何常玉， 施光林， 郭秦陽(yáng)， 王冬梅

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200240)

閥控非對(duì)稱液壓缸電液位置系統(tǒng)具有功率密度比大、剛度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，在科研和工業(yè)場(chǎng)合得到了廣泛的應(yīng)用，如：空間對(duì)接模擬系統(tǒng)、舵機(jī)操縱系統(tǒng)、汽車(chē)主動(dòng)懸掛系統(tǒng)和冶金設(shè)備等[1-4].由于受到控制閥死區(qū)特性、滯環(huán)特性、流量-壓力特性、非對(duì)稱缸正反向特性差異，外部負(fù)載擾動(dòng)以及供油壓力變化等因素的影響，電液伺服系統(tǒng)通常具有高度的非線性行為[5].同時(shí)，系統(tǒng)中的摩擦力、液壓油液的部分物理參數(shù)由于受到工作環(huán)境以及加工誤差等因素的影響，難以被精確地測(cè)量，這使得系統(tǒng)建模過(guò)程不可避免地受到未知非線性函數(shù)以及未知參數(shù)的影響[6-7].因此，有必要采用有效的自適應(yīng)方法，對(duì)被控系統(tǒng)中的不確定因素進(jìn)行有效的估計(jì)與補(bǔ)償，并設(shè)計(jì)合理的非線性控制器來(lái)提高電液位置系統(tǒng)的跟蹤精度與魯棒性能.Chen等[8]提出了一種變邊界層的滑?？刂品椒ú⒊晒?yīng)用于電液伺服位置控制系統(tǒng)；Bonchis等[9]利用變結(jié)構(gòu)方法控制一個(gè)4自由度的電液比例機(jī)械手并取得了一定的效果；Yao等[10]針對(duì)閥控對(duì)稱液壓缸系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于反步法的非線性自適應(yīng)控制策略.然而，上述控制方法依然存在以下幾個(gè)問(wèn)題：① 僅能解決系統(tǒng)中某一特定的非線性問(wèn)題[8-9]；② 在利用反步法時(shí)，通常需要對(duì)非線性控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中存在的虛擬控制器進(jìn)行偏微分計(jì)算，然而，隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加，偏微分計(jì)算通常會(huì)變得非常的復(fù)雜，即復(fù)雜爆炸，如文獻(xiàn)[11]中的式(34)～(36)，文獻(xiàn)[12]中的式(19)～(21).

基于上述的分析，本文提出了一種基于動(dòng)態(tài)面技術(shù)的自適應(yīng)魯棒控制策略.結(jié)合動(dòng)態(tài)面技術(shù)，設(shè)計(jì)并利用一階濾波器對(duì)非線性控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中的虛擬控制器進(jìn)行處理，可以有效地避免傳統(tǒng)反步法所固有的復(fù)雜爆炸問(wèn)題[13-14].魯棒控制器的引入則可以有效地抑制外負(fù)載擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響.設(shè)計(jì)基于不連續(xù)投影方法的自適應(yīng)律，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中未知參數(shù)的實(shí)時(shí)估計(jì)與補(bǔ)償.最后，利用Lyapunov方法對(duì)所提出的控制策略的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并在MATLAB/Simulink環(huán)境中搭建了仿真模型，驗(yàn)證了該算法的有效性.

1 系統(tǒng)描述與模型建立

1.1 系統(tǒng)描述

本文所研究的比例閥控非對(duì)稱液壓缸位置控制系統(tǒng)的原理如圖1所示.圖中：ps和pr分別為液壓泵站的供油壓力和回油壓力.該系統(tǒng)被用于一個(gè)足踝步態(tài)模擬器中.其中，液壓缸可以按照給定軌跡驅(qū)動(dòng)一個(gè)可移動(dòng)6自由度平臺(tái)的基座，以擴(kuò)展6自由度平臺(tái)沿步態(tài)前-后向的工作空間.最終，脛骨在步態(tài)過(guò)程中的姿態(tài)可以被液壓缸與6自由度平臺(tái)協(xié)同模擬.然而，在工作過(guò)程中，6自由度平臺(tái)的高速運(yùn)動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致液壓缸受到有規(guī)律的外負(fù)載擾動(dòng).

圖1 閥控非對(duì)稱液壓缸位置控制系統(tǒng)Fig.1 Valve-controlled asymmetric cylinder position control system

在進(jìn)行液壓系統(tǒng)建模之前，可以作出如下合理假設(shè)：

(1) 系統(tǒng)中所采用的比例方向閥為理想對(duì)稱滑閥且具有零遮蓋窗口；

(2) 比例方向閥的徑向間隙泄漏可以忽略不計(jì)；

(3) 比例方向閥的節(jié)流面積與節(jié)流閥口大小呈線性關(guān)系.

