河南省焦作市解放區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉媛媛

“以形解數(shù)”是“數(shù)形結(jié)合”思想中的一個(gè)重要方面，在小學(xué)數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中應(yīng)用較為廣泛。在教學(xué)過(guò)程中，如果能夠適時(shí)地利用直觀的“形”來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的“數(shù)”，使抽象問(wèn)題形象化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，就能夠?yàn)閷W(xué)生消除不少學(xué)習(xí)中的困惑，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，依據(jù)學(xué)生在不同年齡階段接受能力的差別，教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中有目的、有計(jì)劃、循序漸進(jìn)地滲透“以形解數(shù)”思想和方法，充分發(fā)揮“以形解數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用，提高教育教學(xué)質(zhì)量。

一、啟蒙階段——適時(shí)滲透“以形解數(shù)”

小學(xué)低年級(jí)階段是學(xué)生認(rèn)識(shí)“以形解數(shù)”的初級(jí)階段，也是進(jìn)行“以形解數(shù)”教學(xué)的重要階段。直觀的“形”無(wú)處不在且呈現(xiàn)方式多種多樣，有水果、蔬菜、玩具和文具等各種實(shí)物；有小棒、計(jì)數(shù)器等各種學(xué)具；還有數(shù)線(xiàn)、點(diǎn)子圖等直觀模型。這些直觀的“形”在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)、比較數(shù)的大小、體會(huì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、理解有關(guān)算理等方面發(fā)揮了巨大的作用，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展。教師在這個(gè)階段要有意識(shí)地把“形”融入數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，使學(xué)生初步感知“形”的存在。

1.將“形”滲透在數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中。以數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)為例，教材為學(xué)生提供了小棒圖、計(jì)數(shù)器圖、方塊圖、數(shù)線(xiàn)等圖形作為輔助學(xué)習(xí)的工具，并在教學(xué)安排方面做了系統(tǒng)設(shè)計(jì)。例如：在一年級(jí)學(xué)習(xí)“100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，以數(shù)小棒為主鼓勵(lì)學(xué)生借助實(shí)物認(rèn)識(shí)數(shù)，同時(shí)以計(jì)數(shù)器、數(shù)線(xiàn)為輔助工具，幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)位、數(shù)的大小的理解。在二年級(jí)下冊(cè)第三單元“生活中的大數(shù)”的教學(xué)中，教材利用計(jì)數(shù)器幫助學(xué)生體會(huì)位值概念和“滿(mǎn)十進(jìn)一”的道理，借助“方塊”圖這一直觀的“形”幫助學(xué)生體會(huì)一千有多大：十“個(gè)”小正方體組成一“條”表示十；十“條”組成一“片”表示一百；十“片”組成一“塊”表示一千。這樣形象直觀地讓學(xué)生感受到了一千有多大，恰到好處地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感。

2.將“形”滲透在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中。小學(xué)階段數(shù)的運(yùn)算主要是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除以及四則混合運(yùn)算。在整數(shù)的相關(guān)運(yùn)算中，教師教學(xué)計(jì)算方法多采用點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器、數(shù)線(xiàn)等形式幫助學(xué)生理解算理。例如，在“20以?xún)?nèi)的加減法”教學(xué)中，教材引入了小棒和計(jì)數(shù)器教學(xué)。在進(jìn)行“100以?xún)?nèi)加、減法”的教學(xué)時(shí)，又多次使用了數(shù)線(xiàn)這一直觀圖形。由于數(shù)線(xiàn)中每一小格代表的數(shù)值不同，在表述較大數(shù)的加、減運(yùn)算過(guò)程時(shí)就會(huì)很方便。二年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)頸鹿與小鳥(niǎo)”一課，在探索如何計(jì)算“42÷6”時(shí)，教材除了介紹用口訣求商的方法，還呈現(xiàn)了圈點(diǎn)子圖、畫(huà)數(shù)線(xiàn)圖的思考方法（如下圖）。這樣不僅有利于學(xué)生對(duì)算理的理解，還有利于溝通除法與減法、除法與乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.將“形”滲透在理解數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中。有時(shí)候略微復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系令學(xué)生難以理解，如果能借助于“形”，數(shù)量關(guān)系一目了然。例如在解決“雞有45只，鴨的只數(shù)是雞的5倍，鵝的只數(shù)是鴨的2倍，鵝有多少只？”這樣的問(wèn)題時(shí)，就可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出條形圖幫助理解題意，理清三者之間的數(shù)量關(guān)系。雞是單倍量，畫(huà)出一個(gè)小長(zhǎng)方形表示雞的數(shù)量；再畫(huà)出表示“鴨是雞的5倍”的長(zhǎng)方形；最后畫(huà)出表示“鵝是鴨的2倍”的條形圖（如下圖）。這樣借助“形”很輕松地幫助學(xué)生理解雞、鴨、鵝之間的倍數(shù)關(guān)系，列出連乘算式解決問(wèn)題。

