚成功突防的概率為prc，服從二項(xiàng)分布，其攔截矩陣為一個(gè)下三角矩型陣。

多枚導(dǎo)彈突防導(dǎo)彈防御系統(tǒng)時(shí)，第i層防御系統(tǒng)的攔截矩陣為：

1.4 誘餌掩護(hù)下，導(dǎo)彈突防效能分析

多枚導(dǎo)彈突防導(dǎo)彈防御系統(tǒng)時(shí)，彈道導(dǎo)彈最大來(lái)襲數(shù)量為n枚，來(lái)襲導(dǎo)彈數(shù)為r時(shí)，包含j個(gè)誘餌時(shí)，通過(guò)i層導(dǎo)彈防御系統(tǒng)后有c枚成功突防的概率為prc，服從二項(xiàng)分布，其攔截矩陣為一個(gè)下三角矩型陣。

彈道導(dǎo)彈突防過(guò)程中往往會(huì)伴隨著誘餌等假目標(biāo)，如導(dǎo)彈防御系統(tǒng)不能準(zhǔn)確識(shí)別目標(biāo)的真假，將會(huì)提高導(dǎo)彈的突防成功率。在導(dǎo)彈防御系統(tǒng)進(jìn)行目標(biāo)識(shí)別時(shí)，共有4種情況：彈頭被準(zhǔn)確識(shí)別為彈頭；彈頭被識(shí)別為誘餌；誘餌被識(shí)別為彈頭；誘餌被識(shí)別為誘餌。

在誘餌掩護(hù)作用下，導(dǎo)彈突防矩陣應(yīng)綜合考慮彈頭被識(shí)別為誘餌的矩陣Dww，和轉(zhuǎn)移概率矩陣Aw，考慮到誘餌作用和識(shí)別誤差影響。r枚彈頭中成功突防c枚的概率prc依賴于兩個(gè)獨(dú)立事件。

事件1：r枚彈頭中有j枚被識(shí)別為誘餌，因而未被導(dǎo)彈防御系統(tǒng)攔截，能夠成功突防；

事件2：被攔截的彈頭中，有c-j枚彈頭成功突防。

以上兩種情況發(fā)生的概率為：

式中，pwd為彈頭識(shí)別為誘餌的概率，pww為彈頭被識(shí)別為彈頭的概率。

其中，fd為射擊準(zhǔn)則。則r枚彈頭中成功突防c枚的概率prc為：

多枚導(dǎo)彈突防導(dǎo)彈防御系統(tǒng)時(shí)，第i層防御系統(tǒng)的攔截矩陣為：

2 彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估案例分析

本文以彈道導(dǎo)彈突防雙層彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)為例，采用建立的模型進(jìn)行彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估，為了便于計(jì)算進(jìn)行一下假設(shè)：每次攔截時(shí)，攔截策略為每枚攔截彈攔截一枚來(lái)襲導(dǎo)彈（彈頭），不存在攔截彈數(shù)量不足的問(wèn)題。

案例1：突防彈頭10枚，誘餌0，彈頭準(zhǔn)確識(shí)別概率1，第1層單發(fā)攔截概率0.8，第2層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準(zhǔn)則1攔1。成功突防的彈頭的概率分布如表1所示。

案例2：突防彈頭10枚，誘餌10，彈頭準(zhǔn)確識(shí)別概率0.9，彈頭識(shí)別為誘餌概率0.1，誘餌識(shí)別為彈頭的概率0.1，第1層單發(fā)攔截概率0.8，第2層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準(zhǔn)則1攔1，成功突防的彈頭概率分布如表2所示。

案例3：不同來(lái)襲彈頭數(shù)時(shí)，至少一枚成功突防（無(wú)誘餌干擾）。

突防彈頭n枚，誘餌0，彈頭準(zhǔn)確識(shí)別概率1，各層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準(zhǔn)則1攔1，至少一枚成功突防的概率分布如表3所示，突防彈頭期望值如表4所示。

案例4：不同來(lái)襲彈頭數(shù)時(shí)，至少一枚成功突防（有誘餌干擾）。

突防彈頭n枚，誘餌10，彈頭準(zhǔn)確識(shí)別概率0.9，各層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準(zhǔn)則1攔1，至少一枚成功突防的概率分布如表5所示，突防彈頭期望值如表6所示。

彈頭通過(guò)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)后突防成功的彈頭分布概率對(duì)比圖見(jiàn)下頁(yè)圖2～圖4所示。

表1 成功突防的彈頭概率分布

表2 成功突防的彈頭概率分布

表3 至少一枚成功突防的概率

表4 多枚來(lái)襲彈頭時(shí)成功突防彈頭期望值

表5 至少一枚成功突防的概率

表6 多枚來(lái)襲彈頭時(shí)成功突防彈頭期望值

圖2 成功突防的彈頭概率分布圖

至少一枚彈頭成功突防的概率對(duì)比圖：

圖3 成功突防的彈頭概率分布圖

圖4 突防彈頭期望值

在案例1和案例2中，當(dāng)進(jìn)攻彈頭經(jīng)過(guò)彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)雙層防御后，彈頭突防概率迅速降低，彈道導(dǎo)彈突防多層防御時(shí)面臨嚴(yán)峻的威脅。在考慮誘餌干擾作用后，進(jìn)攻彈頭全部被攔截的概率降低，且突防概率分布曲線整體向右移動(dòng)，彈頭突防效能整體提升，與實(shí)際情況相符。

案例3和案例4中，當(dāng)進(jìn)攻彈頭數(shù)量變化時(shí)，對(duì)至少有一枚彈頭成功突防的概率和平均突防彈頭數(shù)（期望值）進(jìn)行對(duì)比分析，隨著彈頭數(shù)量的增加，至少一枚彈頭成功突防的概率增加，且有誘餌干擾的作用下突防概率和期望值均高于無(wú)誘餌干擾時(shí)，突防效果更好，說(shuō)明通過(guò)進(jìn)行誘餌干擾可以提高彈道導(dǎo)彈的突防成功率。

3 結(jié)論

彈道導(dǎo)彈的自身性能是影響其突防能力的主要因素，此外，進(jìn)攻導(dǎo)彈的突防戰(zhàn)術(shù)運(yùn)用，彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的攔截能力、攔截策略等對(duì)彈道導(dǎo)彈突防效能有明顯的影響。

本文通過(guò)建立彈道導(dǎo)彈突防多層彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的馬爾科夫模型，進(jìn)行彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估，通過(guò)分析表明，該模型應(yīng)用簡(jiǎn)單，可以有效地對(duì)突防多層彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的導(dǎo)彈突防效能進(jìn)行評(píng)估，為彈道導(dǎo)彈突防作戰(zhàn)決策提供理論支持。但是模型構(gòu)建時(shí)，對(duì)一些因素進(jìn)行了簡(jiǎn)化，下一步還需要對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步地完善，綜合考慮各方面的因素影響。