王可心，韓太林，高楊，王嘯

（長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022）

近年來，Donoho、Candès和Tao等人提出了一種全新的信號采集與處理理論——壓縮感知理論（Compressive Sensing，簡稱CS）[1-3]。該理論表明，以低于甚至遠低于奈奎斯特準則的采樣率對稀疏域中稀疏或可壓縮的信號進行隨機采樣，可精確重構原始信號。這一理論可同時對信號進行采樣和壓縮，既節(jié)約了采集系統(tǒng)的硬件資源，又降低了處理海量數(shù)據(jù)時軟件的壓力[4]。而本文所研究的沖擊波信號，頻率成分復雜，其中含有高頻分量，因此用以奈奎斯特采樣定理作為基礎理論的采集系統(tǒng)采集沖擊波信號，必須保持較高的采樣率，而持續(xù)的高采樣率產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)會給后續(xù)的數(shù)據(jù)存儲、傳輸和處理帶來巨大壓力；且沖擊波信號具有上升時間短、衰減速度快等特點，屬瞬態(tài)信號，其所含信息相對集中，即在整個采集過程中，信息密度較低，可以認為存在某稀疏域能夠?qū)_擊波信號進行稀疏表示，并應用壓縮感知理論對該信號進行測量。因此，本文引入壓縮感知理論用于沖擊波信號測試，擺脫對高采樣速率的依賴，極大地降低了高采樣率所帶來的壓力，具有現(xiàn)實意義。

壓縮感知理論的關鍵技術主要有三部分：數(shù)據(jù)稀疏化、觀測矩陣的構建和重構算法[5-6]，其中重構算法是非常重要的的一環(huán)。對于在某一稀疏域可壓縮的信號恢復重建問題的研究，國內(nèi)外已有多篇相關論文發(fā)表，目前，常用的重構算法主要有凸優(yōu)化類算法、組合優(yōu)化算法以及貪婪算法等幾類。凸優(yōu)化類算法具有良好的重建效果，但時間復雜度較大，難以處理大規(guī)模數(shù)據(jù)，實用性比較差。組合優(yōu)化類算法的運行效率特別高，但這類算法對采樣結構要求嚴格，實用性也比較差。而貪婪類算法的計算量較小，重建效果好，且這類算法比較容易實現(xiàn)，因此應用最為廣泛。

當前貪婪類算法[7]以匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）算法和正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法為代表，除此之外還衍生了許多OMP的改進算法，主要包括正則化正交匹配追蹤（Regularized OMP，ROMP）算法、分段匹配追蹤（Stagewise OMP，StOMP）算法、壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling MP，CoSaMP）算法、子空間追蹤（Subspace Pursuit，SP）[8-9]算法和稀疏度自適應匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法等。由于工程實踐中對沖擊波信號的重構效果要求較高，因此針對已知稀疏度信號的重構，本文在研究上述算法的基礎上，重點結合OMP的原子選擇思想和SP初始支撐集優(yōu)化思想提出一種改進算法，主要提高了重構算法的兩個性能：算法的重建效果與算法的執(zhí)行效率。理論分析和實驗仿真結果證明，本文算法的重建效果優(yōu)于未改進前的算法，且算法執(zhí)行效率有很大提高。

1 壓縮感知與重建算法

設原始信號x是長度為N稀疏度為K的稀疏信號，通過測量矩陣φM×N（M＜N），得到長度為M的觀測信號y，觀測方程為y=φx。當K、M及N間滿足關系（K＜＜M＜＜N）時，可精確重建原始信號x。而如何用觀測信號y重建出原始信號x是重建算法需主要解決的問題，通常采用如下方式進行求解：

因為實際情況下允許存在一定程度的誤差，求解公式（1）的最優(yōu)化問題可用簡單的近似求解形式替代，如式（2），其中ε是一個非常小的常量：

式（1）和式（2）的求解是l0范數(shù)最小化求解問題，是NP-hard問題，這類問題無法直接求解，但間接求解方法較多，其中貪婪迭代類算法因其算法結構簡單，且運算量小，應用較為廣泛。這類算法最早的求解形式是MP算法，OMP是MP算法改進后的一種情況，OMP每次迭代時僅向估計信號x?的支撐集F中增加一個原子，因而算法效率較低。后來，從提高選取原子效率的角度出發(fā)，提出了ROMP算法和StOMP算法，這兩種算法在每次迭代時根據(jù)其相關準則可向支撐集F中添加多個原子，提高了算法效率。后來回退篩選思想被引入壓縮感知理論，出現(xiàn)了SP和CoSaMP算法，這兩種算法的重構效果較好且算法復雜度低。

