章 平，王 炎，王 橋

(1.安徽工程大學(xué)計算機與信息學(xué)院，蕪湖 241000;2.東南大學(xué)信息工程學(xué)院，南京 210096)

0 引言

手機定位技術(shù)伴隨著移動通信的發(fā)展不斷進步。早在20世紀(jì)80年代，1G蜂窩移動通信可以根據(jù)基站位置和接收信號強度而粗略估計出接收機的位置信息，進而提升通信系統(tǒng)性能或者提供相關(guān)應(yīng)用[1-5]。進入90年代，隨著2G和3G數(shù)字通信技術(shù)發(fā)展，各種定位技術(shù)相繼出現(xiàn)，如Cell-ID、TA、OTD、uplink ToA、 enhanced OTD (E-OTD) 以及A-GPS等。1999年，美國聯(lián)邦通信委員會(Federal Communications Commission， FCC)在緊急服務(wù)E911中對手機定位提出要求：移動端定位要以67%的概率定位在50m以內(nèi)，95%的概率定位在150m以內(nèi)；網(wǎng)絡(luò)端定位要以67%的概率定位在100m以內(nèi)，95%的概率定位在300m以內(nèi)[6]。

2000年5月，美國克林頓政府下令停止執(zhí)行全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)中選擇性可用性(Selective Availability，SA)干擾策略，全球的民用GPS接收機的定位精度一夜之間提高了10倍，在室外達到了10m以下的定位精度，初步解決了手機的室外定位問題。此后，隨著基于位置服務(wù)的興起，對手機定位的精度以及覆蓋范圍都提出了更高的要求。美國FCC甚至要求手機運營商在2020年將手機定位的精度提升到m級。進入5G時代，各種新興的通信技術(shù)和手機應(yīng)用都需更高精度的定位服務(wù)，如信道分配、波束成形和生活協(xié)助等，對傳統(tǒng)手機定位技術(shù)提出了巨大的挑戰(zhàn)[7]。

在4.5G的研究中，已有相關(guān)研究通過已經(jīng)定位的設(shè)備和位置未知設(shè)備之間的設(shè)備到設(shè)備(Device-to-Device，D2D)間通信的測量進行協(xié)作定位[9]。協(xié)作定位是一種利用位置未知節(jié)點間的測量信息獲取節(jié)點間的相對位置信息的定位方式，在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位中有著重要的作用，不但可以提升定位精度，更拓展了傳統(tǒng)定位的可定位范圍[8]。

5G條件下，D2D通信作為一種低功耗、自適應(yīng)和高效率的通信方式，將會得到重要應(yīng)用。該通信方式將產(chǎn)生大量的設(shè)備之間的信號測量，可被用于估計設(shè)備之間的距離甚至角度信息，將被用于實現(xiàn)高精度(m級以下)、低時延、大容量和全覆蓋的定位。同時，固定部署的基站或者熱點，現(xiàn)有移動定位技術(shù)也提供了各種精度不一的位置信息。如何利用設(shè)備之間的信號測量提升位置精度成為迫切需要解決的問題[10]。

本文提出了一種基于最小約束系統(tǒng)的分布式協(xié)作定位方法。該方法利用節(jié)點的現(xiàn)有位置構(gòu)造最小約束系統(tǒng)[13]，用來確定網(wǎng)絡(luò)中心的位置和網(wǎng)絡(luò)的朝向。然后通過極大化由節(jié)點間測量決定的似然函數(shù)，優(yōu)化節(jié)點間的相對位置。理論上，當(dāng)用節(jié)點的真實位置構(gòu)造最小約束系統(tǒng)后，可以完全準(zhǔn)確給出網(wǎng)絡(luò)的位置和朝向，剩下的定位誤差都是由節(jié)點間測量誤差造成的。

該定位方法還具有分布式和可擴展的特點。事實上，任意選擇部分節(jié)點位置構(gòu)造最小約束系統(tǒng)，均可通過節(jié)點間的測量更新節(jié)點間的相對位置，進而通過迭代實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點位置的更新?？紤]到極大似然估計要求解非線性最小二乘問題，分布式的實現(xiàn)有助于降低算法復(fù)雜度以及節(jié)點間的通信次數(shù)。