1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

由于比例方向閥與液壓缸之間的連接管道短而粗，管道中的壓力損失和管道動(dòng)態(tài)可以忽略；液壓缸油溫和體積彈性模量為常數(shù)；液壓缸內(nèi)、外泄漏均為層流流動(dòng)，液壓缸每個(gè)工作腔內(nèi)各處壓力相等.因此，液壓缸內(nèi)流量動(dòng)態(tài)方程可以表示為

(1)

式中：xc為液壓缸活塞位移；βr為液壓油的體積彈性模量；V1=V01+A1xc和V2=V02-A2xc分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔有效容積，其中V01和V02分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔初始容積；p1和p2分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔的壓力；Ci為液壓缸內(nèi)泄漏系數(shù)；Ce1和Ce2分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔外泄漏系數(shù)，考慮到密封技術(shù)的提高，外泄漏系數(shù)通?？梢员缓雎裕籷1和q2分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔流量，可以表示為

(2)

根據(jù)牛頓第二定律，液壓缸活塞上的動(dòng)力學(xué)平衡方程可以表示為

(3)

式中：m為液壓缸活塞桿上等效質(zhì)量；b為黏性摩擦系數(shù)；f(t)為足踝復(fù)合體的運(yùn)動(dòng)模擬及力加載過(guò)程所產(chǎn)生的外干擾力.

結(jié)合公式(1)～(3)，為了將系統(tǒng)表示成狀態(tài)空間形式，狀態(tài)變量可以被定義為

同時(shí)，定義參數(shù)向量

其中：θ1=1/m、θ2=b/m、θ3=βeA1、θ4=βeCi、θ5=βekq、θ6=βeA2，則狀態(tài)空間表達(dá)式可以表示為

(4)

式中：

在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)之前，需要系統(tǒng)作出如下的合理假設(shè)：

(2) 對(duì)于實(shí)際的液壓系統(tǒng)而言，顯然，不確定參數(shù)向量θ在一個(gè)已知的有界的封閉集合Ω內(nèi)：?θ∈Ω，0<θimin<θi<θimax，i=1,2,…,6，且θimin和θimax為已知常量并滿足θimin>0和θimax>0.同時(shí)外干擾項(xiàng)d有界并存在|d|≤D，D為已知正常量.

2 自適應(yīng)魯棒控制策略設(shè)計(jì)

2.1 控制器設(shè)計(jì)

本文將利用動(dòng)態(tài)面方法設(shè)計(jì)所提出的液壓系統(tǒng)的控制器，通過(guò)引入一階濾波器來(lái)避免控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中傳統(tǒng)反步法所帶來(lái)的復(fù)雜爆炸問(wèn)題.控制器的具體設(shè)計(jì)步驟為：

(1) 定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為

s1=x1-xd

(5)

則第一個(gè)虛擬控制器x2d可以被設(shè)計(jì)為

(6)

式中：k1>0為反饋增益.利用第1個(gè)一階濾波器對(duì)所設(shè)計(jì)的虛擬控制器x2d進(jìn)行處理，如：

(7)

定義第2個(gè)誤差面s2和一階濾波器公式(7)的誤差y2分別為

s2=x2-x2f;y2=x2f-x2d

(8)

將式(6)和(8)代入式(5)可得

(2) 考慮到不確定參數(shù)以及外負(fù)載擾動(dòng)的影響，一個(gè)復(fù)合虛擬控制器可以被設(shè)計(jì)為

(9)

類似地，第2個(gè)一階濾波器可以被設(shè)計(jì)為

(10)

定義第3個(gè)誤差面s3和第2個(gè)一階濾波器誤差y3為

s3=x3-x3f;y3=x3f-x3d

(11)

將式(9)代入式(8)中求導(dǎo)得

(12)

定義一個(gè)半正定李雅普諾夫方程：

(13)

則V2關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(14)

(15)

(3) 定義控制輸入信號(hào)：

(16)

式中:k3>0為魯棒控制器增益.