4.將“形”滲透在解決問(wèn)題教學(xué)中。一年級(jí)教學(xué)中有道習(xí)題“在隊(duì)伍中從前面數(shù)小華排第3，從后面數(shù)小華排第4，這條隊(duì)伍一共有多少人？”如果只看信息中的數(shù)據(jù)，學(xué)生很容易就列式3＋4＝7（人），這時(shí)教師如果引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖○○△○○○，用△表示小華，那么問(wèn)題就化難為易，學(xué)生很容易明白多算了一次小華，應(yīng)該是3＋4－1＝6（人），得出正確答案。分析問(wèn)題時(shí)采用○或△等圖形來(lái)代替實(shí)物，可以使抽象的代數(shù)知識(shí)形象化、簡(jiǎn)單化，更易于學(xué)生理解。

二、形成階段——適時(shí)揭示“以形解數(shù)”

滲透“以形解數(shù)”思想是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的基礎(chǔ)，隨著年級(jí)的逐步深入，學(xué)生積累的相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)增加了。當(dāng)“滲透”到一定程度時(shí)，教師就可以適時(shí)揭示“以形解數(shù)”這一思想方法的內(nèi)涵，使學(xué)生對(duì)這一思想有初步理解，這是學(xué)生理性認(rèn)識(shí)的開(kāi)始。在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常遇到比較典型的數(shù)學(xué)案例，對(duì)于掌握這些知識(shí)，不少學(xué)生存在著盲區(qū)，如果教師幫助學(xué)生加以分析，借助“形”來(lái)揭示其中的道理，就能使問(wèn)題迎刃而解。

案例1：在講解小數(shù)意義時(shí)，將組成小數(shù)的每一部分分解成若干個(gè)面積圖形。在操作時(shí)，讓學(xué)生把畫(huà)有100個(gè)小方格的正方形紙按照10個(gè)一條的要求剪成10條（每條表示0.1），再讓學(xué)生把其中的1條剪成10個(gè)小正方形（每個(gè)小正方形表示0.01）。兩人一組開(kāi)展活動(dòng)，一個(gè)學(xué)生說(shuō)出小數(shù)，另一個(gè)學(xué)生將圖形擺出來(lái)；也可以一個(gè)學(xué)生先將圖形擺出來(lái)，讓另一個(gè)學(xué)生說(shuō)出小數(shù)。這時(shí)教師一定要放慢節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)換的方法，感受“以形解數(shù)”思想的直觀與便捷。

案例2：在教學(xué)整數(shù)乘除法的計(jì)算方法時(shí)，采用以點(diǎn)子圖為主、示意圖為輔的教學(xué)模式。以三年級(jí)上冊(cè)“螞蟻?zhàn)霾佟币徽n為例，這節(jié)課主要探索并掌握兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的計(jì)算方法。在教學(xué)時(shí)將情景圖中的一只只螞蟻抽象成一個(gè)個(gè)的點(diǎn)，形成點(diǎn)子圖。借助點(diǎn)子圖這一直觀圖形，幫助學(xué)生更好地理解乘法豎式的計(jì)算過(guò)程和算理。（如圖）

三、應(yīng)用階段——強(qiáng)化升華“以形解數(shù)”

美國(guó)心理學(xué)家斯金納說(shuō)過(guò)：“行為之所以發(fā)生改變，是由于強(qiáng)化的作用。”學(xué)生獲取有效的學(xué)習(xí)離不開(kāi)強(qiáng)化訓(xùn)練。當(dāng)然，強(qiáng)化并不等同于機(jī)械性練習(xí)。

到了小學(xué)高年級(jí)，教師有意識(shí)地強(qiáng)化應(yīng)用“以形解數(shù)”這一思想方法，啟發(fā)學(xué)生去思考、發(fā)現(xiàn)，找出一般規(guī)律之后通過(guò)歸納、總結(jié)得到認(rèn)識(shí)升華。此時(shí)，學(xué)生不僅知道用什么“形”去解決問(wèn)題，還能在此基礎(chǔ)上逐步學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。例如一道六年級(jí)的典型習(xí)題：“一杯橙汁，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，這樣每次都喝了上次剩下的一半，六次一共喝了多少橙汁？”，此題可以直接計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64即為所求,只是計(jì)算起來(lái)頗為麻煩。這時(shí)如果啟發(fā)學(xué)生先畫(huà)一個(gè)正方形，假設(shè)這個(gè)正方形就是一杯橙汁，那么由下圖可知1-1/64即為所求，借助圖形，學(xué)生一看即知。

綜上所述，“以形解數(shù)”是一種思想方法，想把它真正地納入到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。通過(guò)采用“滲透———揭示———強(qiáng)化”三部曲的漸進(jìn)式教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生逐步感知、理解“以形解數(shù)”思想，并逐步學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用“以形解數(shù)”思想方法解決實(shí)際問(wèn)題，是我們教育科學(xué)研究的目的。