張嵐昕，趙萬良，李紹良，成宇翔，王 偉

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海慣性工程技術(shù)研究中心，上海 201109)

0 引言

半球諧振陀螺具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、壽命長、精度高且無累積誤差等特點(diǎn)，在空間探測(cè)、航空航海、精密設(shè)備等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用。半球諧振陀螺與其他類型的固體波動(dòng)陀螺的工作原理類似，當(dāng)諧振子在外加特殊頻率的激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生四波腹的諧振振型，陀螺隨載體在慣性空間中繞敏感軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，四波腹振型在科里奧利力的作用下會(huì)發(fā)生實(shí)時(shí)進(jìn)動(dòng)。通過外部電路將陀螺諧振子振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，并通過信號(hào)處理的方法從電信號(hào)中得到諧振振型的進(jìn)動(dòng)特性，就可以獲取載體的角度或角速度信息。半球諧振子的結(jié)構(gòu)圖以及四波腹振動(dòng)示意圖如圖1所示。

(a)

(b)圖1 (a)半球諧振子結(jié)構(gòu)圖，(b)四波腹振型示意圖Fig.1 (a)Structure of hemispherical resonator; (b) Transformation of four-wave vibrating pattern

按照工作原理，半球諧振陀螺可以分為力平衡(Force-to-Rebalanced)工作模式和全角(Whole-Angle)工作模式。較之于力平衡工作模式，全角模式半球諧振陀螺具有較大的動(dòng)態(tài)范圍和響應(yīng)速度，同時(shí)其信號(hào)處理和振型控制算法也更為復(fù)雜。全角模式的工作原理為，當(dāng)有角速度輸入時(shí)，諧振子受到沿著與角速度和振動(dòng)方向均垂直的方向產(chǎn)生的科里奧利力為：

F=2mΩ×v=-2mΩAωsin(ωt)

(1)

在科里奧利力的作用下，諧振子振型轉(zhuǎn)動(dòng)角度與載體的轉(zhuǎn)動(dòng)角度會(huì)相差一個(gè)滯后角度θ，稱θ為進(jìn)動(dòng)角或滯后角(見圖2)，進(jìn)動(dòng)角與載體轉(zhuǎn)動(dòng)角度θreal存在固定的比例關(guān)系如下：

θreal=kθ

(2)

其中，比例系數(shù)k稱為進(jìn)動(dòng)因子，k的大小僅與陀螺諧振子的材料和結(jié)構(gòu)有關(guān)，當(dāng)陀螺表頭的物理狀態(tài)確定時(shí)，k可以被視為常數(shù)。因此，在全角工作模式下，一般通過外部電路在陀螺表頭輸出的振動(dòng)信號(hào)的基礎(chǔ)上進(jìn)行一系列的處理和解算，最終得到諧振振型的進(jìn)動(dòng)角，并用它來表征陀螺所在載體的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

(a)陀螺未發(fā)生進(jìn)動(dòng)的狀態(tài)

(b)陀螺所在載體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)諧振振型發(fā)生進(jìn)動(dòng)圖2 振型進(jìn)動(dòng)狀態(tài)下示意圖Fig.2 Vibrating pattern under real-time precession

進(jìn)動(dòng)角度的解算精度與陀螺諧振振型的穩(wěn)定性有很大關(guān)系，振動(dòng)振型的頻率、波腹點(diǎn)幅度、波節(jié)點(diǎn)幅度的不穩(wěn)定均會(huì)導(dǎo)致進(jìn)度角的解算誤差。因此，為了保證全角模式下半球諧振陀螺的敏感精度，陀螺外部信號(hào)處理電路須包含波腹點(diǎn)幅度檢測(cè)與控制、波節(jié)點(diǎn)幅度檢測(cè)與控制、頻率跟蹤回路和角度信號(hào)解算等幾個(gè)部分。其中頻率跟蹤和波節(jié)點(diǎn)控制的效果對(duì)角度敏感的精度影響較大，頻率跟蹤回路的參數(shù)不合理時(shí)，會(huì)導(dǎo)致解調(diào)載波的相位與陀螺諧振相位差不收斂至0°，而是收斂至90°或-90°，并最終導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)力的相位混亂，振動(dòng)狀態(tài)發(fā)散；而當(dāng)波節(jié)點(diǎn)的幅度未被抑制到0且存在波動(dòng)時(shí)，會(huì)造成幅度檢測(cè)量的波動(dòng)和解調(diào)載波相位的波動(dòng)，并最終影響角度敏感的精度。

