■天津市新華中學 于 川

一、一道高考數學題帶來的警示

這是2014 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學（天津卷）的第二題，此題正確答案為B。當年的考后問卷調查及師生反饋相關數據顯示：高考中，選B的考生僅三分之一，超半數考生選了A。在隨后幾年高考中，此類型題多次出現，雖然得分率有所提升，但始終不能令人滿意。作為考卷第二題，按理說很基礎，為什么大部分考生會選A呢？選A的考生思路如下：將三個不等式變?yōu)槿齻€方程，兩兩一組求交點，得到三個交點分別為（2，0）、（1，1）、（3，1），再分別代入目標函數，得到的最小值是2。

考查結果反映出大多數考生在學習線性規(guī)劃知識時不理解知識的意義，解題機械，不求甚解。這也提醒教師，落實知識要“講理”，教會學生如何“推理”。優(yōu)秀的考生除了具備扎實的基本功，還要具備對知識的領悟能力、遷移能力，夯實基礎知識與提升數學能力刻不容緩。

二、正確理解夯實基礎與提升能力的含義

有些教師可能會質疑：高三復習做的工作就是在抓基礎、提能力，為什么還會出現較大失誤呢？主要是因為對夯實基礎與提升能力存在一定曲解。數學基礎知識是指數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及所反映出來的數學基本思想方法；數學基本技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進行運算、作圖或畫圖、進行簡單的推理。歷年《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試天津卷說明（文史類）》對知識的要求依次是“了解”“理解”“掌握”，考綱中所用動詞多是“會用”“能夠”“會解”“掌握”等“硬性指標”，背、默、重復的前提一定要理解，理解基礎上的記憶才最深刻。對考查知識的要求也有具體表述，如“能用有關知識解決相應的應用”“理解函數的單調性”“理解性質定理，并能夠證明”等，“理解”一詞經常出現?！袄斫狻币馕吨坝休^深刻的理性認識，知道知識間的邏輯關系，能夠對所列知識作正確的描述說明并用數學語言表達，能夠利用所學知識內容對有關問題進行比較、判斷、討論，具備利用所學知識解決簡單問題的能力”，可見其層次較高。處理問題時需要將數學知識與數學思想方法有機結合，要求學生能在數學語言、數學符號、數學圖形間轉換，具備運用分類討論思想、化歸思想、數形結合思想、函數思想、方程思想綜合分析與解決問題的能力。

三、提高高三復習課的實效性

夯實基礎知識、提升數學能力的關鍵在于培養(yǎng)數學思維品質，使學生通過經歷“數學化”的過程，提升數學素養(yǎng)。數學具有很強的抽象性、邏輯性和概括性，其特點和思維能力的強弱決定了教學質量及學習質量的高低。在高三復習課中，把學生從題海、機械模仿中解放出來，直接切入問題本質——提升學生的數學思維品質，通過不斷改進課堂教學手段與方式，提高復習課的實效性。

一般高三數學復習課可大體分成兩個階段：復習基礎知識，形成知識體系；講練典型題，鞏固所學知識與數學思想方法。如果能加上第三個階段——反饋矯正，對于學生夯實基礎、形成整體思維會很有益處，具體步驟為：出示錯解、班內交流、一題多解、一題多變。

1.自學階段，出示錯解。

疑是思之源，思是智之本。出示錯解可以激發(fā)學生的興趣，使其發(fā)揮教育主體的主觀能動性，實現由表象感知向理性認識的飛躍。經過一段時間或一個階段的復習，教師可收集典型錯題在課前發(fā)給學生，讓他們思考：這些題解法是否正確？如果有錯，錯在什么地方？產生錯誤的原因是什么？如何改正？有無其他解法？能否一題多變、類比推廣？前四個問題是幫助學生落實“雙基”，后兩個問題是促進學生思維轉化，提升數學能力。讓我們從以下例題錯解出發(fā)，作具體講解。

2.質疑階段，班內交流。

在課前準備的基礎上，每個學生都帶著思考進入課堂，但由于每個人情況不同，對概念理解層次及數學方法會有一定局限性。通過課內交流鼓勵學生充分展示思維過程，讓他們了解改變思維的方向、策略以及縮小探索范圍，教師可引導學生動手、動口、動腦，認真審題，深刻理解命題條件、結論實質及相互關系，讓學生積極思考，避免以后出現類似錯誤。結合例二，學生課前可先解決以下問題：

（1）該例題解法是否正確？

不正確。

（2）如果有錯，錯在什么地方？

（3）錯誤的原因是什么？

盡管知道用韋達定理，但是對數學語言與數學符號之間轉化的等價性（充要條件）理解不深刻。

（4）如何改正？

學生通過對以上四個問題的解答，加強了對基礎知識、基本技能的訓練，對基礎知識的理解更加深刻，消除了思維定式的影響，靈活地由一種思路轉向另一種思路。

3.指導階段，一題多解。

提升學生的數學思維品質要注意培養(yǎng)思維的廣闊性，這一階段主要是培養(yǎng)學生思考的自覺性，鼓勵他們勇于創(chuàng)新、敢于突破，大膽提出新穎見解和解題方法。經過思考，學生可以發(fā)現利用求根公式、二次函數圖象也能解開以上例題。訓練一題多解可打破思維定式，構建知識網絡，引導學生運用不同數學思想方法解決同一個問題，使思維靈動起來，體會學習數學的樂趣。

4.訓練階段，一題多變。

中學階段學習數學，學生以間接經驗為主，需在教師的引導下提升數學能力、養(yǎng)成數學品質，應將學習看成是創(chuàng)造性勞動，從中不斷體驗獲得成功的喜悅。因此，應該鼓勵學生自己發(fā)現問題、提出問題、研究問題，樹立問題意識。如，鼓勵學生從例二出發(fā)，自己給自己出題：

學生對自己出題、解題樂此不疲，有些題目解不出來，大家還會利用數形結合思想、方程思想究其原因，在解決問題的過程中，將觸角伸展到數學知識的多個領域，在知識的相互碰撞中不斷擦出智慧火花，數學思維品質的養(yǎng)成與數學能力的提升就是在“數學化”的過程中一步步實現的。

有的教師認為高三復習時間緊、任務重，舍不得拿出時間進行思維訓練，寧可將時間花在大量重復做題上。對比復習課的兩種教學方式，哪一種更具有實效性可能存在爭議，但是教師應將目光放長遠，以培養(yǎng)學生的數學學科素養(yǎng)為己任進行負責任的教學，這才是符合認知規(guī)律的教學，才是能夠取得較好教學效果的教學，才是符合高等院校選拔人才標準的教學。