在實際應用中重構算法的信號重建效果與算法執(zhí)行效率的好壞是評價算法優(yōu)劣的重要指標，且工程實踐中對沖擊波信號的重構效果要求較高，針對這一情況，本文提出一種改進算法，該算法通過將OMP選擇原子思想引入SP算法，優(yōu)化SP算法初始支撐集，提高了子空間追蹤算法的重建效果和執(zhí)行效率。

2 子空間追蹤算法及其改進算法

2.1 子空間追蹤算法

MP、OMP、ROMP選擇原子時都有一個弊端：一旦選擇出原子，那么無論它是否正確，都將保留在支撐集中。這種弊端嚴重影響了算法的準確重建概率，為了解決這一問題，提出了子空間追蹤算法。子空間追蹤算法是一種可以消除錯誤原子的匹配追蹤算法，該算法需要稀疏度作為先驗信息，能夠準確地重構滿足RIP條件的信號。它的基本思想是在子空間中選擇具有最高可靠性的K個原子，計算待識別K稀疏信號與空間中選擇的原子之間的距離，然后根據(jù)其可靠性值去除并添加新的原子，直到確認一個足夠接近的候選原子集[10-11]。

假設壓縮觀測y=φx，其中y為觀測所得向量M×1，x為原信號N×1（M＜＜N），測量矩陣為φ，初始殘差值為r0=y，信號的稀疏度為K。SP算法的基本步驟為：

輸入：測量矩陣φ，觀測的信號y，被測信號的稀疏度K；

迭代：

步驟1：令k=1，找出與當前殘差最為匹配的K個原子；

步驟2：找到集合u中最大的K個值，將它們的下標存入集合I；

步驟3：更新支撐集Λk=Λk-1?I；

步驟5：殘差更新：rk=y-φΛkφy；

并結束迭代過程；否則令k=k+1，繼續(xù)迭代。

輸出：原信號的重構信號。

圖1 SP算法的算法框圖

2.2 改進的子空間追蹤算法

前文討論的SP算法，不僅對不同信號的重建效率有很大差別，在重構同一信號的背景下，選取不同初始支撐集也會對算法的重建質(zhì)量和效率造成不小差別，一個好的迭代初始支撐集對SP算法有著至關重要的作用[12]。針對SP算法的這一特點，本文提出一種預先優(yōu)化SP算法初始支撐集的算法，為方便表示，本文算法命名為Orthogonal Matching Subspace Pursuit，簡稱OMSP（以下均采用此名稱表示本文算法）。此算法采用正交匹配追蹤算法選擇原子思想，迭代K次產(chǎn)生的K個原子作為SP算法的初始支撐集，再進行原子篩選。

重構K稀疏信號時，重構算法的作用是在過完備字典中找到對應的K個原子，并將它們添加到支撐集。為了達到這一目的，OMP算法每次迭代僅選擇一個原子，并將選擇的原子添加到支撐集中，這樣K次迭代后支撐集中有K個原子，構成OMP算法的支撐集。而SP法從最開始就直接選擇出具有最高可靠性的K個原子構成初始支撐集，而后以現(xiàn)有支撐集內(nèi)原子的可靠性為參考，利用回溯選擇思想去尋找是否有可靠性更高的原子，如果有，則用新選的原子代替舊的原子；否則，這就是最后的支撐集。因此，當對重建算法的重建效果要求很高時，可應用本文提出的這種改進算法，它得到的候選支撐集比未改進前的SP算法更接近于原信號，此外該算法初始支撐集的選取引入了OMP算法原子選擇思想，可靠性非常高，比較接近于原信號，所以SP算法不需要很多次迭代去剔除錯誤原子，因此本文算法的效率相對于未改進前的SP算法也會有所提升。

本文算法的具體實現(xiàn)步驟如下：

輸入：測量矩陣φ，觀測的信號y，被測信號的稀疏度K；

初始化：x0=0，初始殘差r0=y，初始支撐集Λ0為空集；

迭代一：當k≤K時重復以下步驟：

步驟1：找出與當前的殘差r最匹配的原子，將此原子系數(shù)加入到信號支撐集j=1,2,3,…,N；

步驟2：更新索引集Λk=Λk-1?λk；

步驟5：將迭代一得到的Λk作為SP算法的初始支撐集，進入迭代二；，測量矩陣φ。

迭代二：

步驟1：令k'=1，找出與當前殘差最為匹配的K個原子；

步驟2：找到集合u中最大的K個值，將它們的下標存入集合I；

圖2 本文算法的算法框圖

3 實驗數(shù)據(jù)處理結果

將SP算法與本文算法應用在沖擊波信號采集中。為了驗證SP算法與本文算法的重構效果，分別將其在5psi、50psi兩種沖擊波實測信號上進行實驗和仿真，其中5psi傳感器測得信號疊加有明顯動態(tài)誤差干擾，會產(chǎn)生約72kHZ的震蕩，信號高頻成分較強；50psi傳感器實測信號，由于50psi傳感器動態(tài)性能較好，信號幾乎不含有動態(tài)誤差[13]。

