羅潔思 張紹輝 李葉妮

摘要：針對(duì)滾動(dòng)軸承在自身諧振干擾及強(qiáng)背景噪聲影響下，滾動(dòng)軸承損傷時(shí)引起調(diào)制現(xiàn)象難以檢測(cè)的問(wèn)題，提出基于多分辨奇異值分解（Multi-resolution Singular Value Decomposition，MRSVD）的包絡(luò)解調(diào)方法。該方法首先采用MRSVD方法將振動(dòng)信號(hào)逐層分解獲得具有不同分辨率的近似信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，經(jīng)理論分析得到的第一個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)主要成分為噪聲，且最后一個(gè)近似信號(hào)主要成分為諧波干擾。進(jìn)一步結(jié)合峭度指標(biāo)從其他細(xì)節(jié)信號(hào)（第一個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)除外）中提取其中隱藏的周期性沖擊信號(hào)，根據(jù)周期性沖擊信號(hào)的包絡(luò)解調(diào)譜進(jìn)行軸承故障的診斷。仿真分析和應(yīng)用實(shí)例證明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：故障診斷;滾動(dòng)軸承;多分辨奇異值分解;信噪比;解調(diào)分析

中圖分類號(hào)：TH165+.3;TH13 3.3;TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523 （2019） 06-1114-07

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 021

引言

當(dāng)滾動(dòng)軸承的內(nèi)圈、外圈或滾動(dòng)體有損傷時(shí)，隨著軸承的周期性旋轉(zhuǎn)，損傷表面與其他元件表面在接觸過(guò)程中會(huì)發(fā)生周期性脈動(dòng)沖擊，激起內(nèi)、外圈的固有頻率振動(dòng)[1-2]，其振動(dòng)信號(hào)中往往出現(xiàn)周期性的瞬態(tài)沖擊信號(hào)，形成調(diào)制現(xiàn)象，頻譜上表現(xiàn)為固有頻率兩側(cè)出現(xiàn)等間隔的調(diào)制邊頻帶[1，3]。因此，對(duì)軸承故障振動(dòng)信號(hào)中的周期性沖擊成分進(jìn)行提取和解調(diào)，根據(jù)解調(diào)譜的強(qiáng)度和頻次判斷軸承損傷程度和部位是軸承故障診斷廣泛使用的一種方法[3-4]。

各種信號(hào)處理方法已被用于從軸承故障振動(dòng)信號(hào)中提取故障特征信息，如EMD[5]、小波分析（WT）[6]、及它們的各種改進(jìn)算法[7-10]、稀疏分解[11-12]、流行學(xué)習(xí)[13]、譜峭度[14]、包絡(luò)分析[15-19]等。上述方法從時(shí)域、頻域、或時(shí)一頻聯(lián)合域檢測(cè)由軸承故障引起的周期性沖擊特征表現(xiàn)出的調(diào)制現(xiàn)象。然而，在故障診斷的初期階段，故障特征較微弱，加之環(huán)境噪聲和系統(tǒng)固有諧波振動(dòng)的影響，使得共振帶內(nèi)的周期性沖擊振動(dòng)并不明顯，上述方法的有效性也大打折扣。因此，有些學(xué)者研究采用信號(hào)預(yù)處理的方法從軸承故障振動(dòng)信號(hào)中去除噪聲和諧波振動(dòng)干擾，提取共振帶內(nèi)與故障有關(guān)的周期性沖擊特征[19-23]。目前，大多采用基于頻率的信號(hào)預(yù)處理方法，即試圖將噪聲、諧波振動(dòng)、周期性的沖擊振動(dòng)分解到不同的頻帶。事實(shí)上，噪聲分布頻帶較廣，共振頻帶也存在噪聲干擾，諧波振動(dòng)與周期性沖擊振動(dòng)也并不一定是頻域可分的。

