編譯 蔡立英

維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）因幫助開創(chuàng)量子力學領(lǐng)域并發(fā)展出“哥本哈根解釋”和測不準原理等基本理論，榮獲1932年諾貝爾物理學獎。傳聞說，他曾經(jīng)說過，如果允許他問上帝兩個問題，他會問：“為什么是量子力學？為什么是湍流？”想必，他非常確信上帝將能回答第一個問題。

關(guān)于海森堡的這段傳聞流傳甚廣但不足為憑，而且還流傳著不同的版本。不過，海森堡確實曾長達數(shù)年絞盡腦汁鉆研湍流問題。

他的論文導師阿諾德·索末菲（Arnold Sommerfeld）把湍流問題分派給海森堡研究，只是因為他覺得他的其他學生都不足以迎接這個挑戰(zhàn)，包括未來的杰出科學家沃爾夫?qū)づ堇╓olfgang Pauli）和漢斯·貝特（Hans Bethe）。海森堡雖然擁有令人生畏的數(shù)學技巧，讓他得以在量子力學研究中大膽前進，可是面對湍流問題，他卻只取得了部分和有限的成功。

大概過了將近90年后，理解和預測湍流的努力仍然具有巨大的實際重要性。湍流是影響從飛機到管道等很多技術(shù)設(shè)計的因素，而且還影響著對重要自然現(xiàn)象的預測，比如天氣。但是，長期以來，我們對湍流的大部分理解停留在特定且有限的方面，使得與流體流動非常有關(guān)的技術(shù)的長期發(fā)展傳統(tǒng)且緩慢。只要我們掌握了這種自然界無所不在的現(xiàn)象，這些與湍流相關(guān)的技術(shù)可能會在更具創(chuàng)造力的方向自由發(fā)展。

不明確的定義

湍流的定義是什么？這可能是你期待我們做出解釋的問題，表面上這似乎也是本文的主題。不幸的是，物理學家對于如何定義湍流，至今仍未達成共識。湍流這一概念既不像“見到它就知道它”這樣糟糕，但也不是物理學中最好定義的概念。

所以現(xiàn)在，我們將從一般的觀點說起，隨后再讓湍流這個概念變得更精確一點。一般的觀點認為，湍流涉及復雜、紊亂的流體運動。在物理學語境中，“流體”是指任何流動的東西，包括液體、氣體，有時甚至還指顆粒狀的物質(zhì)，比如沙子。

我們的周圍遍布流體，不過通常是不可見的。你只需在面前揮手，你就已經(jīng)產(chǎn)生了不可勝數(shù)的復雜空氣運動，即使你不能看見。流體的運動通常是感官感覺不到的，除非在光學特性不同的流體之間的分界面上。例如，你能看見在一個流動的小溪表面上有漩渦和渦流，卻看不到表面之下的水流模式。流體力學的發(fā)展史與流動可視化的實驗技術(shù)的發(fā)展史緊密相關(guān)。但是，早在現(xiàn)代流體傳感器和高速攝像技術(shù)出現(xiàn)之前，就有很多人癡迷于復雜流動模式的多樣性和豐富性。

我們倘若要把湍流視為物理學已解決的問題，我們需要能夠證明：我們能從描述流體運動的基本方程開始，然后解方程，從而詳細預測流體在任何一組特定條件下如何運動。我們不能普遍地這樣做，這正是很多物理學家認為湍流是未解之謎的核心理由。

我說“很多”是因為有些人認為湍流問題應該視為已解決的問題，至少在原理上已解決。他們的觀點是：計算湍流只不過是牛頓運動定律的應用，盡管是非常復雜的運動。我們已經(jīng)知道牛頓定律，所以其他一切不過是細節(jié)問題。自然，我是持相反意見的。俗話說“布丁好壞，一嘗便知”，而這個特別的“布丁”還沒有做出來呢。

缺乏基于經(jīng)典物理學的完整而令人滿意的湍流理論，這一點甚至表明，對湍流的圓滿解釋還需要添加一些量子力學的成分：這是一個少數(shù)派的觀點，卻不容忽視。

