李愛忠，汪壽陽，彭月蘭

(1.山西財(cái)經(jīng)大學(xué)財(cái)政金融學(xué)院，山西 太原 030006；2.中國科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 100190)

1 引言

自1952年Markowitz發(fā)表了他的博士論文 “資產(chǎn)組合選擇的均值方差理論”以來[1]，投資組合理論得到不同深度和廣度的拓展，取得了很多研究成果。由于真實(shí)的市場(chǎng)環(huán)境中，資產(chǎn)收益具有明顯的時(shí)序變化特性，單調(diào)的靜態(tài)資產(chǎn)配置模型往往不能適應(yīng)實(shí)際組合管理的變化，從而實(shí)現(xiàn)多期均衡乃至連續(xù)時(shí)間下的動(dòng)態(tài)投資組合優(yōu)化。Merton基于總消費(fèi)期望效用最大化的原則，運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制技術(shù)，解決了經(jīng)濟(jì)個(gè)體在不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資和消費(fèi)決策問題[2]，提供了該類問題的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義和分析范式，奠定了后續(xù)研究的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。后來的研究人員在Merton模型的基礎(chǔ)上做了很多擴(kuò)展，如Cox J等在連續(xù)時(shí)間刻畫的隨機(jī)方程下給出期權(quán)定價(jià)的簡化方法[3]；Sharpe WF等提出負(fù)債約束下投資組合管理的新方法[4]；Leippold M等通過幾何方法研究基于資產(chǎn)和負(fù)債的多期均值-方差的投資組合優(yōu)化問題[5]；Chiu M C在連續(xù)時(shí)間均值-方差優(yōu)化框架下得出資產(chǎn)和負(fù)債管理的優(yōu)化方法[6]；Papi M采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化方法對(duì)資產(chǎn)和負(fù)債進(jìn)行管理與約束[7]；Deelstra G等在CIR框架下給出資產(chǎn)組合選擇的最優(yōu)投資策略[8]。這些成果不同程度上拓寬了投資組合問題的分析范式，豐富了資產(chǎn)組合選擇的研究內(nèi)容。

國內(nèi)也有大量關(guān)于資產(chǎn)組合選擇問題的研究文獻(xiàn)，特別是以隨機(jī)控制模型為基礎(chǔ)的資產(chǎn)組合選擇問題的研究層出不窮，將Bellman最優(yōu)化方法應(yīng)用于資產(chǎn)負(fù)債組合選擇的連續(xù)時(shí)間模型中，廣泛研究最優(yōu)消費(fèi)投資策略、模糊投資組合評(píng)價(jià)、資產(chǎn)定價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)問題、突發(fā)事件和參數(shù)不確定性對(duì)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合選擇的影響以及養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題等等[9,23-27]。相關(guān)研究雖然拓展了組合理論的應(yīng)用邊界，然而其模型參數(shù)的靜態(tài)假設(shè)常常不符合真實(shí)市場(chǎng)的不確定環(huán)境。事實(shí)上，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格往往隨市場(chǎng)波動(dòng)而變化，其投資組合的目標(biāo)之一就是降低這種波動(dòng)帶來的風(fēng)險(xiǎn)，在金融市場(chǎng)中選擇各種資產(chǎn)的最優(yōu)組合策略，使投資者在整個(gè)投資時(shí)期內(nèi)累積財(cái)富的期望效用達(dá)到最大化。利率作為金融市場(chǎng)上最重要的價(jià)格變量之一，其波動(dòng)性直接影響著資產(chǎn)價(jià)格、資產(chǎn)動(dòng)態(tài)管理和投資組合策略的選擇。從金融市場(chǎng)發(fā)展歷史來看，金融危機(jī)、股市崩盤等突發(fā)事件經(jīng)常會(huì)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格造成一定沖擊，由此進(jìn)一步影響資產(chǎn)組合的投資策略。在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)中，通貨膨脹是比較普遍的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，它和資本市場(chǎng)中金融資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系歷來是金融學(xué)研究的重點(diǎn)。通貨膨脹會(huì)影響資產(chǎn)價(jià)格的收益率，特別是與證券市場(chǎng)收益的關(guān)系更為直接，它通常會(huì)引起資產(chǎn)價(jià)格的重估從而導(dǎo)致投資組合的重新配置。所以，理性的資產(chǎn)組合策略在最大化收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)該考慮資產(chǎn)的收益能否彌補(bǔ)通貨膨脹帶來的損失以及利率、匯率等宏觀經(jīng)濟(jì)因素變動(dòng)造成的影響。近年來，關(guān)于隨機(jī)利率模型下的資產(chǎn)組合理論也取得一些研究成果，如應(yīng)用隨機(jī)最優(yōu)控制和HJB方程以及鞅方法對(duì)Vasicek利率模型和CIR利率模型下的組合投資問題進(jìn)行研究。但這些文獻(xiàn)僅僅研究了隨機(jī)利率環(huán)境下的證券組合投資問題[10-15]，并沒有綜合考慮通貨膨脹、隨機(jī)利率和交易成本等不完全市場(chǎng)面臨的實(shí)際情況，且這些研究大都以效用函數(shù)的分析方法為基礎(chǔ)，而實(shí)際金融市場(chǎng)中，基于效用函數(shù)的具體形式及參數(shù)由于其經(jīng)濟(jì)含義不明確且難以確定下來，限制了其在真實(shí)市場(chǎng)環(huán)境中的應(yīng)用效果。