本文安排如下：第1節(jié)介紹了定位的場景及節(jié)點間距離測量模型；第2節(jié)引入了最小約束系統(tǒng)，并討論了如何構(gòu)造最優(yōu)的最小約束系統(tǒng)；第3節(jié)詳細介紹了基于最小約束系統(tǒng)的協(xié)作定位及其分布式實現(xiàn)；第4節(jié)進行了仿真驗證；第5節(jié)總結(jié)全文。

1 定位場景及數(shù)學(xué)模型

5G移動通信系統(tǒng)中，除了移動終端與基站之間通信外，移動終端之間的D2D通信也產(chǎn)生了大量的節(jié)點間信號測量。這些測量包括信號強度、到達時間甚至到達角度等，提供了節(jié)點(包括移動終端和基站)之間的相對位置信息。為了方便起見，這里假定從信號測量中獲得距離信息，建模如下：

(1)

通過模型式(1)，可以得到在距離測量下，節(jié)點位置向量s=[s1,s2,…,sn]T的對數(shù)似然函數(shù)：

(2)

其中，Ε為所有距離測量的下標(biāo)集，c為與位置向量s無關(guān)的常數(shù)。

極大化對數(shù)似然函數(shù)式(2)可得節(jié)點位置的估計。但是，由于節(jié)點間的距離測量無法提供網(wǎng)絡(luò)的位置和朝向信息，因此該估計并不唯一。為了唯一定位，通常引入錨節(jié)點，即位置已知的節(jié)點，提供外部約束信息。

在5G移動通信系統(tǒng)中，基站以及各種無線網(wǎng)絡(luò)接入點如WiFi和藍牙熱點等位置相對固定，可以擔(dān)任錨節(jié)點的角色。具體地，令Α為錨節(jié)點下標(biāo)集合，有：

sk=ak，k∈Α

(3)

其中，ak=[akx,aky]T已知錨節(jié)點坐標(biāo)。

理論上，在約束式(3)下，極大對數(shù)似然式(2)得到的估計具有漸進最優(yōu)性。但在實際應(yīng)用中卻存在如下問題：

1)無法保證錨節(jié)點位置的準(zhǔn)確性。無論基站還是各類熱點，其位置精度受各自定位方法限制，精度各異，甚至?xí)捎谖恢靡苿?，提供錯誤的錨節(jié)點位置信息。在等式約束式(3)下，錨節(jié)點的位置誤差不僅影響網(wǎng)絡(luò)整體的位置和朝向的估計，更會錯誤地約束節(jié)點間相對位置信息，影響相對位置估計精度。

2)約束式(3)下極大對數(shù)似然式(2)是一中心化算法，需要所有節(jié)點間測量及錨節(jié)點位置信息，在大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中通信及計算代價較高。

3)算法擴展性有限。新增移動終端及相應(yīng)的節(jié)點間測量后，需要重新進行全局優(yōu)化，無法局部更新。

2 最小約束系統(tǒng)及其最優(yōu)性

在節(jié)點間測量可以提供足夠相對位置信息的情況下，只需要將其中1個節(jié)點定在坐標(biāo)原點，另外1個節(jié)點定在x軸上，第3個節(jié)點的縱坐標(biāo)的符號為正即可唯一確定其他節(jié)點。換言之，3個連續(xù)的約束即可實現(xiàn)唯一定位(最多相差一個整體發(fā)射變換),稱之為最小約束系統(tǒng)(Minially Constrained System, MCS)[11]。 問題是，如何構(gòu)造一組最優(yōu)的約束使得定位誤差最低。

文獻[14]提供了一種利用參考位置構(gòu)建最小約束系統(tǒng)的方法，并證明了當(dāng)參考位置恰好是真實位置時，該最小約束系統(tǒng)是最優(yōu)的。具體地，令r=[r1x,r1y,r2x,r2y,…rnx,rny]T為一個參考位置向量，定義如下線性約束：

