童衛(wèi)華

[摘? 要] 從單元整體出發(fā)設(shè)計(jì)出學(xué)習(xí)資源豐富，思路清晰的教學(xué)問題，有利于學(xué)生加深對(duì)知識(shí)、技能、方法的理解和掌握，有利于學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升解決問題的能力，有利于滿足不同學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同需求.

[關(guān)鍵詞] 整體觀念;復(fù)習(xí)課

“復(fù)習(xí)課難上！”這是許多教師發(fā)出的感嘆. 怎樣有效地進(jìn)行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生輕松、愉悅地對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理，使之系統(tǒng)化、條理化，同時(shí)掌握解決某類問題的數(shù)學(xué)方法或思維方式，是老師們要經(jīng)常思考的問題. 下面筆者就以浙教版七年級(jí)下冊(cè)“二元一次方程組”單元復(fù)習(xí)為例，探討單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì).

教學(xué)目標(biāo)

1. 通過復(fù)習(xí)，進(jìn)一步了解二元一次方程（組）的概念，理解二元一次方程解的不唯一性.

2. 能用合適的方法解二元一次方程組，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想.

3. 通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 重點(diǎn)：運(yùn)用合適的方法解二元一次方程組.

2. 難點(diǎn)：利用方程組解決實(shí)際問題.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：回故舊知

1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ? ? ）

A. 3x-2y=4z? ? B. 6xy+9=0

C. +4y=6 D. 4x=

2. 下列各組方程是二元一次方程組的是（ ? ? ）

A. xy=2

x-2y=-2 ? ?B. x=2

x-2y=-2

C. x-y=2

x+y2=-2 ? ? D. xy=2

x-2y=-2

3.下列各組數(shù)據(jù)不是方程x+3y=9的解的是（ ? ? ）

A. x=3

y=2 ? ? ? ? B.x=5

y=

C. x=6

y=1 ? ? ? ? ?D. x=4

y=2

4. 二元一次方程組2x+y=5，

x-y=1 的解是（ ? ? ）

A. x=-1

y=2? ? ? B. x=1

y=-2

C. x=2

y=1 ? ? ? ? D. x=1

y=2

5. 關(guān)于x，y的方程組x+cxy=2，

xa+2-（b-4）

yb-3 =-2是二元一次方程組，則a-b+2c=______.

6. 用合適的方法解下列方程.

①x=2-3y，

3x+5y=2; ? ? ②3x-2y=7，

5x+2y=1.

設(shè)計(jì)說明? （1）通過6個(gè)小題系統(tǒng)地梳理本單元的基本概念：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程的解、二元一次方程組的解，以及怎樣解二元一次方程組，有利于學(xué)生從整體上把握本單元的基本內(nèi)容、基本方法.

（2）通過學(xué)生的交流，力圖使學(xué)生更清晰地認(rèn)識(shí)二元一次方程解的特點(diǎn)：有無數(shù)多組. 一般的二元一次方程組的解只有一組，是通過消元法來解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，變二元為一元，化未知為已知. 具體的解法依賴于方程中系數(shù)的特點(diǎn)，以及方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn). 并為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，可以用類比的方法解決三元一次方程（組）的問題.

（3）習(xí)題5的設(shè)計(jì)目的，從形式上看是初中學(xué)生最“怕”的題目，“關(guān)于x，y的方程”，以及初二、初三“關(guān)于x的函數(shù)”等，怕的原因：學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，對(duì)字母的含義有所了解、體會(huì)，但真正接受字母，理解字母的意義還存在一定的偏差，不完善、不深刻. 初中學(xué)生（尤其是初一學(xué)生）的思維以具體形象思維為主，在方程（組）中表現(xiàn)為：具體的、數(shù)字系數(shù)的方程能理解、能計(jì)算，但在方程中包含了字母系數(shù)，或者多了一個(gè)參數(shù)時(shí)，往往就比較迷茫，處理起來就比較困難. 通過類比習(xí)題2，明確未知數(shù)的次數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)不為零，這點(diǎn)在y的系數(shù)和次數(shù)上表現(xiàn)尤為明顯. 一方面，讓學(xué)生形成類比的學(xué)習(xí)思路;第二方面，通過解題對(duì)二元一次方程組的概念有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，達(dá)到概念的精致;第三方面，為今后的學(xué)習(xí)提供了解題經(jīng)驗(yàn).

活動(dòng)2：方法提升

解方程組：5x+6y=12，

6x+5y=21.