本文將通貨膨脹、隨機(jī)利率和交易成本等因素引入金融市場(chǎng)模型中，以便更好地刻畫不完全市場(chǎng)的真實(shí)情況，并將利率假定為服從Vasicek利率模型的隨機(jī)過程，通貨膨脹和交易成本等因素的引入可為機(jī)構(gòu)投資者提供更為客觀和科學(xué)的理論指導(dǎo)。同時(shí)，充分考慮宏觀經(jīng)濟(jì)和市場(chǎng)內(nèi)在因素的影響，應(yīng)用連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)均值-方差方法得到符合實(shí)際環(huán)境下的值函數(shù)HJB方程，通過數(shù)值逼近方法求解相應(yīng)HJB方程，得到雙目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略，并用實(shí)證方法與國內(nèi)證券市場(chǎng)上同類型優(yōu)質(zhì)基金的性能和表現(xiàn)進(jìn)行對(duì)比研究，以期對(duì)投資組合問題的研究提供借鑒意義。

2 考慮通貨膨脹等因素的投資組合決策模型

2.1 模型的建立

考慮有限時(shí)域固定投資時(shí)間期為[0,T]的投資問題，各種資產(chǎn)可連續(xù)交易，假設(shè)市場(chǎng)上有無風(fēng)險(xiǎn)證券、股票和債券可供選擇，其中利率期限結(jié)構(gòu)采用Vasicek模型，其利率只受一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)的影響，設(shè)瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)利率滿足Ornstein-Uhlenbeck過程，即滿足以下隨機(jī)微分方程：

(1)

其中α,β,σt是嚴(yán)格正常數(shù)，上式表明了利率的均值回復(fù)，β是利率長期平均水平，在給定利率方程下，可推導(dǎo)出固定期零息票債券和利率的值。

根據(jù)上式，得到利率的顯式解為：

(2)