綜合狀態(tài)空間模型式(4)與(11)，s3關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可以表示為

(17)

定義一個(gè)半正定李雅普諾夫方程：

(18)

綜合式(17)和(18)，可得

(19)

選擇合適的us2滿足條件：

s3us2≤0

2.2 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

基于不連續(xù)投影方法參數(shù)自適應(yīng)律可以表示為

(20)

式中：Γ>0為一個(gè)對(duì)角矩陣；π為自適應(yīng)函數(shù)向量，可以被設(shè)計(jì)為

而投影映射Proj(g)可以寫(xiě)成：

(21)

那么，對(duì)于任何的自適應(yīng)函數(shù)π，可以保證：

(22)

3 穩(wěn)定性證明

當(dāng)系統(tǒng)滿足假設(shè)(4)和(5)時(shí)，在所設(shè)計(jì)的控制器作用下，所有閉環(huán)信號(hào)可以保證一致最終有界.選擇李雅普諾夫函數(shù)：

(23)

利用 YONG’S 不等式，存在：

(24)

(25)

結(jié)合式(14)、(19)、(24)和(25)，對(duì)式(23)求導(dǎo)可得

(26)

由假設(shè)(4)和(5)可以知道，存在一個(gè)滿足下列條件的參數(shù):

式中：a為任意正實(shí)數(shù).結(jié)合式(26)，可以得到

4 仿真分析

本文在MATLAB/Simulink環(huán)境中對(duì)所提出的自適應(yīng)魯棒控制策略進(jìn)行仿真分析.利用S-Function結(jié)合式(4)搭建液壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用式(6)、(9)和(16)構(gòu)建非線性控制器，同時(shí)利用式(20)對(duì)系統(tǒng)中不確定參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì).完整的控制系統(tǒng)原理如圖2所示，液壓系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.

根據(jù)表1中參數(shù)的標(biāo)稱值可以設(shè)定所設(shè)計(jì)不確定參數(shù)的初始值為：θ10=0.001 7，θ20=5.25，θ30=6.234 5×105，θ40=2×10-7，θ50=20.379 1，θ60=3.053 6×105.針對(duì)本文研究的閥控非對(duì)稱液壓缸位置控制系統(tǒng)，對(duì)不確定參數(shù)的上下限作如下規(guī)定：θ1min=0.001，θ2min=4.25，θ3min=5×105，θ4min=1.5×10-7，θ5min=18，θ6min=3×105，θ1max=0.003，θ2max=6，θ3max=7×105，θ4max=2.5×10-7，θ5max=22，θ6max=3×105.

|為了驗(yàn)證自適應(yīng)魯棒控制策略的控制效果以及論證不確定參數(shù)和外負(fù)載干擾對(duì)閥控非對(duì)稱液壓缸位置控制系統(tǒng)的影響，采用如下仿真方案：I-無(wú)負(fù)載擾動(dòng)情況下傳統(tǒng)PID控制策略與魯棒控制策略(RC)、自適應(yīng)魯棒控制策略(ARC)控制效果對(duì)比；II-存在正弦波負(fù)載f1(t)工況下傳統(tǒng)PID控制策略、魯棒控制策略(RC)與自適應(yīng)魯棒控制策略(ARC)控制效果對(duì)比.仿真實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，設(shè)定理想位移和外負(fù)載干擾分別為

圖2 閥控非對(duì)稱液壓缸位置控制系統(tǒng)控制方框圖Fig.2 Schematic diagram of valve-controlled asymmetric cylinder position control system

表1仿真參數(shù)
Tab.1Simulationparameters

參數(shù) 標(biāo)稱值參數(shù)標(biāo)稱值V01/m30.8×10-3ps/MPa9V02/m31.88×10-3m/kg600A1/m23.117×10-3k130A2/m21.527×10-3k2600βe/MPa200k30.01Ci/[m3·(s·Pa)-1]10-15k44kq1.019×10-7k51b/(kN·s·m-1)3.150×103

xd=0.2sin(0.4πt)

f1(t)=3sin(0.8πt)

0≤t≤10

設(shè)定仿真過(guò)程為固定步長(zhǎng) 0.001 s，在工況I中，系統(tǒng)跟蹤誤差如圖3所示，伺服比例閥的控制信號(hào)如圖4所示.液壓缸的運(yùn)行速度及其虛擬負(fù)載壓力分別如圖5和6所示.

由圖3可見(jiàn)，傳統(tǒng)PID控制策略作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差僅能保證在±5 mm.相比之下，仿真結(jié)果顯示魯棒控制策略作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差可以保證在 ±0.20 mm.而引人參數(shù)自適應(yīng)之后，自適應(yīng)魯棒控制策略相比于魯棒控制策略作用下的系統(tǒng)跟蹤誤差有了進(jìn)一步的提升.