葛飾北齋的浮世繪作品《巨浪》

我將在本文中用“速度”來替代雷諾數(shù)（Reynold’s number）。雷諾數(shù)是速度、長度和黏度等參數(shù)的組合，這些參數(shù)真正決定流動的類型（包括我們是否應該期待湍流）。但是，如果你讓其他因子保持恒定不變，雷諾數(shù)是與流速成正比的。

為什么說湍流是一個未解之謎，其中一個例子是我們不能普遍預測有序的非湍流流體（即“層流”）轉(zhuǎn)換成湍流的速度。我們在一些特定的例子中，可以做出很好的預測（這是海森堡取得一些成功的研究問題）。但是，一般而言，我們對轉(zhuǎn)換速度的預測法則是基于實驗和工程經(jīng)驗的總結(jié)。

此圖是從層流到湍流的轉(zhuǎn)換現(xiàn)象的很好例證。它展示了熱空氣從蠟燭的火焰中升起，運用了19世紀的可視化技術(shù)讓不同密度的氣體看起來不同。這里，被蠟燭加熱的空氣密度比周圍氣體密度更小。

經(jīng)常光顧沙灘的人都會熟悉另一個湍流轉(zhuǎn)換現(xiàn)象：當輕柔流動的海浪接近海岸而“破裂”時就變得復雜和泡沫。在開闊的大海中，如果風速很大或者多個浪花合并形成更大的浪花，風吹起的海浪也會破裂。

作為另一種視覺輔助手段，日本浮世繪中有一種長達百年歷史的古老傳統(tǒng)：描繪破裂海浪的湍流。在這些浮世繪中，海浪不僅僅是風景的一部分，而且是主要的描繪對象。這些浮世繪畫家似乎主要關(guān)心的是傳達湍流現(xiàn)象的美麗和駭人的力量，而非像達·芬奇那樣，從事對自然界的系統(tǒng)研究。最著名的日本畫作，也是浮世繪這種繪畫類型的代表作之一是葛飾北齋的《巨浪》（又名《神奈川沖浪里》）。

自然界的很多現(xiàn)象描述了從平靜有序的流體到湍流的經(jīng)常突然轉(zhuǎn)換

把湍流視為未解之謎的最后一個理由是：湍流展示了時間和空間上一系列有趣的特性。湍流的大部分時空特性已經(jīng)通過測量而發(fā)現(xiàn)（不是預測），可是對于這些時空特性仍然沒有令人滿意的理論解釋。

模擬

先把支持或反對湍流是“已完成任務”的理由擱置在一邊，為什么湍流問題這么難？湍流問題曾被著名物理學家理查德·費曼稱為“經(jīng)典物理學中最重要的未解之謎”。讓我們先來看看湍流問題的歷史和研究現(xiàn)狀，然后從中找到最好的答案。

描述流體流動最常用的公式是納維-斯托克斯方程。如果你把牛頓第一運動定律F=ma（力=質(zhì)量×加速度）應用到具有簡單物質(zhì)屬性的流體時，你就會得到這個方程。這不包括彈性、記憶效應和其他復雜性的流體，當我們試圖精確建立油漆、聚合物和一些生物流體（比如血液）的模型時，就會產(chǎn)生諸如此類的復雜性（還有其他很多物質(zhì)也會違反納維-斯托克斯方程的假設(shè)）。但是對于水、空氣和其他簡單的液體和氣體，納維-斯托克斯方程是很好的近似。

納維-斯托克斯方程很難解，因為它是非線性的。非線性這個詞現(xiàn)在用得有點多，但是此處這個詞具有某些特定的意義。你可以通過把線性方程的很多簡單解加在一起，從而建立起復雜解。用你可能知道的這樣一個例子來解釋就很恰當：聲波方程是線性的，所以你可以把很多不同頻率的簡單聲音疊加在一起，從而產(chǎn)生復雜的聲音，這就是“和聲”。初等量子力學也是線性的，薛定諤方程允許你把不同的解合在一起，從而找到新的解。

但是，流體力學不是這樣的。納維-斯托克斯方程的非線性意味著：你不能通過把更簡單的解加在一起從而獲得解答。這也是海森堡憑借其數(shù)學天才創(chuàng)立量子力學，卻在面對湍流問題時受到如此嚴峻考驗的部分原因。