鑒于噪聲、諧波振動(dòng)、周期性沖擊振動(dòng)在奇異值分解后有不同的奇異值特征，本文將新近提出的一種信號(hào)處理方法——多分辨率奇異值分解方法（MRSVD） [24]用于軸承故障振動(dòng)信號(hào)的預(yù)處理，從奇異值角度將噪聲與諧波振動(dòng)干擾從軸承故障振動(dòng)信號(hào)中去除，可解決上述預(yù)處理方法遇到的頻率不可分問(wèn)題。本文第二部分的理論分析表明：若對(duì)包含噪聲、諧波振動(dòng)、周期性沖擊振動(dòng)的軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多分辨率奇異值分解，分解結(jié)果的第一個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)主要成分為噪聲，最后一個(gè)近似信號(hào)的主要成分為諧波振動(dòng)。

因此，本文采用MRSVD方法對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，擬去除其中的背景噪聲信號(hào)和諧波干擾信號(hào)，并結(jié)合峭度（ Kurtosis）指標(biāo)從其他（除第一個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)外的）細(xì)節(jié)信號(hào)中提取振動(dòng)信號(hào)所包含與故障有關(guān)的的周期性沖擊成分，最后根據(jù)周期性沖擊成分的Hilbert解調(diào)譜進(jìn)行滾動(dòng)軸承的故障診斷。仿真分析和應(yīng)用實(shí)例表明該方法能在強(qiáng)背景噪聲及諧波振動(dòng)干擾的影響下有效提取軸承故障引起的周期性沖擊成分，凸顯故障特征。

1 多分辨奇異值分解

MRSVD是在奇異值分解的基礎(chǔ)上，結(jié)合矩陣二分遞推結(jié)構(gòu)原理，參考小波多分辨率分析思想，將信號(hào)分解到不同層次子空間的一種信號(hào)分解方法。該算法的具體步驟如下：

（1）對(duì)待分析信號(hào)A0=（x1，x2，…，xN），構(gòu)造行數(shù)為 2 的 Hankel 矩 陣 H0 =

（2）對(duì)矩陣H0進(jìn)行奇異值分解，可以得到且只能得到兩個(gè)奇異值，分別記為σ1，σ2，其中σ1>σ2。從σ1，σ2分別可得到兩個(gè)信號(hào)分量，記為A1，D1。這兩個(gè)分量信號(hào)A1，D1對(duì)原始信號(hào)的貢獻(xiàn)量是有輕重之分的，其中A1較D1對(duì)原信號(hào)的貢獻(xiàn)量大，是信號(hào)的主要成分，它反映了此次分解時(shí)從原始信號(hào)獲取的主要概貌，類似于小波分析中的近似信號(hào)，稱其為SVD近似信號(hào)，D1則反映此次分解時(shí)從原信號(hào)獲取的細(xì)枝末節(jié)，這類似于小波分析中的細(xì)節(jié)信號(hào)，稱其為SVD細(xì)節(jié)信號(hào)。

保留細(xì)節(jié)信號(hào)D1，對(duì)近似信號(hào)A1繼續(xù)構(gòu)造行數(shù)為2的Hankel矩陣Hi，進(jìn)行下一層次的奇異值分解，如此逐層遞推就可以得到一系列SVD細(xì)節(jié)信號(hào)和近似信號(hào)。

信號(hào)的MRSVD分解過(guò)程如圖1所示。

2 MRSVD在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用研究

2.1 MRSVD的消噪與抗諧波干擾原理分析

滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)通常包含三種信號(hào)分量，即由故障引起的周期性沖擊信號(hào)，由設(shè)備自身振動(dòng)產(chǎn)生的諧振信號(hào)以及背景噪聲信號(hào)。假設(shè)采集得到的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)為x（i）。x（i）可以表達(dá)為

x（i）=S（i）+n（i）+h（i），i=1，2，…，N（1）式中 s（i）為周期性沖擊信號(hào)，n（i）為背景噪聲信號(hào)，h（i）為諧振信號(hào)，N為信號(hào)長(zhǎng)度。