本文介紹了一種半球諧振陀螺全角模式的控制方法，并分析了該方法的誤差來源和誤差抑制的方法。

1 半球諧振陀螺動(dòng)力學(xué)模型

半球諧振陀螺的諧振子四波腹振型的振動(dòng)參數(shù)耦合了振動(dòng)幅度、振動(dòng)頻率和進(jìn)動(dòng)角度等信息。全角模式下半球諧振陀螺通過陀螺敏感電極將陀螺的物理振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)；并通過信號(hào)處理算法將振動(dòng)幅度、振動(dòng)頻率和進(jìn)動(dòng)角度等信息分離和解算出來；并通過控制算法穩(wěn)定諧振子的諧振振型，保證陀螺的進(jìn)動(dòng)角度穩(wěn)定收斂。

當(dāng)半球諧振陀螺諧振子振動(dòng)的物理模型被簡化為彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)時(shí)，其二階動(dòng)力學(xué)模型如式(3)[1-2]：

(3)

其中，Ω為載體平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)速度，k為諧振子進(jìn)動(dòng)因子，k′為向心力增益系數(shù)，ω為陀螺諧振子固有振動(dòng)頻率，x和y為2個(gè)相互正交的信號(hào)軸向上的振動(dòng)信號(hào)，fx和fy為從x和y兩方向上施加的控制作用，在半球諧振陀螺中，x和y的幾何放置位置相差45°。

在式(1)的基礎(chǔ)上，通過平均法可以得到陀螺諧振子在x和y位置上的振動(dòng)位移表達(dá)式如下[3-4]:

x=acos(ωt)cos(θ)-qsin(ωt)sin(θ)

y=acos(ωt)sin(θ)+qsin(ωt)cos(θ)

(4)

其中，a和q為諧振振型的長軸和短軸，θ為進(jìn)動(dòng)角，x和y為陀螺通過相隔45°的2個(gè)電極讀出的信號(hào)，這2個(gè)電極的信號(hào)的物理意義是陀螺振動(dòng)信號(hào)向2個(gè)電極方向的正交變換，如圖3所示。

圖3 諧振振型正交分解示意圖Fig.3 Orthogonal decomposition of vibrating pattern

2 半球諧振陀螺信號(hào)處理與控制

全角模式半球諧振陀螺信號(hào)處理與控制的目的是維持實(shí)時(shí)進(jìn)動(dòng)過程中的振型穩(wěn)定并解算出實(shí)時(shí)進(jìn)動(dòng)角度，其主要包括以下4個(gè)部分：維持諧振能量不發(fā)生衰減的波腹點(diǎn)控制回路；抑制波節(jié)點(diǎn)幅度進(jìn)而抑制陀螺敏感誤差的波節(jié)點(diǎn)控制回路；實(shí)時(shí)跟蹤陀螺諧振頻率和相位，產(chǎn)生解調(diào)參考信號(hào)的鎖相環(huán)回路；進(jìn)動(dòng)角度動(dòng)態(tài)檢測(cè)部分。陀螺信號(hào)處理與控制的結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。

圖4 全角模式半球諧振陀螺控制框圖Fig.4 Control scheme of whole angle mode HRG

電極讀出的陀螺信號(hào)如式(4)，相對(duì)于檢測(cè)電極輸出的陀螺諧振信號(hào)而言，半球諧振陀螺諧振振型的長軸振幅a、短軸振幅q以及陀螺動(dòng)態(tài)進(jìn)動(dòng)角度θ等振動(dòng)狀態(tài)量均為低頻慢變信號(hào)，需要通過信號(hào)處理的方法將他們從陀螺高頻的諧振信號(hào)中提取出來。

可以通過鎖相環(huán)得到與實(shí)時(shí)諧振振動(dòng)信號(hào)同頻同相的解調(diào)參考信號(hào)Vc與Vs，該信號(hào)與真實(shí)諧振信號(hào)有相位差φ。

Vc=cos (ωt+φ)
Vs=sin (ωt+φ)

(5)

使用參考信號(hào)通過乘法解調(diào)的方法將陀螺信號(hào)的頻譜特征向低頻和二倍頻方向進(jìn)行頻譜搬移，并經(jīng)低通濾波將包含振動(dòng)狀態(tài)量的低頻慢變信號(hào)Cx、Cy、Sx、Sy提取出來。