Vasicek隨機(jī)利率模型簡單好用，但其缺點(diǎn)是利率會(huì)以一個(gè)正的概率取負(fù)值。Cox、Ingersoll和Ross于1985年研究推導(dǎo)出CIR模型，運(yùn)用Merton所使用的研究方法，通過將利率的平方根引入到波動(dòng)率的函數(shù)中，當(dāng)利率增加時(shí)利率的波動(dòng)也會(huì)跟著比例增加，即將瞬時(shí)利率隨機(jī)過程的隨機(jī)項(xiàng)系數(shù)設(shè)成與瞬時(shí)利率平方根大小成正比，構(gòu)建了一個(gè)基于市場(chǎng)利率為正的模型，得出投資機(jī)會(huì)是隨機(jī)變化的結(jié)論并給出了隨機(jī)環(huán)境下利率為正的約束條件。從式(2)不難看出，若對(duì)利率方程施加約束r>β，則可避免Vasicek隨機(jī)利率取負(fù)值的情況。根據(jù)預(yù)期理論，長期債券的現(xiàn)期利率是短期債券預(yù)期利率的函數(shù)，債券期限越長，短期債券預(yù)期利率降低會(huì)使收益率曲線下降。因此，如果利率下行導(dǎo)致收益率曲線下降，利率有回歸長期平均水平的要求，此時(shí)通過Vasicek隨機(jī)利率模型得到的利率可確保為正值。不失一般性，假設(shè)在到期期限T時(shí)，零息票債券P(t,T)時(shí)刻價(jià)格為

P(t,T)=eA(t,T)+B(t,T)r

(3)

(4)

邊界條件A(T,T)=0，進(jìn)一步得P(t,T)滿足微分方程

(5)

其中λr表示風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格，也即利率受布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散溢價(jià)。無風(fēng)險(xiǎn)證券價(jià)格滿足如下微分方程：

(6)

另外風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票的價(jià)格滿足如下隨機(jī)微分方程刻畫的隨機(jī)過程：

(7)

(8)

由于投資者關(guān)注最大化財(cái)富的真實(shí)增長率，而不是名義總資產(chǎn)的增長情況，因此在考慮通貨膨脹影響下，對(duì)資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行適當(dāng)處理，以獲得實(shí)際價(jià)格。這里采用Brennan和Xia定義資產(chǎn)真實(shí)價(jià)值的方法，即通過名義資產(chǎn)價(jià)格和消費(fèi)品價(jià)格水平的可比關(guān)系對(duì)資產(chǎn)的真實(shí)價(jià)值做出評(píng)價(jià)，設(shè)πt和ψt分別表示通貨膨脹率和消費(fèi)品價(jià)格水平，二者滿足如下的擴(kuò)散過程：

(9)

令m=ψ-1代表單位貨幣的購買力，則m可以理解為貨幣價(jià)值。根據(jù)伊藤定理，m滿足如下隨機(jī)微分方程：

(10)

(11)

(12)

式中為了研究問題方便忽略協(xié)方差的影響。假設(shè)投資者是理性的風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，其最優(yōu)策略為終期

資產(chǎn)價(jià)值最大和忍受風(fēng)險(xiǎn)最小，即最大化EX(T)和最小化風(fēng)險(xiǎn)VarX(T):

(13)

其中l(wèi)i,hi為投資份額的限制，引入Lagrange乘子λ，易知上述問題等價(jià)為以下問題

(14)

該優(yōu)化問題并非標(biāo)準(zhǔn)的二次型隨機(jī)最優(yōu)控制問題，借助Zhou X Y and Li D[16]嵌入法可將類似問題轉(zhuǎn)化為易處理的輔助問題，即求解如下優(yōu)化問題的最優(yōu)策略：

(15)

(16)

(17)

2.2 值函數(shù)的數(shù)值算法

2.2.1 值函數(shù)迭代的HJB方程

根據(jù)值函數(shù)迭代的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，利用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，以值函數(shù)為中心，由貝爾曼最優(yōu)性原理可得到值函數(shù)V(x,r,π)滿足的HJB微分方程：

(18)

Kim&Omberg揭示了最優(yōu)控制方程解的特殊構(gòu)建方式[17]，值函數(shù)通常與目標(biāo)函數(shù)具有形式一致性，這里采用值函數(shù)的線性多項(xiàng)式逼近形式：