圖3 3種控制策略跟蹤誤差(工況I)Fig.3 Tracking errors of three strategies for Case I

圖4 控制信號(hào)(工況I)Fig.4 Control input for Case I

圖5 運(yùn)行速度(工況I)Fig.5 Cylinder velocity for Case I

圖6 虛擬負(fù)載壓力(工況I)Fig.6 Virtual load pressure for Case I

由于液壓系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性行為，常規(guī)的PID控制方法通常難以滿足高精度軌跡追蹤要求.結(jié)合圖4可以發(fā)現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)的PID控制器，基于模型的非線性控制器RC能夠以前饋的形式將液壓系統(tǒng)的非線性因素補(bǔ)償?shù)娇刂坡芍?，從而提高液壓系統(tǒng)的跟蹤性能.但是，液壓系統(tǒng)中存在的未知的非線性參數(shù)難以被精確地測(cè)量，傳統(tǒng)的RC控制器設(shè)計(jì)過(guò)程，通常會(huì)忽略未知參數(shù)的影響，或簡(jiǎn)單地根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選取這些非線性參數(shù).而這種方式無(wú)疑會(huì)使得控制器無(wú)法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效的補(bǔ)償.相反，通過(guò)合理的設(shè)計(jì)自適應(yīng)律，ARC能夠?qū)崟r(shí)地估計(jì)這些未知參數(shù)并對(duì)控制器進(jìn)行優(yōu)化.顯然，自適應(yīng)機(jī)制的存在使得ARC控制器相比于RC控制器具有更好的控制效果.而ARC對(duì)于控制信號(hào)的優(yōu)化以及對(duì)于跟蹤精度的提升，被清晰地反映到了圖3和圖4中.

工況II的仿真結(jié)果如圖7所示.伺服比例閥的控制信號(hào)如圖8所示，液壓缸的運(yùn)行速度及其虛擬負(fù)載壓力分別如圖9和10所示.

圖7 3種控制策略跟蹤誤差(工況II)Fig.7 Tracking errors of three control strategies for Case II

圖8 控制信號(hào)(工況II)Fig.8 Control input for Case II

圖9 運(yùn)行速度(工況II)Fig.9 Cylinder velocity for Case II

圖10 虛擬負(fù)載壓力(工況II)Fig.10 Virtual load pressure for Case II

由圖7可見(jiàn)，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)施加正弦擾動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)PID控制策略作用下的系統(tǒng)跟蹤誤差達(dá)到-8 mm.而RC與ARC仍可以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在±0.5 mm范圍以內(nèi).

由于系統(tǒng)中引入了非線性擾動(dòng)之后，常規(guī)的PID控制器不能對(duì)該擾動(dòng)進(jìn)行有效的抑制，因此在原來(lái)的調(diào)節(jié)參數(shù)控制下跟蹤誤差有了進(jìn)一步的增大.結(jié)合圖8可以看出，與傳統(tǒng)的PID控制器相比，RC控制器可以將一定范圍內(nèi)的非線性擾動(dòng)以前饋的形式補(bǔ)償?shù)揭簤合到y(tǒng)的控制律中，從而能夠保證系統(tǒng)受到外負(fù)載擾動(dòng)的影響非常小，魯棒性能有了顯著的提升.在此基礎(chǔ)上，利用所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律對(duì)系統(tǒng)中存在的未知非線性參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì)，得到的未知參數(shù)曲線如圖11所示.由圖可見(jiàn)，未知非線性參數(shù)的在線估計(jì)值在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中平滑過(guò)渡，且在標(biāo)稱值附近小范圍波動(dòng).ARC控制器將在線估計(jì)得到的未知非線性參數(shù)反饋到控制器中對(duì)控制器進(jìn)行在線優(yōu)化，因此相比于RC控制器能夠達(dá)到更精確的控制效果.由圖8、9和10中的狀態(tài)量曲線對(duì)比可以看出3種控制策略的控制過(guò)程.

圖11 自適應(yīng)魯棒控制策略參數(shù)估計(jì)(工況II)Fig.11 Parameters estimation of ARC for Case II

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)具有負(fù)載擾動(dòng)和不確定參數(shù)的閥控非對(duì)稱液壓缸位置控制系統(tǒng)，在現(xiàn)有的反步法的基礎(chǔ)上，針對(duì)其固有的復(fù)雜爆炸問(wèn)題，提出了一種基于動(dòng)態(tài)面技術(shù)的自適應(yīng)魯棒控制策略.通過(guò)利用一階濾波器對(duì)非線性控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中的虛擬控制信號(hào)進(jìn)行處理，有效地降低了算法設(shè)計(jì)的復(fù)雜性；同時(shí)，設(shè)計(jì)了基于非連續(xù)投影方法的自適應(yīng)律，實(shí)現(xiàn)了液壓系統(tǒng)中未知參數(shù)的精確在線估計(jì)，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的跟蹤性能；并利用Lyapunov方法分析了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.基于MATLAB/Simulink的仿真結(jié)果表明，本文所提出的自適應(yīng)魯棒控制策略可以有效地提高系統(tǒng)的位置跟蹤精度與魯棒性能.