吳 威，吳 玲，盧發(fā)興

（海軍工程大學電子工程學院，武漢 430033）

0 引言

傳統(tǒng)艦炮發(fā)射彈丸初速固定，隨著新能源發(fā)射技術的快速發(fā)展，電磁軌道炮、電熱化學炮等新能源武器發(fā)射的彈丸初速可調，應用前景廣泛［1-2］。但初速可調將影響彈丸對目標命中概率，改變傳統(tǒng)艦炮對目標的打擊方式。不同于傳統(tǒng)艦炮，彈丸初速可調，則對同一目標進行打擊時采用不同的彈丸初速和彈丸射角，彈丸飛行時間、彈丸落角和彈丸落速將改變，彈丸對目標的命中概率隨之改變。因此，存在最佳彈丸初速，實現(xiàn)對目標的最大命中概率。

關于彈丸初速對目標命中概率的影響，目前國內只對艦炮初速對命中點預測誤差影響有所研究分析［3-4］。本文通過建立海上目標運動模型，利用Cramer-Rao下界理論推導得到目標運動要素估計誤差精度，根據(jù)彈丸外彈道方程和彈丸對海上目標的命中概率模型，分析彈丸初速對目標命中概率的影響，為新能源武器火控解算、最佳初速射表制定提供理論依據(jù)。

1 海上目標運動模型

對于海上艦船等慢速目標，在艦炮火控計算中，通常把通過雷達測得目標的球坐標值轉換為直角坐標系兩個坐標軸上的觀測值［5］，以便于求解目標運動參數(shù)和解命中，對目標實施打擊。在火控系統(tǒng)計算中，在誤差允許的范圍內，將直角坐標系中的相關觀測噪聲轉換為不相關高斯白噪聲，可以提高系統(tǒng)的反應時間［6］。為了簡化計算，把目標運動分解為單個坐標軸上的單獨運算，而不考慮兩個坐標軸誤差分量之間的相關性，造成的精度誤差在10%以內［7］。這樣，可以將對一個目標的跟蹤問題轉化為根據(jù)兩個坐標軸上的2k個測量值、估計目標運動要素、的問題。

以目標在X軸方向進行勻速直線運動為例，得到其運動方程：

式（1）的觀測方程為

式中，

其中，N（x）為觀測噪聲，dt為數(shù)據(jù)采樣間隔。

2 目標運動要素估計誤差的CRLB

為了分析對海射擊誤差，需要根據(jù)目標運動模型確定目標運動要素估計誤差的精度下限，即CRLB（Cramer-Rao Lower Bound）［8］。

設到k時刻止，獲得的測量集為X={Xi|i=1，2，…，k}，則它對目標運動要素H（x）估計的似然函數(shù)為

因此，

對于測量集X的H（x）的似然函數(shù)為

所以

可以得到對目標運動要素H（x）估計誤差的Cramer-Rao下界。設濾波時間為T，預測時間參數(shù)為η，預測時間為ηT，則預測目標在T+η·T時刻的X軸位置誤差的Cramer-Rao下界為

把式（2）和式（3）代入式（7）可得

由式（10）可得

代入式（8）可得預測目標為勻速直線運動時，在T+η·T時刻的X軸預測位置誤差：

同理，可以預測目標為勻速直線運動時，在T+η·T時刻的Y軸預測位置誤差：

3 彈丸外彈道模型

為了分析初速對命中概率的影響，還需要獲得彈丸落角、落速和彈丸飛行時間，為此建立彈丸外彈道模型［9］。采用直角坐標系OXYZ，O在發(fā)射點，軸線OX位于水平面上，方向為彈丸移動方向；軸線OY垂直于軸線OX，方向為垂直向上；軸線OZ垂直于軸線OX和OY，建立右坐標系?？紤]彈丸旋轉、科里奧利力、重力加速度以及偏流的影響，可以得到彈丸運動微分方程組為：

其中，（x，y，z）為彈丸矢徑，（u，w，q）為彈丸速度矢量，ωξ為彈丸縱軸方向的角速度，為空氣阻力加速度，ψ為偏流角，θ為彈丸傾角，V為彈丸速度，H（y）為空氣密度函數(shù)，K（Γ）為極阻尼力矩函數(shù)，轉動系數(shù)b為常數(shù)，εx，εy，εz為各個方向的修正加速度，其數(shù)學表達式為：

其中，（x，y，z）為彈丸矢徑，（u，w，q）為彈丸速度矢量，gT（φ，y）為彈丸高度為時的重力加速度，f（t）為偏流系數(shù)，R（y）為曲率半徑，Ωx，Ωy，Ωz為地球自轉角速度 Ω 在 x，y，z軸上的分量，Ω=7.292 1·10-5rad/s。

4 彈丸對海上目標命中概率模型

4.1 海上目標命中面積

海上目標命中面積是彈丸可擊中的目標面積，一般可根據(jù)等面積替代原則，用規(guī)則形狀的目標面積近似代替艦艇命中面積［10］。以水面艦艇為例，設目標艦艇甲板面等效矩形長為Lf，寬為Bj，如圖1（a）中的ABCD所示，艦艇平均舷高為Hp。