海森堡被迫采取各種近似和假設(shè)，才能在他的論文問題中取得進展。海森堡的一些湍流研究成果也很難證明。比如，對于海森堡的湍流算法，應用數(shù)學家弗里茨·諾特（德國杰出女數(shù)學家艾米·諾特的弟弟）提出了著名的異議，直到數(shù)十年后才最終承認海森堡的算法似乎是正確的。

（湍流的情形是如此難以破解，就連海森堡自己也說，盡管他覺得自己的方法是正確的，卻也找不到弗里茨·諾特推理中的瑕疵?。?/p>

用于描述更復雜流體的納維-斯托克斯方程的“堂兄弟”也是非線性的，比如歐拉方程作為一種簡化形式的納維-斯托克斯方程，就忽略了阻力效應。在有些情況下，線性近似確實很好用，比如以極其慢的速度流動的流體（想象一下蜂蜜從罐子中流出來），但是這種近似排除了大多數(shù)有趣的問題，包括湍流問題。

誰被計算流體力學打敗？

盡管幾乎不可能找到現(xiàn)實情況下的流體流動方程的數(shù)學解，科學仍需要對湍流進行某種預測性處理。為此，科學家和工程師在對紙筆失望時，轉(zhuǎn)向了唯一可做的選擇：計算機。這些研究群體試圖充分利用現(xiàn)代硬件，來改變數(shù)值計算最苛刻的應用之一：計算湍流。

幾乎自從首臺巨型計算機問世以來，計算這些紊亂流動的需要，既受益于數(shù)值方法和計算機硬件的進步，也是促使這兩者不斷進步的驅(qū)動力之一。這一領(lǐng)域被稱為“計算流體力學”（computational fluid dynamics），通?？s寫成CFD。

在CFD的早期歷史上，工程師和科學家運用直接的數(shù)值技術(shù)，從而試圖直接得出納維-斯托克斯方程的近似解。這涉及把空間分割成網(wǎng)格，然后計算每個網(wǎng)格點的流體變量（壓力、黏度）。流體空間尺度的大范圍頓時讓這種方法變得代價高昂：你需要找到這樣的解使流體特性在最大尺度范圍（管道的尺度是以米計，天氣的尺度是以千米計，以及小到接近分子尺度）是準確的。即便你把長度尺寸分割到很小，小到毫米或厘米，你也需要數(shù)百萬個網(wǎng)格點。

計算翼型上的氣流的可能網(wǎng)格

計算翼型上的氣流的非均勻網(wǎng)格

有一種方法是用可調(diào)節(jié)尺度的網(wǎng)格來獲得合理精度，這始于科學家意識到通常網(wǎng)格中有很大的區(qū)域是沒什么事發(fā)生的。換言之，在遠離固體或其他擾動的那些區(qū)域，流動可能在空間和時間上都變化緩慢。所有的活動都在其他地方，湍流區(qū)域通常是在物體或分界面附近。

如果我們再審視一下翼型（airfoil），設(shè)想一個均勻流（uniform flow）從左邊開始流過它，把網(wǎng)格點集中在物體附近會更有效，尤其是在前緣和后緣，而不要把網(wǎng)格點“浪費”在遠離翼型的地方。上圖顯示了模擬此問題的一種可能的網(wǎng)格布局。

這是最簡單的二維非均勻網(wǎng)格類型，只包含直線。這種最先進的非均勻網(wǎng)格被稱為“自適應網(wǎng)格細化”（AMR），在這種方法中，網(wǎng)格實際上隨著所模擬的流動而改變并與之相適應。此法把網(wǎng)格點集中在所需之處，而不是浪費在近似均勻流的區(qū)域。該領(lǐng)域的研究目標是優(yōu)化網(wǎng)格生成過程，同時最小化網(wǎng)格對解的人為影響。右圖中，美國宇航局（NASA）將該方法應用于對振動的旋翼葉片周圍氣流的模擬。顏色代表渦度，這是與角動量有關(guān)的量。

右圖展示了計算網(wǎng)格、翼型和流體解，表明了網(wǎng)格是如何與流體相適應的。網(wǎng)格點在網(wǎng)格分辨率最高的區(qū)域非常密集。盡管使用這種自適應網(wǎng)格后，計算效率得到了提高，不過類似這樣的模擬仍然是計算密集型的，這種類型的計算一般需要2 000個計算機內(nèi)核1個星期的時間。