(4)

(5)

(6)

其中，式(4)和式(5)分別利用參考位置確定了網(wǎng)絡(luò)中心的位置，而式(6)指明了網(wǎng)絡(luò)朝向。特別地，這3個線性約束在(定位之前)令r=s時，網(wǎng)絡(luò)中心和朝向完全正確，可以提供最優(yōu)的定位精度。實際應(yīng)用中，一般選擇節(jié)點的初始位置(通過GPS或者其他定位算法獲得)即可。

幾何上，線性約束等價于將位置向量s對應(yīng)的相對構(gòu)型通過Partial Procrustes Fit[13]擬合到參考位置向量r上，即：

(7)

式(7)是滿足式(4)、式(5)和式(6)的一組解。其中，T(s)代表網(wǎng)絡(luò)整體平移和旋轉(zhuǎn)變換，即剛性變換，Γ=diag(Γ0，Γ0，…，Γ0)是由n個2×2正交陣構(gòu)成的2n×2n維塊對角矩陣，代表節(jié)點整體的旋轉(zhuǎn)(包括反射)，1x=[1,0,1,0,…,1,0]T和1y=[0,1,0,1，…，0,1]T分別為2n維向量，與實數(shù)x和y構(gòu)成了x軸方向和y軸方向的平移變換。

本文將以節(jié)點已有位置作為參考位置向量，利用節(jié)點間的距離約束更新已有位置中的相對位置部分，保留網(wǎng)絡(luò)整體位置和朝向不變。

3 算法流程

3.1 參考位置估計

移動通信系統(tǒng)中，基站或者接入點一般都會通過GPS或者人工部署的方式獲得位置信息；手機也可以通過GPS模塊在室外定位，并通過慣性導(dǎo)航或者室內(nèi)熱點實現(xiàn)室內(nèi)位置的更新。這些都可以作為節(jié)點參考位置估計。特別地，對于沒有參考位置估計的節(jié)點，建議采用DV-Hop或者DV-Distance算法獲得位置估計，具體過程參見圖 1。

圖1 參考位置估計算法流程Fig.1 Reference location estimation algorithm flow

3.2 約束極大似然估計

基于最小約束系統(tǒng)的分布協(xié)作定位算法的核心是基于參考位置構(gòu)造最小約束系統(tǒng)，然后在約束下求解極大似然估計，大致流程參見圖 2。

圖2 約束極大似然估計流程Fig.2 Constrained maximum likelihood estimation flow

在線性約束式(4)、式(5)和式(6)下，極大化對數(shù)似然式(2)可以通過兩種方法實現(xiàn)：

1)求解線性約束的基礎(chǔ)解系，將約束極大似然重參數(shù)化為無約束的極大似然函數(shù)，然后使用求解非線性最小二次問題的數(shù)學(xué)工具迭代求解。

2)直接極大化對數(shù)似然式(2)，盡管迭代結(jié)果不唯一，但是將最終結(jié)果利用Partial Procrustes Fit擬合到參考位置向量上，則獲得一組極大化式(2),又滿足線性約束式(4)、式(5)和式(6)的位置估計。

3.3 算法的擴展與分布式實現(xiàn)

由于任意給定參考位置集合，都可以構(gòu)造最小約束系統(tǒng)，并對該集合的節(jié)點位置進行更新。因此，該定位算法具有很好的擴展性，并可以進行分布式實現(xiàn)。

假設(shè)引入新的節(jié)點，其參考位置可以通過相鄰(已定位)節(jié)點使用DV-Hop或者DV-Distance進行定位。該參考位置可以與相鄰節(jié)點的參考位置一起構(gòu)造最小約束系統(tǒng)，并在該約束系統(tǒng)下，通過節(jié)點間測量對應(yīng)極大似然估計更新該節(jié)點及相鄰節(jié)點的位置。

