傅雙雙 駱順龍 孫源

1) (北京科技大學數(shù)理學院, 北京 100083)

2) (中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院, 北京 100190)

3) (中國科學院大學數(shù)學學院, 北京 100049)

(2018 年 9 月 27 日收到; 2018 年 12 月 12 日收到修改稿)

自量子力學誕生以來, 相干性和互補性一直是被廣泛而深入研究的兩個重要課題. 隨著量子信息近年來的發(fā)展, 人們引入了若干度量來定量地刻畫相干性和互補性. 本文建立兩個信息守恒關(guān)系式, 分別基于“Bures距離-保真度”和“對稱-非對稱”, 并且利用它們來刻畫相干性和互補性. 具體來說, 首先從信息守恒的觀點解釋Bures距離和保真度的互補關(guān)系, 并由此自然推導出Mach-Zehnder 干涉儀中的Englert“干涉-路徑”互補關(guān)系. 其次在量子態(tài)和信道相互作用的一般框架中討論“對稱-非對稱”信息守恒關(guān)系, 并揭示其與Bohr互補性和量子相干性的內(nèi)在聯(lián)系. 最后, 在Mach-Zehnder干涉儀中探討相干、退相干及互補性, 刻畫兩個信息守恒關(guān)系之間的密切聯(lián)系.

1 引 言

互補原理是量子力學的理論核心之一, 在量子科學中具有本質(zhì)的重要性和廣泛的適用性[1].Bohr互補原理指出共軛的物理量具有互補性質(zhì),波粒二相性和Heisenberg不確定性關(guān)系被廣泛認為是互補性的表現(xiàn)[2?11]. 波粒二相性的一個具體形式是干涉儀中量子的粒子特性和波動特性之間的互補關(guān)系[8], 前者通常聯(lián)系于量子的路徑信息, 后者則聯(lián)系于干涉強度. 互補性的概念是多方面的,其定性和定量的研究都是人們關(guān)心的課題.Jaeger等[12]和Englert[8]研究了如下形式的“干涉-路徑”互補關(guān)系:

其中D是路徑的可區(qū)分程度, 用來量化粒子性;V是干涉條紋強度, 用來量化波動性.V和D的具體定義和表達式見本文3.2節(jié)或文獻[8]. 該互補關(guān)系已在許多實驗中得到了證實和應用.

量子力學的另一個重要特征是相干性, 相干與退相干相伴, 因此與互補性密切相關(guān), 是量子力學區(qū)別于經(jīng)典力學的一個基本特征. 近年來, 隨著量子技術(shù)研究的推進, 為了刻畫量子力學的哪些特性會導致潛在的操作優(yōu)勢, 量子資源理論得到很大發(fā)展. 在資源理論的框架下, 已有大量對相干性的量化研究[13?28]. 此外, 量子相干性在量子熱力學、量子計算和量子生物學等領(lǐng)域也發(fā)揮了關(guān)鍵作用[29?31], 并與最近發(fā)展起來的“對稱-非對稱”量化研究有著內(nèi)在的聯(lián)系[32?35].

量子相干是干涉現(xiàn)象的核心. 量子系統(tǒng)中相干性與波動性相聯(lián)系, 而粒子性則與路徑可區(qū)分性相聯(lián)系. 它們之間的定量聯(lián)系在干涉實驗中進行了大量研究[36?38]. 近期, 文獻[39]從量子力學的基本形式出發(fā), 從交換和反交換的觀點導出了在態(tài)-信道相互作用中對稱性和非對稱性的定量互補關(guān)系, 該互補關(guān)系表現(xiàn)為恒等式(一種守恒關(guān)系), 揭示了互補性和相干性之間的某些內(nèi)在聯(lián)系.

本文主要探討相干與信息守恒及其在Mach-Zehnder干涉中的應用. 具體安排如下: 第2節(jié)討論兩種信息守恒關(guān)系, 其一是基于“Bures距離-保真度”的, 其二是基于“對稱-非對稱”的; 第 3 節(jié)首先回顧 Englert關(guān)于 Mach-Zehnder干涉儀中互補關(guān)系的不等式刻畫, 其次利用第2節(jié)中的信息守恒關(guān)系給出互補性的一個等式刻畫, 然后借助該等式形式的互補關(guān)系推導出 Englert的不等式, 最后探討 Mach-Zehnder干涉儀中的相干性和互補性, 并討論其與第2節(jié)的信息守恒關(guān)系的聯(lián)系.

2 兩個信息守恒關(guān)系

[40], 它們之間的Bures距離[41]可寫成如下形式:

或等價地,

解釋為一個信息守恒關(guān)系. 數(shù)學上, (1)式可由D(ρ,σ)和F(ρ,σ) 的定義平凡地得到, 但從信息的角度看, (1)式可解釋為Bohr互補關(guān)系的一個刻畫和量化, 將在第3 節(jié)中詳細闡述這一點.

首先回顧本文中將會用到的保真度F(ρ,σ) 的幾個重要性質(zhì)[40]:

2) 對所有的酉算子U,

設(shè)ρ為量子態(tài),Φ為完全正的保跡映射 (亦稱作量子信道),稱為 Kraus算子, 其對偶信道可表示為其中X為任意算子. 文獻[39]提出可將“態(tài)-信道”相互 作用的對稱部分和非對稱部分分別量化為

事實上, 非對稱部分I(ρ,Φ) 可解釋為刻畫量子態(tài)ρ相對于量子信道Φ的量子相干[39], 亦即ρ在Φ作用后的退相干. 特別地, 當Φ為保單位 (unital)信道(即Φ將單位算子1映成單位算子,Φ(1)=1 )時和I(ρ,Φ) 滿足如下信息守恒關(guān) 系：

下一節(jié)將用等式(1)和(3)這兩個不同但有聯(lián)系的信息守恒關(guān)系來探討Mach-Zehnder干涉儀中的互補性和相干性.