根據(jù)式（1），信號(hào)x（i）構(gòu)造的Hankerl矩陣H可以表示為

H=Hs+Hn+Hh

（2）式中 Hs，Hn，Hh分別為信號(hào)S（i），n（i），h（i）構(gòu)造的Hankerl矩陣。在MRSVD中，Hankerl矩陣的行數(shù)為2，其特點(diǎn)為：下一行矢量比上一行矢量?jī)H僅滯后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。下面分別對(duì)這三類信號(hào)的Han-kerl矩陣奇異值分解進(jìn)行分析：

（1）對(duì)于諧振信號(hào)h（i）而言，它所構(gòu)造的Han-kerl矩陣兩行將高度相關(guān)，矩陣的秩為1，若Hh奇異值分解后得到兩個(gè)奇異值為σ=（Hs）=（σs，ξ），則有ξ為一很小的正數(shù)，且σs》ξ。即諧振信號(hào)h（i）的能量主要被分配至第一個(gè)奇異值中，只有很微小的一部分被分配到第二個(gè)奇異值中。

（2）對(duì)于噪聲信號(hào)n（i）而言，其自相關(guān)函數(shù)為Rn（τ）=d2δ（τ），其中d為n（i）的標(biāo)準(zhǔn)差，δ（T）為單位脈沖函數(shù)。對(duì)于噪聲信號(hào)n（i）所構(gòu)造的Hankerl矩陣而言，盡管相鄰兩個(gè)行矢量同樣只滯后一位，但是它們根本不會(huì)相關(guān)，矩陣的秩為2，它的兩個(gè)奇異值接近相等，可表示為σ（Hn）=（σn，σn）。

（3）對(duì)周期性沖擊信號(hào)S（i）而言，它所構(gòu)造的Hankerl矩陣兩行具有一定的相關(guān)性，但相關(guān)程度次于諧振信號(hào)h（i），記Hh奇異值分解后得到的兩個(gè)奇異值為σ（Hh）=（σhb，σhs），其中σhb為兩個(gè)奇異值中的大者，σhs為兩個(gè)奇異值中的小者。

綜合以上分析，對(duì)信號(hào)x（i）所構(gòu)造的奇異值矩陣H，其奇異值矢量滿足下式

σ（H）≤σ（Hs）+σ（Hn）+σ（Hh）=

（σs+σn+ σhb，ξ十σn+σhs）

（3）

實(shí)際上，由于奇異值矩陣H的行數(shù)很小，近似有σ（H）≈（σs+σn+σhb，ξ十σn+σhs）。近似信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的能量與其奇異值的平方呈正比，從式（3）可知，MRSVD第一次分解獲得的細(xì)節(jié)信號(hào)Di對(duì)應(yīng)的奇異值為ξ十σn+σhs，其成分主要為噪聲信號(hào)和小部分的周期性沖擊信號(hào)，且D1包含的噪聲信號(hào)的總能量占x（i）所包含的噪聲總能量的一半。近似信號(hào)A1對(duì)應(yīng)的奇異值為σs+σn+σhb，與信號(hào)x（i） 一樣，近似信號(hào)A1包含了噪聲成分、諧振成分和周期性沖擊成分，對(duì)其做進(jìn)一步的分解，得到下一層次的細(xì)節(jié)信號(hào)D2，D2同樣包含了噪聲信號(hào)（D2包含的噪聲信號(hào)的總能量占Ai所包含的噪聲總能量的一半）和小部分的周期性沖擊信號(hào)，逐層分解得到的下一層細(xì)節(jié)信號(hào)的噪聲能量將比上一層細(xì)節(jié)信號(hào)的噪聲能量減少一半，即Dj較Dj-1具有更高的信噪比，其周期性的沖擊成分將慢慢凸顯。由于每次分解諧振信號(hào)都只有非常微小的能量（ξ2/（σs十ξ）2→0）被分解到細(xì)節(jié)信號(hào)中，因此對(duì)諧振信號(hào)h（i）而言，它的大部分能量將被保留在最后一層近似信號(hào)中。