Vx=V1x+V4r+V5π+V7,Vxx=V1,

Vr=V2r+V4x+V6π+V8,

Vπ=V3π+V5x+V6r+V9,Vrr=V2,

Vππ=V3,Vxr=V4

由最優(yōu)控制問題的一階必要條件可得最優(yōu)投資策略為：

(19)

將Vx,Vxx,Vr,Vπ,Vrr,Vππ,Vxr,ω*(t)代入Bellman方程,并令其等于M即：

(20)

2.2.2 多重網(wǎng)格計(jì)算優(yōu)化法

由于值函數(shù)的迭代性和實(shí)際問題的約束比較復(fù)雜，隨機(jī)控制方程一般不存在解析解，帶條件約束的HJB方程幾乎沒有封閉解，具有遞推決策和隨機(jī)過程約束的非典型資產(chǎn)組合選擇優(yōu)化問題一般不能通過Riccati方程得到其解，這常常導(dǎo)致經(jīng)典的偏微分算法在解決實(shí)際問題時(shí)往往不能達(dá)到滿意效果[18-21]。本文根據(jù)文獻(xiàn)[22]將原問題對(duì)應(yīng)的HJB方程通過離散化的多重網(wǎng)格近似算法轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的輔助優(yōu)化問題，通過遺傳規(guī)劃等啟發(fā)式算法間接得到原問題的最優(yōu)解。具體方法為：首先用線性核函數(shù)逼近價(jià)值函數(shù)并進(jìn)行多重網(wǎng)格離散化處理；然后將最優(yōu)控制方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)化問題；最后通過遺傳規(guī)劃和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等算法求解約束優(yōu)化問題得到最優(yōu)控制。其中值函數(shù)的自變量主要考慮資產(chǎn)總值、通貨膨脹和利率等隨機(jī)變量，動(dòng)態(tài)參數(shù)為x,r,π，然后將x,r,π多重網(wǎng)格離散化處理，代入(20)形成一組向量{M1,M2,…,Mk}，通過相應(yīng)步驟處理后，最終隨機(jī)最優(yōu)控制方程轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化問題，由此可得其最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。即

(21)

上述問題是帶有隨機(jī)過程約束的非線性最優(yōu)化問題，本文使用遺傳規(guī)劃算法求解投資者相對(duì)滿意的投資策略。即在資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)漫步并滿足(21)要求的約束條件下，對(duì)于給定的初始財(cái)富，最優(yōu)投資策略是使投資者獲得期望的終端財(cái)富最大并且忍受風(fēng)險(xiǎn)最小。

3 基于支持向量機(jī)的參數(shù)校正

金融市場(chǎng)是非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng),資產(chǎn)價(jià)格與許多不確定因素有關(guān),資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)具有某種規(guī)律性，其歷史數(shù)據(jù)和成交量、換手率等信息蘊(yùn)含著預(yù)測(cè)未來股價(jià)的信息。近年來，基于機(jī)器學(xué)習(xí)等人工智能技術(shù)大量應(yīng)用于金融領(lǐng)域，進(jìn)行量化投資[28]。本文通過支持向量機(jī)預(yù)測(cè)股票價(jià)格中潛含的非線性、時(shí)變參數(shù)。支持向量機(jī)無需依賴全部數(shù)據(jù)，可以從小樣本出發(fā)，在解決高維特征分類、模式識(shí)別和回歸問題方面有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，里面包含大量的核函數(shù)，可以靈活解決非線性的回歸和分類等問題，即使樣本量不是海量數(shù)據(jù)，也有比較強(qiáng)的泛化能力，在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用背景。為了揭示金融市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的不穩(wěn)定性和復(fù)雜變化特征，解決本質(zhì)上非線性的優(yōu)化問題，本文采用基于ε-不敏感函數(shù)的非線性核映射SVM方法，根據(jù)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行指標(biāo)和金融市場(chǎng)技術(shù)指標(biāo)預(yù)測(cè)模型必備的各主要參數(shù)值。由于不可能所有樣本點(diǎn)都落在ε管道中，ε-不敏感函數(shù)的支持向量回歸機(jī)通過引入松弛變量ξi來解決噪音干擾的問題。定義ε-不敏感損失函數(shù):