(6)

對(duì)低頻慢變信號(hào)進(jìn)行組合運(yùn)算，可以得到陀螺諧振振動(dòng)狀態(tài)量,如式(7)：

E=Cx2+Cy2+Sx2+Sy2=KE(a2+q2)
Q=2(CxSy-CySx)=KQ(aq)
S=2(CxCy-SySx)=Kθ(a2-q2)cos(2θ)
R=Cx2-Cy2+Sx2-Sy2=Kθ(a2-q2)sin (2θ)
L=2(CxSx+CySy)=KL(a2-q2)sin(2φ)

(7)

其中，E既表征了諧振振型的能量，當(dāng)波節(jié)點(diǎn)幅度q被抑制到0時(shí)，E又反映了長軸的振幅；Q表征了波節(jié)點(diǎn)振動(dòng)的幅度。E信號(hào)、Q信號(hào)分別作為波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)控制回路的檢測(cè)信號(hào)，經(jīng)PI控制器分別得到波腹點(diǎn)控制信號(hào)Fa和波節(jié)點(diǎn)控制信號(hào)Fq?？刂谱饔肍a與Fq需要利用x和y方向的驅(qū)動(dòng)電極施加到諧振子上，因此，需要將Fa與Fq分別分解到x和y方向上，同時(shí)還需要將該控制信號(hào)與陀螺諧振頻率進(jìn)行調(diào)制，得到驅(qū)動(dòng)作用Fx和Fy。

Fx=Facos(θ)cos(ωt-90°)-
Fqsin (θ)sin(ωt-90°)
Fy=Fasin(θ)cos(ωt-90°)+
Fqcos (θ)sin(ωt-90°)

(8)

S和R信號(hào)做比值可以得到進(jìn)動(dòng)角度的正切函數(shù)tan(2φ)，由于比值消元的效果，波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)的振幅不穩(wěn)定性不會(huì)影響進(jìn)動(dòng)角度的計(jì)算結(jié)果。

L表征了鎖相環(huán)產(chǎn)生的解調(diào)參考信號(hào)與諧振信號(hào)的相位差。L信號(hào)作為鎖相環(huán)鑒相器的輸出，通過改變振蕩器參數(shù)使L逐漸收斂，產(chǎn)生與諧振信號(hào)同頻同相的解調(diào)參考信號(hào)。要注意的是，由于L=KL(a2-q2)sin(2φ)，在2φ較大時(shí)有可能會(huì)收斂于2φ=180°。因此，在鎖相環(huán)參數(shù)匹配不佳時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致解調(diào)參考信號(hào)相位翻轉(zhuǎn)，并最終引起控制結(jié)果發(fā)散。

3 建模仿真分析

根據(jù)諧振子動(dòng)力學(xué)分析和全角模式半球諧振陀螺諧振信號(hào)處理與控制算法，搭建了Simulink仿真模型。其中仿真的陀螺諧振頻率ω=5000Hz，進(jìn)動(dòng)因數(shù)k=0.3。分別針對(duì)波腹點(diǎn)控制、波節(jié)點(diǎn)控制、頻率跟蹤以及角度解算等幾個(gè)部分進(jìn)行仿真分析。

3.1 波腹點(diǎn)控制

波腹點(diǎn)的穩(wěn)定性和精度會(huì)影響頻率跟蹤的精度進(jìn)而對(duì)陀螺精度產(chǎn)生影響，仿真采用階躍信號(hào)作為波腹點(diǎn)的激勵(lì)信號(hào)。由仿真結(jié)果可知，在PI控制參數(shù)調(diào)整合理的狀態(tài)下，波腹點(diǎn)信號(hào)響應(yīng)時(shí)間約為0.15s，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.02V，如圖5所示。

圖5 波腹點(diǎn)階躍信號(hào)輸入下的控制仿真圖 Fig.5 Simulation of energy control under the antinode step input

3.2 波節(jié)點(diǎn)控制

波節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定程度可以影響波腹點(diǎn)與頻率跟蹤的控制效果，根據(jù)算法波節(jié)點(diǎn)應(yīng)被抑制到0V附近。通過實(shí)時(shí)數(shù)值仿真可知，當(dāng)不施加波節(jié)點(diǎn)控制時(shí)，波節(jié)點(diǎn)的存在會(huì)導(dǎo)致諧振振型的相位漂移，引起x和y信號(hào)之間產(chǎn)生相位偏移，x和y信號(hào)的李薩茹圖為橢圓型，仿真結(jié)果如圖6所示。