3 Mach-Zehnder干涉儀中的互補性和相干性

3.1 Mach-Zehnder干涉儀

為了在具體的框架中研究相干性和互補性, 考慮對稱 MZI (如圖 1 所示), 其中有 50 : 50 分束器BS和相移器PS. 分束器將輸入態(tài)沿a和b兩條路徑分布. 用|0〉表示路徑 a,|1〉表示路徑 b. 設(shè)光子進入干涉儀的初始態(tài)為其 中 (rx,ry,rz) 為 三 維 實 向 量 , 且表示 Pauli算子[39]. 為了獲得光子的路徑信息, 引進初始態(tài)為ρiDn的路徑探測器(WWD). 若光子沿路徑a傳播, 則探測器的初始態(tài)保持不變; 若光子沿著路徑b傳播, 則探測器的態(tài)經(jīng)過一個酉演化變?yōu)檫@一相互作用導致光子與 WWD 產(chǎn)生關(guān)聯(lián). 因此, 在 MZI中, 探測器實際上可看作光子所處的環(huán)境. 光子與探測器的相互作用導致光子退相干, 光子部分信息流失到探測器上, 這樣就可以從探測器上檢測到光子的相關(guān)信息. 在 Englert干涉-路徑互補關(guān)系中, 路徑信息正是用探測器量子態(tài)在演化前后的跡距離刻畫的.

圖1 對稱 MZI (BS, 50 : 50 分束器; PS, 相移器; WWD,路徑探測器)Fig.1. A schematic sketch of the symmetric Mach-Zehnder interferometer. BS, 50:50 beam splitter; PS, phase shifter;WWD, which-way detector.

其中

對兩體量子態(tài)ρf關(guān)于WWD取偏跡[40], 得到光 子的輸出態(tài)

類似地, WWD的輸出態(tài)為

有了以上準備, 以下兩小節(jié)將討論Mach-Zehnder干涉儀中的相干性和互補性.

3.2 Mach-Zehnder干涉儀中的互補性

Bohr互補原理在MZI中具體表現(xiàn)為波粒二相性, 對此已有豐富的理論和實驗研究[4?9,12], 其中一個很重要的工作是Englert[8]給出的波粒二相性的不等式刻畫. 本節(jié)將信息守恒關(guān)系(1)解釋為波粒二相性的等式刻畫, 特別地, Englert的結(jié)果是該等式的推論.

區(qū)分程度緊密相關(guān). Englert提出的量D本質(zhì)上為兩個量子態(tài)之間的跡距離[39], 雖然該量具有好的操作性解釋, 但從信息論的角度來看, 該量有一些缺陷, 如它不是黎曼的. 與此對照, Bures 距離Db既是黎曼的又是單調(diào)的, 故利用

刻畫粒子性具有理論上的優(yōu)點. 為提供一個直觀易理解的例子, 不妨考慮直角三角形的三個邊長, 顯然邊長本身具有明確的物理長度含義, 但它們之間并無明顯的數(shù)量關(guān)系, 但是如果用長度的平方代替長度, 類似于此處用Bures距離代替跡距離, 則得到勾股定理這一優(yōu)美結(jié)果.

波動性與粒子性互補, 粒子性用Bures距離來刻畫, 相應的波動性度量便自然地用保真度來刻畫. 此外, 還可直接從V的表達式出發(fā), 給出用保真度刻畫波動性的進一步解釋. 由保真度的定義和性質(zhì), 可得

(6)式的等式關(guān)系是從現(xiàn)代量子信息的觀點出發(fā), 考慮光子與探測器相互作用過程中的信息流動而自然得到的. 實際上, Englert的互補關(guān)系(4)式可由上面的等式關(guān)系(6)式直接得到

最后一個不等式可由不等式(2)和(5)直接得到.

3.3 Mach-Zehnder干涉儀中的相干性

上面的討論指出在MZI中光子與探測器相互作用, 導致光子退相干, 部分信息流失到探測器上.本節(jié)具體計算Mach-Zehnder干涉儀中的相干性,并揭示其與波粒二相性之間的密切關(guān)聯(lián). 在上述MZI中, 考慮信道

由(8)和(9)式, 可得到波粒二相性的另一個等式刻畫

利用不等式 (5)式, 可得到P的下界和W的上界 為

因此, 信息守恒關(guān)系(1)式與波粒二相性的等式刻畫(10)式緊密相關(guān), 且當不等式(11)和(12)變?yōu)榈仁綍r, 兩種守恒關(guān)系一致. 特別地, 當取特殊的量子態(tài), 如時,

因此, 基于相干給出的波粒二相性的刻畫中的粒子性度量P的下界可用D刻畫, 而波動性的度量W的上界可用F刻畫. 這與前面用信息守恒關(guān)系(1)式來描述互補性原理是一致的.

4 結(jié) 論

本文討論了“Bures-保真度”互補關(guān)系和“對稱-非對稱”互補關(guān)系, 并將它們解釋為信息守恒關(guān)系.作為應用, 由信息守恒關(guān)系直接推導出Englert的“干涉-路徑”不等式. 進一步利用信息守恒關(guān)系揭示了Mach-Zehnder干涉儀中互補性與相干性的關(guān)系, 證明了可區(qū)分程度是態(tài)關(guān)于信道的非對稱性(相干性)的下界, 而保真度是態(tài)關(guān)于信道的對稱性的上界. 我們期望“對稱-非對稱”守恒關(guān)系能為相干性與互補關(guān)系的研究提供一個統(tǒng)一的框架.