實驗選用5psi、50psi沖擊波實測信號作為原始信號，其中稀疏方式采用小波稀疏，觀測矩陣采用高斯隨機矩陣[14]。

實驗參數(shù)配置：截取沖擊波信號的有效部分，對其進行精確截取、降頻等預處理，最后得到的每組信號長度N為4096點，稀疏度K取500，觀測點數(shù)M取2048點。

3.1 SP算法重構

SP算法作為壓縮感知重構算法：

圖3 SP算法重構5psi傳感器實測數(shù)據(jù)

圖4 SP算法重構50psi傳感器實測數(shù)據(jù)

圖3（a）為5psi傳感器實測原始信號，通過SP算法重構得到如圖3（b）所示的重建信號，重構誤差如圖3（c）所示；圖4（a）為50psi傳感器實測原始信號，通過SP算法重構得到如圖4（b）所示的重建信號，重構誤差如圖4（c）所示。

3.2 本文算法重構

本文算法作為壓縮感知重構算法如圖5、圖6所示。

圖5 本文算法重構5psi傳感器實測數(shù)據(jù)

圖6 本文算法重構50psi傳感器實測數(shù)據(jù)

圖5（a）為5psi傳感器實測原始信號，通過OMSP算法重構得到如圖5（b）所示的重建信號，重構誤差如圖5（c）所示；圖6（a）為50psi傳感器實測原始信號，通過OMSP算法重構得到如圖6（b）所示的重建信號，重構誤差如圖6（c）所示。

3.3 兩種算法重建結果對比

實驗參數(shù)配置：設置測試M序列長度為1000-4000，測量值M取 1000，1500，2000，…，4000，分別進行50次模擬實驗，取兩種算法每一組的重構誤差均值繪制曲線圖，得到的實驗結果如圖7和圖8所示。

圖7 5psi實測數(shù)據(jù)測量數(shù)M與重構誤差關系

圖8 50psi實測數(shù)據(jù)測量數(shù)M與重構誤差關系

經(jīng)過曲線圖對比可以發(fā)現(xiàn)，在兩種測試數(shù)據(jù)下SP算法與本文算法的重構誤差均隨著測量數(shù)的增加而減小；測量數(shù)M相同時，本文算法的重構誤差均小于SP算法；SP算法在M值小于2000時，重構誤差才趨于一個較小的穩(wěn)定值，而本文算法M值為選取的初始點1000時，重構誤差就已經(jīng)穩(wěn)定在了一個比較小的值。因此，在重建誤差的比較上，本文算法優(yōu)于SP算法。

3.4 兩種算法的算法效率對比

統(tǒng)計測量數(shù)M取不同值時兩種算法的運行時間，并計算算法效率的提高比率：

統(tǒng)計及計算結果如表1、2所示。

經(jīng)過上述兩表對比可以發(fā)現(xiàn)，在兩種測試數(shù)據(jù)下，M值取1000，1500，2000，…，4000時，本文算法的算法運行時間均遠小于未改進前的SP算法，約為SP的四分之一左右，經(jīng)計算得出結論：經(jīng)計算改進后的SP算法運行效率提高了70%左右。

表1 兩種算法重構5psi傳感器實測信號的算法效率對比表

表2 兩種算法重構50psi傳感器實測信號的算法效率對比表

4 結論

本文引入壓縮感知理論用于沖擊波信號測試，深入研究了壓縮感知理論的經(jīng)典重建算法—子空間追蹤算法，并提出了一種改進的子空間追蹤算法，此算法引入了正交匹配追蹤算法選擇原子的思想，經(jīng)過K次迭代選出K列原子，將此K列原子作為SP算法的初始支撐集，替換傳統(tǒng)SP算法選擇出的內(nèi)積值最大的K列構成的支撐集，將改進算法與原始算法做比較，分析改進前和改進后的優(yōu)勢和劣勢。實驗表明：算法重建誤差的比較上，本文算法優(yōu)于SP算法；算法運行效率的比較上，本文算法優(yōu)于SP算法，提高了70%左右。