圖1 艦艇命中界示意圖

考慮到目標舷角Qm，則計算目標命中面積時，需要把矩形ABCD沿彈丸射向方向進行投影，如圖1（a）所示。同樣根據(jù)面積等效原則，得到投影后的矩形 A'B'C'D'邊長 C'D'=Lz，B'C'=B'j，有

再考慮艦艇舷高Hp沿彈丸落速方向的投影，則艦艇水平投影面積變?yōu)锳2=Lz·Lx，如圖1（b）所示，則

其中，θc為彈丸落角，即彈丸擊中目標時，彈丸速度方向與水平面的夾角。式（18）將命中面積均投影在水平面內，一般情況下可簡化Lx的計算，但當彈丸落角 θc極小時，利用式（18）計算 Lx將無限大，與實際不符。因此，將艦艇命中面積投影在彈丸落速的垂直面上，記為Aj，即圖1（b）中陰影矩形MNPQ面積：

4.2 艦炮對海射擊誤差

艦炮武器系統(tǒng)對海射擊誤差包含隨機誤差和系統(tǒng)誤差。隨機誤差主要考慮艦炮射彈散布誤差和隨動系統(tǒng)誤差的合成［10］，一般情況下，隨機誤差可通過下式進行計算：

其中，kEx和kEz分別為距離和方向誤差系數(shù)，d為射擊距離。

艦炮對海射擊的系統(tǒng)誤差一般可認為主要由火控系統(tǒng)誤差中的目標定位誤差決定，因此，系統(tǒng)誤差mx、mz可取為目標運動要素估計誤差的精度下限CRLB與一定系數(shù)的乘積，由式（12）、式（13）可知：，其中，kmx、kmz為系統(tǒng)誤差系數(shù)，kmx>1，kmz>1，ρ=0.476 9 為正態(tài)常數(shù)。

4.3 命中概率模型

假設以目標中心為瞄準點時目標命中界為Lx'×Lz。考慮對海上目標射擊時，目標在x軸和z軸上的隨機誤差分量相互獨立，則發(fā)射一發(fā)彈丸對此矩形目標的命中概率 P（x，z）為：

其中，φ（x）、φ（z）分別為彈著散布誤差在 x、z軸上的正態(tài)分布密度函數(shù)，即：

類似可得 φ（z）。

5 算例分析

5.1 海上目標命中概率計算框架

圖2 海上目標命中概率求解流程圖

1）如圖2所示，首先建立海上目標運動模型，根據(jù)彈丸飛行時間（預測時間）以及濾波時間，求解目標定位誤差精度下限 CRLB，并由式（12）、式（13）得到射擊系統(tǒng)誤差 mx，mz；

2）根據(jù)射擊距離，由式（21）得到射擊的隨機誤差 Ex，Ez；

3）根據(jù)彈丸外彈道模型計算彈丸落角，并由式（16）、式（20）計算海上目標命中界 Lx'，Lz；

4）由海上目標命中概率模型式（22），可得命中概率。

5.2 算例分析

對于初速可控的艦炮，對目標進行打擊時，可根據(jù)目標的遠近，選擇不同的彈丸初速以及彈丸射角。首先分析射擊誤差對命中概率的影響，然后分析不同初速情況下目標距離和彈丸射角對命中概率的影響；最后重點分析打擊視距內目標時，彈丸初速與命中概率的之間的關系。

假設某目標驅逐艦甲板面等效長度Lj=124 m，寬度Bj=20.5 m，舷高Hp=10.33 m，目標舷角Qm=π/2，航速20節(jié)，航向與我艦航向相反。由式（16）、式（20）可得 Lx'，Lz，取濾波時間 T=4 s，數(shù)據(jù)采樣間隔dt=0.01 s，σx=30 m，σz=20 m，kEx=1/300 rad，kEz=1 ×103rad，kmx=kmz=2。

5.2.1 射擊誤差對命中概率的影響

對18 km目標進行打擊，分析射擊隨機誤差和系統(tǒng)誤差對目標命中概率的影響。表1給出了系統(tǒng)誤差隨彈丸初速的變化情況，下頁圖3給出不同隨機誤差情況下彈丸初速對彈丸命中概率的影響，圖4給出了不同系統(tǒng)誤差情況下彈丸初速對彈丸命中概率的影響。

表1 系統(tǒng)誤差隨彈丸初速變化情況表

圖3 不同隨機誤差情況下彈丸命中概率隨彈丸初速變化圖

圖4 不同系統(tǒng)誤差情況下彈丸命中概率隨彈丸初速變化圖

由表1及圖3、圖4可知：當艦炮射擊隨機誤差遠大于系統(tǒng)誤差時，命中概率隨艦炮初速的增加而減??；當隨機誤差遠小于系統(tǒng)誤差時，命中概率隨初速增加而增大；當兩種誤差取值相當時，命中概率隨初速增加先增加后減小。上述結果的出現(xiàn)是由于初速增大，彈丸飛行時間減少，射擊系統(tǒng)誤差減小，將使命中概率有增大的趨勢；而同時初速增大時，落角減小，造成目標命中界變小，又使命中概率有減小的趨勢。當兩類射擊誤差取值比重不同時，系統(tǒng)誤差和命中界變化對命中概率的影響比重也不同。