師：觀察方程的系數(shù)有什么特點(diǎn)？你打算用什么方法來解題？

生1：沒有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1，或者-1，用代入消元法解不方便，

生2：未知數(shù)的系數(shù)也不成倍數(shù)關(guān)系，用加減消元法也不方便.

師：那該怎么辦？

生3：未知數(shù)的系數(shù)有新的特點(diǎn)，x，y的系數(shù)好像對(duì)調(diào)了下.

很多同學(xué)比較茫然.

師：這位同學(xué)，你能說詳細(xì)點(diǎn)嗎？

生3：第一個(gè)方程的系數(shù)為5和6，第二個(gè)方程的系數(shù)為6和5，系數(shù)交換了位置.

生4：我把兩個(gè)方程相加得到了11x+11y=33，然后兩邊同時(shí)除以11得到了x+y=3，然后和第一個(gè)方程組成一個(gè)新的方程組x+y=3，

5x+6y=12， 解這個(gè)方程組就比較方便.

師：很好，大家還有別的想法嗎？

生5：我把兩個(gè)方程相減得到了x-y=9，然后和第一個(gè)方程組成一個(gè)新的方程組x-y=9，

5x+6y=12，解這個(gè)方程組同樣比較方便.

生6：我把剛才這兩位同學(xué)的想法綜合了一下，把原方程組中的兩個(gè)方程相加和相減，得到了新方程組x+y=3，

x-y=9， 這個(gè)方程組的解一眼就能看出是x=6，

y=-3.

師：太精彩了，當(dāng)初我們把兩個(gè)方程相加（或相減）的目的是為了消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，從而解出這個(gè)方程組. 現(xiàn)在我們把這兩個(gè)方程相加（或相減），得到x+y=3，x-y=9，我們把x+y，x-y看成一個(gè)整體，這種想法稱為整體思想. 請(qǐng)大家按照這樣的想法來完成以下練習(xí)：

1. 解方程組（2選1）.

（1）x+y=3，

y+z=6，

z+x=9; ? ?（2）x+2y+z=12，

x+y+2z=18，

2x+y+z=24.

2. 已知二元一次方程組2x+3y=5，

x+4y=3， 則3x+7y=_____，2016-x+y=____.

設(shè)計(jì)說明? 通過對(duì)一個(gè)對(duì)稱方程組的解法的交流，從觀察方程的系數(shù)特點(diǎn)出發(fā)，引起認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣. 把兩個(gè)方程相加（相減）的目的從消元化“簡”，化二元為一元，從而可解方程，拓展提升為得到一個(gè)新的二元一次方程，而這個(gè)新方程的系數(shù)相對(duì)“簡單”，用這個(gè)新的方程和原方程組中的方程組成方程組，或者把新得到的方程的左邊看成一個(gè)整體，用整體代入的方法解決問題. 加減消元的目的是為了化“簡”，化難為易，這個(gè)“易”可以是只有一個(gè)未知數(shù)，也可以是一個(gè)相對(duì)簡單的等式，豐富學(xué)生的認(rèn)知，拓寬了“加減消元”的內(nèi)涵，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

活動(dòng)3：實(shí)際應(yīng)用

有甲、乙、丙3種商品，某人購甲3件，乙7件，丙1件，共需24元;若購甲4件，乙10件，丙1件，共需33元，則此人購甲、乙、丙各1件，共需_____元.

學(xué)生順利地將問題轉(zhuǎn)化成了方程組3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， 則x+y+z=_____.

但在解方程組時(shí)遇到了問題，過了好一會(huì)兒才有學(xué)生回答，我好像有辦法了.

生1：我是先消元，將方程轉(zhuǎn)化成x+3y=9，通過解這個(gè)二元一次方程得到方程的一組解是x=6，

y=1， 再把這個(gè)解代回原方程，解得z=-1，從而得到x+y+z=6. 但是這個(gè)方程組中z=-1不符合實(shí)際.

師：很好，用特殊值法解題，的確不一定是問題的解，誰有辦法完善一下解法呢？

生2：可以嘗試幾個(gè)數(shù)字試試.

師：那好，我們分別假設(shè)y=1，y=2，y=3……然后解方程，看看x+y+z=6是否仍然成立？

幾分鐘后教室里出現(xiàn)了興奮的聲音：“我做出來了！”“我也做出來了！”“x+y+z=6仍然成立. ”

師：太好了，我們通過假設(shè)y為一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，通過解方程，雖然x，z的值發(fā)生了變化，但x+y+z的值始終不變，你們能說明這個(gè)“事實(shí)”的正確性嗎？

生3：把x+3y=9中的3y移到方程的右邊，得到x=9-3y③，然后把③代入方程①.