綜合上述分析，對(duì)強(qiáng)背景噪聲影響下的滾動(dòng)軸承信號(hào)而言，其分解得到的第一個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)D1主要為噪聲信號(hào)，其峭度系數(shù)大約為3，隨著分解層次的深入，細(xì)節(jié)信號(hào)所包含的噪聲成分逐層減小，周期性沖擊成分逐層增加，因此峭度系數(shù)會(huì)隨著層數(shù)的增加而增大，當(dāng)峭度系數(shù)達(dá)到某個(gè)最大值后，又將隨著分解層數(shù)的增加而減少，這是因?yàn)闅堄嗟慕菩盘?hào)中包含的周期性沖擊成分也在逐層減小，這將在仿真分析中得到證實(shí)。

本文結(jié)合峭度指標(biāo)，從MRSVD分解得到的細(xì)節(jié)信號(hào)中選取峭度值最大的幾個(gè)進(jìn)行和運(yùn)算，則和信號(hào)的成分主要是與故障相關(guān)的周期性沖擊振動(dòng)信號(hào)，若對(duì)該和信號(hào)進(jìn)行Hilbert解調(diào)，即可從解調(diào)譜上對(duì)軸承故障進(jìn)行診斷。

2.2MRSVD的分解層數(shù)的確定

由2.1節(jié)的分析可知：MRSVD的分解層數(shù)太少，得到的細(xì)節(jié)信號(hào)將包含有較多的噪聲干擾。然而分解層數(shù)也不是越多越好，分解層數(shù)多計(jì)算量也將增大，與滾動(dòng)軸承故障診斷的實(shí)時(shí)性要求不符;且分解層數(shù)過(guò)多，分解結(jié)果將出現(xiàn)偽信號(hào)。因此本文中MRSVD的分解層數(shù)在分解過(guò)程中自適應(yīng)獲取，當(dāng)細(xì)節(jié)信號(hào)的峭度值達(dá)到最大，即當(dāng)前近似信號(hào)若繼續(xù)分解得到的下一層細(xì)節(jié)信號(hào)的峭度值出現(xiàn)下降趨勢(shì)時(shí)，分解層數(shù)則確定為當(dāng)前分解層數(shù)加5即可。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證基于MRSVD的包絡(luò)解調(diào)方法的有效性，下式所示的數(shù)學(xué)模型將被用于模擬滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)[11]。式中 n（t）為噪聲信號(hào)，采用Matlab函數(shù)awgn.m進(jìn)行添加;h（t）為諧波干擾信號(hào)，其包含N個(gè)諧波信號(hào)，且第j個(gè)諧波信號(hào)的幅值和頻率分別為Bj，fj。由故障引起的周期性沖擊信號(hào)共包含2M+1個(gè)沖擊，式（4）中Am為第r個(gè)沖擊的幅值，β為由結(jié)構(gòu)阻尼引起的衰減系數(shù)，Tp為與故障特征頻率相對(duì)應(yīng)的時(shí)間周期，即故障特征頻率fe= l/Tp，u（t）為單位沖擊函數(shù)，ωr為激勵(lì)頻率，τi為第i個(gè)均值為零，方差介于（0. Ol Tp，0.02Tp）的隨機(jī)變量，此變量是由滾子隨機(jī)滑移引起的。表1和2列出了式（4）中信號(hào)s（t），h（t）所涉及參數(shù)的取值。

