夏秀云 常安成 劉一龍 田 浩

（1.湖南信息學(xué)院公共課部 長沙 410005）（2.湖南信息學(xué)院電信學(xué)院 長沙 410005）

1 引言

Fuzzy集的概念是由美國計(jì)算機(jī)與控制論專家L.A.Zadeh提出的［1～5］，主要是研究有關(guān)模糊問題以及不確定性問題的理論方法，該理論主要強(qiáng)調(diào)集合邊界的不分明性。而粗糙集理論是由波蘭數(shù)學(xué)家Z.Pawlak于1982年提出的，它的概念主要是指人們通過分類去認(rèn)識(shí)那些不能用分類精確表示的對(duì)象集［6］。模糊集和粗糙集在處理不確定和模糊問題時(shí)具有一定的相似性，因此把他們結(jié)合起來研究，得到了模糊粗糙集［7］。模糊粗糙集模型的應(yīng)用非常廣泛，近年來學(xué)者們進(jìn)行了多方面研究。比如：趙濤等［12］學(xué)者利用包含度的定義，討論了區(qū)間二型模糊粗糙集；薛占熬等［13］學(xué)者研究了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的程度粗糙直覺模糊集模型；陳俞等［14］學(xué)者從隨機(jī)抽樣出發(fā)，研究了模糊粗糙集的約簡；隨后，易濤等［15］學(xué)者基于模糊粗糙集測度研究了分層建模及應(yīng)急演練控制應(yīng)用；接著，徐飛等［16］學(xué)者從模糊矩陣的角度出發(fā)，探討了模糊理論的三個(gè)基本原理之一的表現(xiàn)原理。陳釘均等［17］學(xué)者通過函數(shù)思想討論了模糊粗糙集的擴(kuò)張?jiān)恚缓笸茝V到復(fù)合映射的擴(kuò)張?jiān)?。基于以上研究基礎(chǔ)，本文借助模糊二元關(guān)系進(jìn)行建立模糊粗糙集的廣義擴(kuò)張?jiān)恚芯科湎嚓P(guān)性質(zhì)和定理，為進(jìn)一步的研究起到鋪墊作用。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1［8］給定知識(shí)庫 K=(U'H)，其中U 為論域，H是U上的等價(jià)關(guān)系，則對(duì)于任意X?U，記：

稱-H X為X的下近似，HˉX為X的上近似。

定義 2［9～10］ 設(shè) K=(U'S)是近似空間，其中 U為論域，S為U上的等價(jià)關(guān)系簇，A為U上的一個(gè)模糊集合，則對(duì)于?x∈U和論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系H∈ind(K)，記定義A關(guān)于H的上、下近似分別為Hˉ(A)'-H(A)，它們均為論域U上的模糊子集，其隸屬函數(shù)分別對(duì)應(yīng)為

下近似的隸屬函數(shù)：

上近似的隸屬函數(shù)：

其中，[x]H為x在H下的等價(jià)類。

定義 3［10～11］ 設(shè)映射 f:X→Y ，則由得到相對(duì)應(yīng)映射，分別記為 f與 f-1：

若 f-1(y)=?，約定??=0。從而 f(A)為Y上的F模糊集，且稱

稱 Aα為Fuzzy集A的α-截集，或者稱為A的α-水平集，而稱

為 A的強(qiáng)α-截集，或稱為 A的強(qiáng)α-水平集或者α-開截集；α稱為閾值或者置信水平。

3 主要成果

定義5（廣義擴(kuò)張定理）設(shè)R∈F(X×Y)是一個(gè)二元模糊關(guān)系，由R導(dǎo)出R-1：FR(X)→FR(Y)及R-1：FR(Y)→FR(X)'定義如下：對(duì)于任意A∈FR'B∈FR，則

設(shè) f:X→Y是一映射，如下定義的二元關(guān)系Rf∈X×Y稱為由 f確定的二元模糊關(guān)系，其中Rf(x'y)=1，y=f(x)；Rf(x'y)=0，y≠f(x)。

同理，由 f:X→Y可定義 f-1:FR(Y)→FR(X)，而B∈FR，則對(duì)于?x∈X，有

注：FR(X)表示X上的全體模糊粗糙函數(shù)的集合。

定理1 設(shè) f:X→Y是一映射，R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)，則

證明：只證1）和4）。2）和3）類似可證。

1）對(duì)于任意 y∈Y，

該定理說明了基于模糊粗糙集的廣義擴(kuò)張?jiān)硎悄：植诩臄U(kuò)張?jiān)淼囊环N推廣形式。

定理 2 設(shè) R∈F(X×Y)，Ai∈FR(X)(i∈I)'Bj∈ FR(Y)(j∈ J)，則

定理4設(shè)R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)'且對(duì)于任意 y∈Y，存在x∈X使R(x'y)=1，則

定理5 設(shè)R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)'且對(duì)于任意x∈X，存在 y∈Y使R(x'y)=1，則

2）與1）同理可證。

3）對(duì) 于 任 意 x∈X ，設(shè) y0∈Y 使 得R(x'y0)=1，則

2）類似1），略。

3）對(duì)于任意 y∈Y，

4）類似3），略。

類似于定理6，給出推論1。

推論1 設(shè)R∈F(X×Y)，B∈FR(Y)，則

4 結(jié)語

擴(kuò)張?jiān)硎悄：碚摰娜齻€(gè)基本原理之一，其在模糊數(shù)學(xué)和經(jīng)典數(shù)學(xué)的聯(lián)系上起到了重要作用?；诖?，本文是對(duì)經(jīng)典擴(kuò)張?jiān)淼脑偬剿鳎岢瞿：植诩膹V義擴(kuò)張?jiān)?，研究其相關(guān)性質(zhì)和定理，為進(jìn)一步的研究起到鋪墊作用。