因此，在進行初速可控艦炮武器系統(tǒng)設計時，要充分考慮其對艦炮隨機誤差與系統(tǒng)誤差的精度匹配，以達到對目標最大的命中概率。后續(xù)計算均針對射擊的隨機誤差和系統(tǒng)誤差取值相當?shù)那闆r，分析初速對命中概率的影響，即隨機誤差系數(shù)取值為kEx=1/300 rad，kEz=1×103rad，系統(tǒng)誤差系數(shù)取值為kmx=kmz=2。

5.2.2 目標距離對命中概率的影響

分別以 1 500 m/s、2 000 m/s、2 500 m/s 彈丸初速對不同距離目標進行打擊，圖5給出了不同彈丸初速條件下目標距離與命中概率關系圖。

由圖5可知，在不同彈丸初速條件下，彈丸對目標的命中概率均隨著目標距離的增加而降低，當目標距離超過視距界限時，彈丸對目標的命中概率漸趨平穩(wěn)，且均處于較低值?？梢?，對超視距遠目標進行打擊，在傳統(tǒng)彈丸不能獲得較好效果時，應采用新型信息化制導彈丸，以提高彈丸射程和命中概率，此時命中概率主要由信息化制導彈藥的制導能力決定。因此，本文重點研究對視距內目標打擊時彈丸初速和射角對命中概率的影響。

圖5 彈丸命中概率隨目標距離變化圖

5.2.3 彈丸射角對命中概率的影響

分別以1 000 m/s、1 500 m/s彈丸初速對視距內18 km目標進行打擊，每種初速均采用高低兩種射角發(fā)射，彈丸外彈道示意圖如圖6所示。計算得到的視距內彈丸的高低彈道飛行參數(shù)和對目標命中概率如表2所示。

圖6 彈丸外彈道示意圖

表2 彈丸飛行參數(shù)及命中概率

由圖6和表2可以看出，對視距內目標實施打擊，當彈丸初速相同，彈丸有小射角低拋彈道和大射角高拋彈道兩種射擊方式，采用小射角低拋彈道射擊時，彈丸飛行時間短，命中概率高，因此，對于視距內目標打擊應采用低拋彈道，命中概率高，同時可以大大減少目標的預警反應時間，提高命中效果。

5.2.4 視距內彈丸初速對命中概率的影響

對這一部分進行重點分析。假設目標艦艇距離18 km，由式（12）～ 式（23），對命中概率隨彈丸初速變化情況進行計算，結果如表3和圖7所示。表3給出了不同初速條件下，彈丸飛行參數(shù)以及彈丸對目標的命中概率；圖7給出了目標命中概率隨彈丸初速、目標距離變化情況。

表3 彈丸命中概率隨彈丸初速變化表

圖7 命中概率隨彈丸初速變化圖

由計算結果表3和圖7可知，在打擊視距內目標時：

1）對不同距離的目標，隨著初速可控艦炮彈丸初速的增加，彈丸飛行時間、彈丸落角逐漸降低，彈丸落速逐漸增加，彈丸對目標的命中概率先增加后降低。因此，存在最佳彈丸初速，使得彈丸對目標的命中概率最大。

2）目標距離越遠，增加彈丸初速，命中概率提高越顯著，達到最大命中概率對應的最佳彈丸初速越大；

3）使用相同初速的彈丸對不同距離的目標進行打擊，目標距離越遠，命中概率越低。

綜上可知，初速可控艦炮的彈丸初速對目標命中概率有很大的影響。打擊視距內目標時，可將彈丸加速至最佳初速，實現(xiàn)對目標的最大命中概率。且由于新能源武器彈丸初速與消耗能量成正比，通過調整彈丸初速，不僅可以實現(xiàn)彈丸的最大命中概率，還可以優(yōu)化每次發(fā)射彈丸的能量，提高發(fā)射率。

此外，本文選取目標速度5 kn～50 kn，仿真分析了目標速度差異對艦炮命中概率的影響。結果顯示，彈丸初速固定時，對不同速度的目標實施打擊，命中概率變化不大。因此，在本文中對這一部分不展開詳細分析。

6 結論

基于海上目標運動模型、彈丸外彈道模型和目標運動要素估計誤差模型，建立了彈丸對海上目標的命中概率模型，計算分析了彈丸初速對目標命中概率的影響?？梢缘玫剑号c傳統(tǒng)艦炮射表不同，彈丸初速可控的新能源武器應建立外彈道最佳彈丸初速射表，這對于火控解算等實際工程應用具有重要意義。