當(dāng)施加波節(jié)點(diǎn)控制后，x和y信號(hào)之間產(chǎn)生的相位偏移被消除，相位差為0°或180°，李薩茹圖為一條直線，由仿真結(jié)果可知，波節(jié)點(diǎn)控制響應(yīng)時(shí)間小于0.02s，穩(wěn)態(tài)誤差小于1×10-7V，仿真效果如圖7所示。

(a) (b)圖6 (a)圖為在波節(jié)點(diǎn)未被抑制到0時(shí)振動(dòng)信號(hào)，x與y之間存在一個(gè)相位差；(b)圖為在波節(jié)點(diǎn)未被抑制到0時(shí)，x和y信號(hào)的李薩茹圖Fig.6 (a) shows signal x and y when quadrature signal is not 0; (b) shows Lissajous-graph of signal x and y

(a)

(b)圖7 (a)為波節(jié)點(diǎn)信號(hào)被抑制為0時(shí)的振動(dòng)信號(hào)與李薩茹圖，相位差隨波節(jié)點(diǎn)一起收斂于0；(b)為波節(jié)點(diǎn)控制仿真結(jié)果圖，上圖為波節(jié)點(diǎn)輸出，下圖為波節(jié)點(diǎn)控制誤差Fig.7(a) shows signal x and y and their Lissajous-graph when quadrature signal approaches to 0; (b) shows error of quadrature control loop

3.3 頻率跟蹤

通過鎖相環(huán)進(jìn)行頻率跟蹤的輸出信號(hào)被用于乘法解調(diào)和驅(qū)動(dòng)調(diào)制的參考信號(hào)，其與陀螺半球諧振子實(shí)時(shí)振動(dòng)信號(hào)的相位差會(huì)影響波腹點(diǎn)信號(hào)解調(diào)、波節(jié)點(diǎn)信號(hào)解調(diào)以及角度解算的精度。數(shù)值仿真結(jié)果顯示(見圖8)，頻率跟蹤穩(wěn)定工作的情況下，相位誤差小于0.5×10-7。

圖8 頻率跟蹤仿真結(jié)果圖(上圖紅線為陀螺實(shí)時(shí)諧振信號(hào)，藍(lán)線為跟蹤振動(dòng)信號(hào)；下圖為實(shí)時(shí)頻率跟蹤誤差)Fig.8 Simulation of frequency tracking result(In the first graph, the red thread represents vibrating signal of gyro, the blue thread represents frequency track’s output. The second graph shows error of frequency control loop)

3.4 角度跟蹤

角度敏感是全角模式下半球諧振陀螺的最終目的，并且角度敏感的精度也直接影響了驅(qū)動(dòng)作用的施加效果。將30°角度階躍信號(hào)和10(°)/s斜坡速率輸入作為激勵(lì)輸入對(duì)角度解算進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果顯示，經(jīng)角度解算的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間小于0.05s，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.05°，如圖9所示。

(a)30°階躍角度輸入

(b)10(°)/s速率斜坡輸入圖9 角度解算仿真結(jié)果圖Fig.9 Results of simulation for angle solution

4 結(jié)論

全角模式下半球諧振陀螺的性能指標(biāo)受諧振波形的穩(wěn)定性和頻率跟蹤精度的影響，本文針對(duì)半球諧振陀螺全角工作模式的動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)行了分析和建模，并介紹了一種全角模式下半球諧振陀螺控制和信號(hào)處理方法。該方法通過離散電極取得相互正交的諧振子振動(dòng)信號(hào)x和y；通過乘法解調(diào)與低頻信號(hào)組合運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了波腹點(diǎn)、波節(jié)點(diǎn)、諧振頻率和進(jìn)動(dòng)角度的實(shí)時(shí)檢測(cè)；通過波腹點(diǎn)控制、波節(jié)點(diǎn)控制、頻率跟蹤等3個(gè)回路，實(shí)現(xiàn)了諧振子四波腹振型狀態(tài)的穩(wěn)定。最后針對(duì)數(shù)值仿真模型的仿真結(jié)果加以分析，驗(yàn)證了此方法的可行性。