L(f(x),y,ε)=

(22)

同時(shí)利用結(jié)構(gòu)化風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則構(gòu)造其最小化目標(biāo)函數(shù):

s.t.yi-w·φ(xi)-b≤ε+ξi,

(23)

目標(biāo)函數(shù)中C的大小表征訓(xùn)練誤差對(duì)于ε樣本的懲罰程度，支持向量機(jī)靈活地在模型復(fù)雜度和經(jīng)驗(yàn)誤差之間進(jìn)行折衷以便提升泛化能力。該優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換為對(duì)偶問題，通過引入拉格朗日乘子可得到所求問題的支持向量。

這里以上文提到的隨機(jī)利率模型為例，通過支持向量機(jī)給出相關(guān)參數(shù)的具體校正方法。步驟1，把方程(1)滿足的隨機(jī)微分方程離散化可得

ε～N(0,1)

(24)

當(dāng)然從方程(1)和(2)可以得到隨機(jī)利率的均值和方差，聯(lián)立它們可以獲得α,β,σt與均值、方差的顯式關(guān)系，這樣就可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或支持向量機(jī)為步驟2變相生成對(duì)應(yīng)參數(shù)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，然后混合蒙特卡洛隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)作為優(yōu)化數(shù)據(jù)輸入，為后續(xù)工作打下良好基礎(chǔ)。這些處理技術(shù)在圖像識(shí)別、自然語言處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及人工智能等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[29-30]，可以極大增強(qiáng)其預(yù)測(cè)能力。與一般統(tǒng)計(jì)方法的參數(shù)估計(jì)相比較，該方法的好處是通過支持向量機(jī)出色的函數(shù)逼近功能和預(yù)測(cè)能力來校正相應(yīng)參數(shù)。同樣地，對(duì)于通貨膨脹和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足的隨機(jī)微分方程中的參數(shù)也可采取類似方法進(jìn)行參數(shù)校正。由于通貨膨脹率是宏觀變量，可以考慮更長的時(shí)間跨度，取1978年到2017年的數(shù)據(jù)為宜；風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)據(jù)則取1995年到2017年為研究對(duì)象。另外，交易費(fèi)用由平均交易成本和沖擊成本加權(quán)合成，沖擊成本包含兩個(gè)部分：一是流動(dòng)性溢價(jià)，二是價(jià)格反向變化導(dǎo)致的高于最優(yōu)買賣報(bào)價(jià)的中值成本。

由于金融市場(chǎng)資產(chǎn)價(jià)格具有很強(qiáng)的時(shí)變特征，其收益率結(jié)構(gòu)往往不能用標(biāo)準(zhǔn)的概率分布描述，股價(jià)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更多呈現(xiàn)非線性非高斯波動(dòng)情形，用一般幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股價(jià)擴(kuò)散方程容易忽略結(jié)構(gòu)變化的問題。因此，本文采用支持向量機(jī)分段逼近、反復(fù)訓(xùn)練的方式提升目標(biāo)泛化能力，先選取指定時(shí)間段的樣本進(jìn)行擬合，然后不斷移動(dòng)滑窗塊選取另一時(shí)域的測(cè)試樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)從而估計(jì)相關(guān)參數(shù)值。本文以中債指數(shù)、滬深300和為債券和股票的參照物，選取研究時(shí)段為1995年1月3日到2015年12月22日期間數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，2015年12月23日到2017年6月23日期間數(shù)據(jù)為測(cè)試數(shù)據(jù)，其中滬深300指數(shù)2005年才上市運(yùn)行，1995到2005期間數(shù)據(jù)可由上證指數(shù)和深圳成指加權(quán)合成。通過基本面分析和技術(shù)分析相結(jié)合的方法，選取反映有投資價(jià)值的價(jià)格、流動(dòng)性、市凈率和市盈率等指標(biāo)，利用支持向量機(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而得到連續(xù)時(shí)間模型中各參數(shù)的估計(jì)值。最后，利用本文提出的投資組合模型構(gòu)造大類資產(chǎn)配置組合，并與市場(chǎng)上有代表性的指數(shù)基金相比較，以便更好反映各投資策略之間的區(qū)別，從而有效甄別出組合的最優(yōu)投資策略。