同學(xué)們聽了提示后，趕緊計(jì)算起來，不久就有興奮的聲音傳來：“我知道了.”

生4：方程的解為x=9-3y，

z=2y-3， 從而得到x+y+z=（9-3y）+y+（2y-3）=6.

師：同學(xué)們，你們真是太厲害了，通過消元法，成功地將三元一次方程組（不完整），轉(zhuǎn)化為一個(gè)二元一次方程，然后通過假設(shè)y為一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，猜測得到了x+y+z的值為定值，最后通過將y一般化，解出了方程組，說明了x+y+z為定值的正確性. 這題還有其他精彩的解法， 下面老師來介紹三種新的解法. 請(qǐng)同學(xué)仔細(xì)觀察老師的解題步驟，猜猜看，老師是怎么解這個(gè)方程的.

方法一：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， ②-①得x+3y=9③，把③代入①可得2（x+3y）+（x+y+z）=24④，解得x+y+z=6.

方法二：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， 將方程組變形為2（x+3y）+（x+y+z）=24③，

3（x+3y）+（x+y+z）=33④， 解這個(gè)方程組得x+3y=9，

x+y+z=6， 即x+y+z=6.

方法三：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②，①×3-②×2得3（3x+7y+z）-2（4x+10y+z）=24×3-33×2，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)得x+y+z=6.

設(shè)計(jì)說明? 通過一個(gè)實(shí)際問題，而且是不定方程的實(shí)際問題，落實(shí)了方程組的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 通過探索這個(gè)不定方程的解，使學(xué)生進(jìn)一步明確方程組解的結(jié)構(gòu)，解的探索方法. 從特殊值y=1，y=2，y=3…的嘗試檢驗(yàn)法，到一般解法（含待定字母）驗(yàn)證解的正確性，體現(xiàn)了從特殊到一般，從具體到抽象，幫助學(xué)生加深對(duì)方程組解的理解，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 通過學(xué)生欣賞教師的方程組新解法，激發(fā)了學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美. 新的解題思路，蘊(yùn)含著更深層次的數(shù)學(xué)思維，這將繼續(xù)鼓舞著學(xué)有余力的同學(xué)認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

教學(xué)反思

1. 整節(jié)課以題組的形式呈現(xiàn)了本單元的基本知識(shí)，沒有單純地講概念. 在實(shí)際練習(xí)中鞏固了知識(shí)點(diǎn)，把基本知識(shí)習(xí)題化，精選習(xí)題，不疏漏、不重復(fù)，系統(tǒng)地梳理了本單元的基本知識(shí)，基本方法. 題題有目的、題題有深意，有利于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握，形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 同時(shí)通過關(guān)于對(duì)“關(guān)于x，y的方程”的探討，深刻理解了概念，同時(shí)也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2. 注重了習(xí)題之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣. 通過師生對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生積極探索怎樣較方便地解方程組5x+6y=12，

6x+5y=21 的活動(dòng)，促使學(xué)生的思維從單純地利用“加減法消元化簡”，提升到“加減法整體化簡”. 豐富了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，促使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)、技能、方法的理解和掌握，從而滿足不同思維能力的學(xué)生的需求，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使其體會(huì)整體思想，提升了思維品質(zhì). 通過方程解法的探討，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)從方程的系數(shù)特點(diǎn)、問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，找到比較簡潔的解法，培養(yǎng)學(xué)生靈活解題能力，并為今后學(xué)習(xí)整式乘法中的代數(shù)式求值、構(gòu)造公式變形、因式分解中的整體思想做好了鋪墊.

3. 采用“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用”的模式展開活動(dòng)3，向?qū)W生提供了現(xiàn)實(shí)、有趣、又富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)素材. 再一次經(jīng)歷了用嘗試檢驗(yàn)法解決問題，在質(zhì)疑中嘗試用字母y表示x和z，從而找到了方程組的通解，解答了問題. 在解題過程中，學(xué)生通過積極思維，掌握了獲取知識(shí)的過程和方法，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了解決問題的能力. 教師的新的解題方法更關(guān)注了學(xué)生個(gè)性特征與水平差異，滿足了不同學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同需求.