此外，網(wǎng)絡(luò)也可被劃分成若干部分，在每一個部分構(gòu)造最小約束系統(tǒng)，通過約束極大似然估計進行分布式定位。注意，僅僅分塊定位的話，分塊之間的測量并沒有用到定位過程中，因此建議通過迭代的手段，將所有節(jié)點間的測量引入定位過程，具體參見圖 3。該方法僅僅是一種最簡單的選擇，更多優(yōu)化策略留待后繼研究。

圖3 分布式協(xié)作定位流程Fig.3 Distributed cooperative localization flow

4 仿真分析

為了驗證算法性能，首先利用節(jié)點真實位置構(gòu)造最優(yōu)最小約束系統(tǒng)，研究算法在不同測量誤差下的定位性能；然后，利用DV-Distance算法獲得節(jié)點初始位置，從而構(gòu)造最小約束系統(tǒng)，并研究在該約束系統(tǒng)下的定位性能；最后，通過隨機分組的方法，研究了算法的分布式實現(xiàn)及其性能。不失一般性，距離單位為m，相應(yīng)的均方誤差單位為m2。

在10×10的平面上進行仿真。平面上隨機生成50個節(jié)點，設(shè)置通信半徑為3，得到一個部分連通的網(wǎng)絡(luò)，參見圖4。節(jié)點間的距離測量由模型式(1)生成，噪聲方差的變化范圍為從-30dB～10dB。

圖4 二維部分連通網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Two-dimensional partial connected network

4.1 真實位置作為參考位置

將參考位置設(shè)置為節(jié)點真實位置下，可以得到最優(yōu)的定位精度。如圖 5所示，定位精度完全由節(jié)點間測距精度決定，當(dāng)測距誤差趨向于0時，定位誤差也趨向于0。

圖5 利用真實位置構(gòu)造約束系統(tǒng)算法性能Fig.5 Algorithm performance of constrained system constructed by real locations

4.2 基于錨節(jié)點估計參考位置

實際中，由于無法得到節(jié)點的真實位置，通過將4個節(jié)點設(shè)置為位置已知的錨節(jié)點，引入DV-Distance算法獲得其他節(jié)點的初始位置，并進而構(gòu)造出一個最小約束系統(tǒng)。

圖 6給出了在該約束系統(tǒng)下的定位性能。從圖6中可以看出，相比初始位置，利用約束極大似然估計獲得的定位精度明顯提升。

圖6 利用估計位置構(gòu)造約束的算法性能Fig.6 Algorithm performance of constrained system constructed by estimated locations

4.3 分布式實現(xiàn)

考慮到約束極大似然本質(zhì)上是一個中心化的非線性最小二乘問題，需要較高的通信量匯集測量值并實施高維參數(shù)迭代優(yōu)化。提出的分布式實現(xiàn)則是一個降低通信和算法復(fù)雜度的有效策略。具體地，在每次實驗中隨機選擇10個節(jié)點，基于10個節(jié)點的初始位置和節(jié)點之間的測量實施該算法，更新節(jié)點位置。為了盡可能使用節(jié)點間的測量，隨機選擇10次，迭代更新，最終的結(jié)果作為定位結(jié)果。圖 7展示了定位性能，相對于集中式算法，分布式迭代算法的定位精度有所下降，但仍然提升了參考位置的精度。

圖7 分布式協(xié)作定位性能Fig.7 Distributed collaboration location performance

5 結(jié)論

5G移動通信系統(tǒng)中，采用D2D的通信方式為協(xié)作定位技術(shù)的引入提供了技術(shù)保證?？紤]到現(xiàn)有的GPS、蜂窩定位以及無線局域網(wǎng)定位(如WiFi定位和藍牙定位)等定位技術(shù)提供了精度各異的定位結(jié)果，本文提出了基于最小約束系統(tǒng)的分布式協(xié)作定位方法，該方法：

1)利用D2D測量確定節(jié)點間的相對位置信息，而將網(wǎng)絡(luò)整體的位置和朝向留給已知參考位置確定；

2)可用GPS、DV-Hop和DV-Distance等多種算法獲得參考位置信息，且無需知道參考位置的精度；

3)具有分布式和可擴展特性，可以為5G網(wǎng)絡(luò)中大量終端提供位置信息。