4 實(shí)證研究

4.1 參數(shù)校正

本文通過支持向量機(jī)預(yù)測(cè)的方法進(jìn)行參數(shù)校正，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以滬深300指數(shù)為參照物，相關(guān)輸入變量包括：價(jià)值指標(biāo)(收盤價(jià)、最高價(jià)、開盤價(jià)、最低價(jià))、流動(dòng)性指標(biāo)(成交量、平均換手率、成交金額)和企業(yè)基本面指標(biāo)(流通市值、市凈率、市盈率)等，輸出變量為均值和方差，然后嵌入遺傳算法，通過多次迭代得到方程中涉及收益率和波動(dòng)率的參數(shù)值。利率部分參數(shù)值則參考金融機(jī)構(gòu)人民幣二年期定期存款基準(zhǔn)利率，然后和中債指數(shù)收益率和波動(dòng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果加權(quán)合成得到參數(shù)估計(jì)值。其中突發(fā)事件可能影響到資產(chǎn)價(jià)格的驟然變化，可通過德爾菲法進(jìn)行綜合分析和調(diào)整。表1列出采用支持向量機(jī)得到各變量的最終結(jié)果。

表1 支持向量機(jī)方法得到的各參數(shù)值

4.2 連續(xù)時(shí)間投資組合的優(yōu)化結(jié)果

本文通過粒子群算法優(yōu)化支持向量機(jī)中的主要參數(shù)，粒子群優(yōu)化算法是根據(jù)飛鳥集群活動(dòng)的規(guī)律性啟發(fā)衍生出來的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，可用于解決全局最優(yōu)化問題。它模仿鳥群的捕食行為，搜尋距離食物最近的周圍區(qū)域，不斷更新個(gè)體最優(yōu)位置使整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優(yōu)解。PSO總體上采用粒子的速度決定其方向和距離，在搜索過程中，粒子通過跟蹤個(gè)體最優(yōu)Pbest和全局最優(yōu)Gbest來更新自己，通過不斷迭代和更新找到整個(gè)種群最優(yōu)解，具有較快的收斂速度。PSO用如下公式優(yōu)化粒子的速度和位置，其特征用位置、速度和適應(yīng)度三項(xiàng)指標(biāo)表示:

V′=V·α+c1r1(Pbest-P)+c2r2(Gbest-P)

P′=P+V′

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表2 數(shù)值逼近得到值函數(shù)在測(cè)試期間的各參數(shù)值