設(shè)置采樣頻率為20000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為20000，對(duì)其進(jìn)行數(shù)字化采樣，添加噪聲使得信噪比為-6dB，得到離散信號(hào)的時(shí)域波形及其Hilbert包絡(luò)解調(diào)譜分別如圖2（a），（b）所示。由于噪聲和諧振干擾的影響從圖2（a）無(wú)法判斷滾動(dòng)軸承故障，圖2（b）所示的Hilbert解調(diào)譜將不包含故障信息的諧波信號(hào)以其各諧振分量的頻率之差作為解調(diào)信號(hào)而解出，而實(shí)際故障特征頻率在圖2（b）中并未凸顯。

對(duì)圖2所示的仿真信號(hào)及其包含的周期性沖擊分量、噪聲分量、諧振分量分別構(gòu)造行數(shù)為2的Hankerl矩陣，記為H，Hs，Hn，Hh，分別對(duì)H，Hs，Hn，Hh進(jìn)行奇異值分解，各自得到的兩個(gè)奇異值如表3所示。表3所示的數(shù)值結(jié)果與本文2.1節(jié)中對(duì)3類信號(hào)（周期性沖擊信號(hào)、噪聲信號(hào)、諧振信號(hào)）的奇異值分析是相吻合的，即諧波信號(hào)的分解得到的兩個(gè)奇異值相差較大，噪聲信號(hào)分解得到的兩個(gè)奇異值數(shù)值大小接近相等，周期性沖擊沖擊信號(hào)分解得到的奇異值存在大小之分，但兩者差值既不會(huì)太大，也不會(huì)接近于零。

對(duì)圖2所示的仿真信號(hào)進(jìn)行MRSVD分解，設(shè)置分解層數(shù)為15，得到的各層細(xì)節(jié)信號(hào)對(duì)應(yīng)的奇異值及其峭度系數(shù)分別如圖3（a），（b）所示。由圖3（a）可見(jiàn)，前幾個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)的奇異值下降速度較快，這是因?yàn)殚_(kāi)始時(shí)噪聲的去除比較迅速，之后隨著層數(shù)的增加細(xì)節(jié)信號(hào)的奇異值下降變得越來(lái)越平緩，這表明噪聲的去除隨著分解層數(shù)的增加而變得緩慢。如圖3（b）所示，第一個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)由于包含了大量的噪聲，其峭度系數(shù)接近等于3。之后隨著分解層數(shù)的增加，峭度值也在增加，這是因?yàn)榧?xì)節(jié)信號(hào)所包含的噪聲成分逐層減小，周期性沖擊成分逐層增加。在分解層數(shù)為5時(shí)，細(xì)節(jié)信號(hào)的峭度值達(dá)到最大，之后峭度值又將隨著分解層數(shù)的增加而減少，這是因?yàn)闅堄嗟慕菩盘?hào)中包含的周期性沖擊成分在逐層減小。因此，本文2.1節(jié)中對(duì)細(xì)節(jié)信號(hào)的峭度值分析結(jié)論在圖3（b）中得到驗(yàn)證。

圖4為仿真信號(hào)MRSVD分解得到的第一層細(xì)節(jié)信號(hào)的時(shí)域、頻域波形圖，圖4信號(hào)主要成分為噪聲信號(hào)。因此，頻譜圖上看不出任何凸顯的頻率。圖5為仿真信號(hào)MRSVD分解得到的最后一層近似信號(hào)的時(shí)域、頻域波形圖。正如本文2.1節(jié)所言“諧振信號(hào)的大部分能量將被保留在最后一層近似信號(hào)中”，因此圖5（b）中凸顯的頻率為諧波頻率fi，f2，f3。

從仿真信號(hào)MRSVD分解得到細(xì)節(jié)信號(hào)中選取峭度值最大的5個(gè)進(jìn)行和運(yùn)算，其和信號(hào)的時(shí)域波形及其Hilbert包絡(luò)解調(diào)譜如圖6（a），（b）所示。圖6（a）所示信號(hào)主要成分為與故障有關(guān)的周期性沖擊振動(dòng)信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行Hilbert解調(diào)，可凸顯故障特征頻率，因此從圖6（b）可明顯地看到故障特征頻率及其倍頻。

