嚴(yán)峰軍 吳靜 樊雪雙

摘 要：概率論的學(xué)習(xí)中有些概念學(xué)生容易與直覺(jué)相混淆，本文通過(guò)一些具體的例題說(shuō)明這些概念的區(qū)別和聯(lián)系

關(guān)鍵詞：互不相容；相互獨(dú)立；頻率；概率；不可能事件；必然事件

一、 互不相容和相互獨(dú)立

互不相容：A·B=φ

相互獨(dú)立：P（AB）=P（A）P（B）

例1：設(shè)盒中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從盒中抽球兩次，每次抽取出一球。

設(shè)：A=“第一次抽取的是黑球”，B=“第二次抽取的是黑球”

問(wèn)題：（1）若該試驗(yàn)為有放回抽取，事件A與B是否相互獨(dú)立？是否相容？

（2）若該試驗(yàn)為不放回抽取，事件A與B是否相互獨(dú)立？是否相容？

解：（1）事件A與B相互獨(dú)立，又因?yàn)槭录嗀與B可能同時(shí)發(fā)生，

所以事件A與B是相容的。

事實(shí)上由于P（A）=23，P（B/A）=P（B）=23，

∴P（AB）=P（A）P（B/A）=P（A）P（B）=49，

即事件A與B相互獨(dú)立，然而P（AB）=49，即有AB≠φ，

所以事件A與B是相容的。

（2）事件A與B不相互獨(dú)立，第一次抽取一球后必然改變盒中兩種顏色的球的組成成分，從而影響了第二次抽球，因?yàn)楹兄杏?個(gè)黑球，即使不放回抽樣，事件A與B依然可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B相容。

事實(shí)上，由于P（A）=23，P（B/A）=23，P（B）=12，

∴P（AB）=P（A）P（B/A）=49，P（A）P（B）=13。

所以事件A與B不相互獨(dú)立，此時(shí)易知AB≠φ，所以事件A與B是相容的。

兩事件相互獨(dú)立與兩事件互不相容雖是兩個(gè)不同的概念，但它們之間也有關(guān)系。

例2：證明：若P（A）>0，P（B）>0，則有

（1）當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，AB≠φ，即A與B相容。

（2）當(dāng)A·B=φ即事件A與B互不相容時(shí)，A與B不獨(dú)立。

證（1）因事件A與B相互獨(dú)立，且P（A）>0，P（B）>0，∴P（AB）=P（A）P（B）>0，故AB≠φ，即事件A與B相容。

（2）因A·B=φ，故P（AB）=P（φ）=0，而P（A），P（B）均為正數(shù)，故P（A）·P（B）也為正數(shù)，于是P（AB）≠P（A）P（B），即A與B不獨(dú)立。

由上例得到“互不相容”與“相互獨(dú)立”之間的關(guān)系

結(jié)論：當(dāng)事件A，B的概率都非零（大于零）時(shí)，若A與B相互獨(dú)立，則A與B必相容；反之，若A與B互不相容，則A與B必不相互獨(dú)立。

二、 頻率和概率

概率的統(tǒng)計(jì)性定義：在相同的條件下，獨(dú)立重復(fù)的做n次試驗(yàn)，設(shè)μ是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，若事件A的頻率fn（A）=μ/n將“穩(wěn)定”于某常數(shù)p的“附近”；且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率偏離這個(gè)常數(shù)p的可能性越來(lái)越小，則稱常數(shù)p為事件A在該條件下發(fā)生的概率，記作P（A）=p。但是，能否認(rèn)為頻率的極限就是概率呢？我們可以先做假設(shè)limn→∞μn=p，即對(duì)ε>0，某個(gè)N，當(dāng)n>Nμn-p<ε。

在拋硬幣試驗(yàn)中，事件A表示出現(xiàn)正面，p（A）=0.5，取0<ε<0.5，不論N多大，存在n>N，此時(shí)n次試驗(yàn)中每次出現(xiàn)正面是可能發(fā)生的，則μn-p=nn-0.5=0.5>ε，因此limn→∞μn=p不成立。

但我們發(fā)現(xiàn)n次試驗(yàn)中每次出現(xiàn)正面的概率為12n→0（n→∞），發(fā)生的可能性很小，幾乎為零。也就是說(shuō)對(duì)）ε，limn→∞pμn-p<ε=1成立，即頻率μn依概率收斂于概率p，這就是伯努利大數(shù)定律。

我們?cè)偻ㄟ^(guò)一個(gè)具體的例子——野生資源調(diào)查問(wèn)題，來(lái)體會(huì)一下何為頻率何為概率。池塘中有魚若干（不妨假設(shè)為n條），先撈上200條作記號(hào)，放回后再撈上200條，發(fā)現(xiàn)其中有4條帶記號(hào)，用A表示事件“任撈一條帶記號(hào)”，問(wèn)下面兩個(gè)數(shù)：200n，4200，哪個(gè)是A的頻率？哪個(gè)是A的概率？由概率的統(tǒng)計(jì)定義不難知道，前者為概率，后者是頻率。

三、 概率為零的事件不一定是不可能事件

我們知道不可能事件的概率確定為零，不可能事件可表示為A=φ，則P（A）=0。反之則不成立，概率為零的事件卻不一定為不可能事件，當(dāng)P（A）=0，不一定能得到A=φ。

例如：在幾何概率中，設(shè)

Ω=（x，y）：x2+y2≤9

A=（x，y）：x2+y2=9

Ω為圓域，而A為其中一圓周，則P（A）=A的面積Ω的面積=09π=0。顯然，A是可能發(fā)生的，即若向Ω內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，點(diǎn)落在圓周x2+y2=9上的情況是可能發(fā)生的。又如，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，有P（X=a）=0，但X=a是可能發(fā)生的，即X可以取到值a。

那么在何種情況下當(dāng)P（A）=0時(shí)，才有A=φ，其僅在樣本點(diǎn)有限或樣本點(diǎn)可數(shù)這種特殊的情況下才成立。

四、 概率為1的事件不一定是必然事件

我們知道必然事件的概率值一定等于1，即當(dāng)A=Ω時(shí)，得到P（A）=1，但反過(guò)來(lái)概率等于1的事件卻不一定是必然事件，即當(dāng)P（A）=1時(shí)，不一定能得到A=Ω。

例如：在幾何概率中，設(shè)

Ω=（x，y）：x2+y2≤4

A=（x，y）：x2+y2=1

A-=Ω-A=（x，y）：x2+y2≤4且x2+y2≠1

故：P（A-）=P（Ω）-P（A）=1-0=1

但事件A-顯然不是必然事件Ω。若向Ω內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，點(diǎn)有可能不落在A-上而落在A上。

又如，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，P（X≠a）=1，但X≠a不是必然會(huì)發(fā)生的。只是在樣本點(diǎn)有限（如古典概型）或樣本點(diǎn)可數(shù)的特殊情況下，

當(dāng)P（A）=1時(shí)，才有A=Ω。

綜上，理解數(shù)學(xué)概念是掌握定理、法則、公式和解題方法的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)要理清概念、定理、公式和法則的來(lái)龍去脈，要有針對(duì)性的弄清它們的邏輯聯(lián)系、內(nèi)涵和外延，注意歸納整理，這樣才能更加游刃有余地解決概率當(dāng)中的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

嚴(yán)峰軍，吳靜，樊雪雙，講師，陜西省西安市，西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部。