為了更清楚刻畫隨機(jī)利率和通貨膨脹對(duì)資產(chǎn)配置的影響，放寬對(duì)投資組合中資產(chǎn)配置的比例限制，加入賣空機(jī)制，考察投資者的投資組合性能和偏好的變化情況。圖1分別展示了隨機(jī)利率和通貨膨脹影響下資產(chǎn)組合的有效前沿，從圖上可以發(fā)現(xiàn)，投資組合在加入通貨膨脹和利率因素后，有效前沿進(jìn)一步向右下方移動(dòng)，即在同樣預(yù)期收益和忍受同等風(fēng)險(xiǎn)的情況下，組合收益有減小趨勢(shì)。究其原因，通貨膨脹和利率變動(dòng)會(huì)影響資產(chǎn)估值和企業(yè)融資水平，利率升高，融資成本增加，企業(yè)盈利能力下降，降低了投資者期望收益率，組合資產(chǎn)的內(nèi)在價(jià)值下降；通貨膨脹則會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)造成負(fù)面影響，通貨膨脹上升在一定程度上減緩潛在經(jīng)濟(jì)增長速度，使得資產(chǎn)價(jià)格承壓，收益率下降，尤其通脹后期，往往配套緊縮貨幣政策推動(dòng)利率上漲，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)吸引力減小，投資者出于避險(xiǎn)需求，資金配置將轉(zhuǎn)向債券和銀行市場(chǎng)。這無疑從另外角度揭示組合內(nèi)部適當(dāng)增加防通脹的對(duì)沖性資產(chǎn)可有效改善有效前沿，使其向左上方移動(dòng)，進(jìn)一步獲得更穩(wěn)定的投資收益。

圖1 考慮通脹情況和隨機(jī)利率環(huán)境下有效前沿變化示意圖

圖2顯示了通脹情況和隨機(jī)利率環(huán)境下投資組合內(nèi)各資產(chǎn)投資比例變化的情況，可以發(fā)現(xiàn)，通貨膨脹會(huì)影響投資預(yù)期，引起投資機(jī)會(huì)集的改變，導(dǎo)致投資策略隨之變化，嚴(yán)重通貨膨脹甚至?xí)魅踬Y產(chǎn)收益能力，組合為了保持收益最大而風(fēng)險(xiǎn)最小必須重新優(yōu)化資產(chǎn)配置比例，這直接導(dǎo)致不同資產(chǎn)間的投資比例隨經(jīng)濟(jì)環(huán)境呈現(xiàn)潮漲潮落的變化，為了避免通貨膨脹帶來更大損失，投資組合會(huì)適時(shí)調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸來對(duì)沖組合價(jià)值下跌的風(fēng)險(xiǎn)；同時(shí)，利率的不確定性特別是加息情況下，投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好和其有效前沿均會(huì)受到影響，導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整收益、夏普比等指標(biāo)下降，表現(xiàn)在投資策略上就會(huì)逐步增加無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸來抵御利率變動(dòng)造成的不利影響，相應(yīng)組合的資產(chǎn)配置比例將會(huì)隨時(shí)間推移而發(fā)生非線性非光滑變化。因此，實(shí)際金融市場(chǎng)中，通貨膨脹和利率變動(dòng)通常情況下都會(huì)引起投資組合中資產(chǎn)配置比例的非線性變化，有效前沿也會(huì)改變，債券與股票之間的比例必須動(dòng)態(tài)調(diào)整，簡單維持固定比例不足以保持組合總價(jià)值最優(yōu)且風(fēng)險(xiǎn)最小，這無疑擴(kuò)充了基金分離定理對(duì)有效前沿資產(chǎn)組合進(jìn)行線性組合投資的限制，投資者可以通過連續(xù)時(shí)間資產(chǎn)配置的非線性均值調(diào)整策略來近似最優(yōu)策略以保證組合總資產(chǎn)最優(yōu)。本文可為從事實(shí)際投資活動(dòng)的機(jī)構(gòu)投資者提供實(shí)實(shí)在在的策略建議，對(duì)其管理組合起到重要指導(dǎo)作用。