結(jié)合2.2節(jié)及圖3（b），MRSVD分解層數(shù)只需設(shè)置為1 0即可。

4 實(shí)測(cè)信號(hào)分析

為了驗(yàn)證MRSVD在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，從如圖7所示的實(shí)驗(yàn)臺(tái)上采集外圈故障滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)，其中軸承的相關(guān)參數(shù)如表4所示，表4中BPFO （ballpass frequency，outer race）和fr分別表示外圈故障特征頻率、轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)頻率。由于實(shí)際軸承振動(dòng)信號(hào)通?；煊性肼暫椭C波干擾，為了模擬更真實(shí)的工況，采用圖7所示轉(zhuǎn)盤來(lái)引入諧振成分，即利用轉(zhuǎn)盤的不平衡引起頻率為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)頻率fr的諧振信號(hào)。實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，斷開(kāi)傳感器信號(hào)調(diào)節(jié)器的連接，使得測(cè)試信號(hào)未經(jīng)過(guò)濾波與放大，含有更多的噪聲成分，并且測(cè)試信號(hào)還包含了頻率為電力線頻率（60 Hz）的諧波干擾信號(hào)。

設(shè)置采樣頻率為20 kHz，采用點(diǎn)數(shù)為2 0000，轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)速度為1440 r/min，則有fr=24 Hz，BPFO一85. 728 Hz，采集得到的含有噪聲及諧振干擾的振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形及Hilbert包絡(luò)解調(diào)譜分別如圖8（a），（b）所示。對(duì)圖8（b）縮小其坐標(biāo)軸的顯示區(qū)間，得到圖9所示的細(xì)節(jié)圖。從圖9中能清楚地看到由于轉(zhuǎn)子不平衡引起的諧振頻率24 Hz及電力線頻率60 Hz，但卻無(wú)法看到軸承外圈故障特征頻率。

對(duì)圖8（a）所示的實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行MRSVD分解，取其分解結(jié)果中峭度值最大的5個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)求和信號(hào)，得到如圖10 （a）所示的去噪聲和諧波干擾后的周期性沖擊振動(dòng)，其Hibert包絡(luò)解調(diào)譜如圖10（b）所示，進(jìn)一步縮小圖10（b）中頻譜的顯示區(qū)間，得到圖11所示的頻譜圖。從圖11所示的頻譜圖上可以明顯地看到軸承外圈故障特征頻率及其倍頻，進(jìn)而判斷軸承發(fā)生了外圈故障。

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于MRSVD的包絡(luò)解調(diào)方法，并將該方法應(yīng)用于強(qiáng)背景噪聲及諧波干擾影響下的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的解調(diào)。仿真分析和應(yīng)用實(shí)例均表明：該方法可從含有噪聲和諧振成分的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)中提取與故障有關(guān)的周期性沖擊振動(dòng)，進(jìn)而從解調(diào)譜上凸顯故障特征頻率。

所提方法存在以下優(yōu)點(diǎn)：（1）該方法根據(jù)噪聲、諧波振動(dòng)、周期性沖擊振動(dòng)在奇異值分解后表現(xiàn)出不同的奇異值特征去除滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)中混有的噪聲及諧波干擾，從而提取與故障有關(guān)的周期性沖擊振動(dòng)信號(hào)。因此，該方法與傳統(tǒng)的基于頻帶濾波的共振解調(diào)方法不同，無(wú)需預(yù)先知道故障引起的共振頻帶信息，并可解決噪聲、諧波振動(dòng)、周期性沖擊振動(dòng)的頻率不可分離問(wèn)題;（2）該方法計(jì)算效率高，除了計(jì)算行數(shù)為2的矩陣奇異值分解外，該方法僅涉及矩陣的加、減運(yùn)算。

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