圖2 考慮通脹情況和隨機(jī)利率環(huán)境下債券股票投資比例變化示意圖

另外，為進(jìn)一步考察本文提出的連續(xù)時(shí)間投資組合的具體效果，特別引入有代表性的市場(chǎng)風(fēng)格指數(shù)作為比較對(duì)象，以反映不同投資組合間的差別。表3列出了連續(xù)時(shí)間投資組合和上證指數(shù)、深證成指、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)、中小板指數(shù)和中證500指數(shù)收益情況和業(yè)績對(duì)比的表現(xiàn)，其中連續(xù)時(shí)間投資組合的投資比例采用三元組的均值組合{0.6956,0.1239,0.1805}按照股票、債券和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的順序表示。從表中不難看出，2015年6月股災(zāi)發(fā)生以來市場(chǎng)長時(shí)間處于調(diào)整當(dāng)中，加之英國脫歐、美聯(lián)儲(chǔ)加息預(yù)期增強(qiáng)，市場(chǎng)跌聲一片，各指數(shù)難有好的表現(xiàn)，但采用連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)投資組合策略在組合收益、組合方差、夏普比率、信息比率、最大回撤損失以及VaR等方面都優(yōu)于市場(chǎng)上其他指數(shù)，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，連續(xù)時(shí)間的非線性資產(chǎn)配置策略可以獲得更高的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整收益，組合方差、最大回撤損失以及在險(xiǎn)價(jià)值等指標(biāo)都有所改善，策略在一定程度上表現(xiàn)出相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性。

表3 不同組合的收益情況和業(yè)績比較

5 結(jié)語

本文通過隨機(jī)控制技術(shù)、Bellman最優(yōu)性原理、HJB方程和數(shù)值逼近方法研究了通貨膨脹、隨機(jī)利率和交易成本等因素影響下的連續(xù)時(shí)間投資組合選擇的最優(yōu)化問題,利用嵌入法得到終端財(cái)富最大和其風(fēng)險(xiǎn)最小的雙目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略，用實(shí)證方法與國內(nèi)證券市場(chǎng)上代表性指數(shù)基金進(jìn)行對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)組合最優(yōu)策略很大程度上受宏觀經(jīng)濟(jì)變量如通貨膨脹和利率以及投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好和異質(zhì)信念等因素影響，資產(chǎn)配置比例并不是簡單維持固定比例就可以保持組合總價(jià)值最大和風(fēng)險(xiǎn)最小，拓展了基金分離定理。實(shí)證結(jié)論對(duì)資產(chǎn)配置及組合管理具有重要的指導(dǎo)意義，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于：

1)將通貨膨脹、隨機(jī)利率和交易成本等因素引入到連續(xù)時(shí)間投資組合模型中，使得模型更貼近實(shí)際，通過多重網(wǎng)格化的數(shù)值逼近方法和貝爾曼優(yōu)化原理得到相應(yīng)最優(yōu)控制問題的最優(yōu)策略。

2)突破效用函數(shù)的分析方法，利用嵌入法引入輔助問題解決了連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)均值-方差投資組合問題，運(yùn)用數(shù)值逼近法得到了含約束HJB方程的數(shù)值解。

3)采用基于支持向量機(jī)的非線性預(yù)測(cè)方法進(jìn)行時(shí)變參數(shù)估計(jì)，克服了資產(chǎn)價(jià)格服從正態(tài)分布以及爆發(fā)性、集聚性等非線性現(xiàn)象和大樣本要求，SVM利用核函數(shù)進(jìn)行非線性映射，更有利于揭示金融市場(chǎng)非線性和非高斯分布的本質(zhì)，比傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法更有效。

實(shí)際投資環(huán)境中，借貸利率是不同的且利率的影響因素極其復(fù)雜，投資組合的管理還會(huì)受到負(fù)債條件的限制，利率的期限結(jié)構(gòu)和其服從的隨機(jī)過程很難被明確地確定下來。因此進(jìn)一步研究有關(guān)利率模型下資產(chǎn)-負(fù)債管理問題的最優(yōu)投資策略，考慮利率服從更加復(fù)雜的利率模型且利率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)存在一般的相關(guān)性，深入研究負(fù)債情形下多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略問題仍是一個(gè)長期努力的方向，相關(guān)研究亟待進(jìn)一步深入。