美國懷俄明大學馬夫里皮利斯CFD實驗室的迪米特里·馬夫里皮利斯（Dimitri Mavriplis）及其同事提供了若干他們的AMR模擬視頻，視頻對于了解AMR技術(shù)是如何工作的很有用，因為它展示了計算網(wǎng)格是如何跟蹤流體特性的。

這項工作是最先進的數(shù)值技術(shù)捕捉轉(zhuǎn)換至湍流的一些物理現(xiàn)象的例子，已表示在上文蠟燭加熱空氣的圖中。

另一種充分利用有限的計算機資源的方法涉及改變運動方程，而不是改變計算網(wǎng)格；或是在改變計算網(wǎng)格的同時改變運動方程。

自從20世紀50年代末，在洛斯阿拉莫斯國家實驗室開始對納維-斯托克斯方程的第一次直接數(shù)值模擬，科學家就通過對小尺度流體的某種建模來攻關(guān)大范圍空間尺度的流體問題。換言之，實際上納維-斯托克斯方程只是能夠解決中等和大尺度的流體運動，但是，在一些臨界值以下，則用統(tǒng)計模型或其他模型替代。

科學家的觀點是：有趣的流體力學現(xiàn)象發(fā)生在更大尺度上，因此網(wǎng)格點的分布要能覆蓋到這些更大尺度的流體力學現(xiàn)象。但是，網(wǎng)格點之間發(fā)生的“次網(wǎng)格”（subgrid）運動主要是耗散能量，或是把動能轉(zhuǎn)變成熱能，所以無須追蹤細節(jié)。這種方法也稱為“大渦模擬”（LES），術(shù)語“渦”（eddy）表示某個特定長度尺度的流動特性。

盡管次網(wǎng)格建模的發(fā)展始于CFD誕生初期，如今已是一個活躍的研究領(lǐng)域。這是因為我們總是想獲取最大的計算收益。無論計算機如何強大，允許我們限制所需網(wǎng)格分辨率的高級數(shù)值技術(shù)會使我們能夠處理更加復雜的問題。

還有其他若干在計算機上對流體流動建模的方法，其中一些方法根本不用網(wǎng)格。也許，最成功的方法是稱為“光滑粒子流體動力學”（smoothed particle hydrodynamics）的技術(shù)，正如其名所示，把流體作為計算“粒子”的集合，追蹤粒子的運動無須使用網(wǎng)格。名字中的“光滑”一詞來自于粒子之間的平滑插值，該插值用于導出空間中不同點的流體特性。

運用AMR方法模擬旋翼葉片周圍的氣流

壁面流（wall-bounded flow）中的湍流轉(zhuǎn)換

理論和實驗

盡管流體力學家用計算機計算復雜流動的能力令人印象深刻，而且他們的能力還在不斷提高，科學家還在繼續(xù)尋找對湍流更好的理論理解，因為計算機只能計算特定情形下的流體解答，每次只能求解一種情形。只有運用數(shù)學，物理學家才會覺得他們獲得了對一組相關(guān)物理現(xiàn)象的總體理解。幸運的是，有一些主要的湍流理論方法，每種方法都有物理學家想要洞悉的一些有趣現(xiàn)象。

只有少量納維-斯托克斯方程的精確解是已知的，這些精確解描述了簡單的層流（當然不是任何類型的湍流）。對于管道中或兩個平板間的流體，兩個平板間邊界處的翼面流速是0，兩個平板間的中間處的翼面流速達到最大值。下圖所示的這個拋物線流體剖面解答了該方程：這是一個多世紀已經(jīng)知道的事情。管道中的層流與之類似，也是在中間處流速達到最大值。

關(guān)于這個拋物線解答和類似精確解的有趣之處是：從數(shù)學上來說，它們在任何流速下都成立，無論流速多快。但是，實驗表明，盡管這在低流速時有效，但在某個中等的“臨界”速度時，層流會被打破而變成湍流。試圖運用數(shù)學方法找到這個臨界速度，是海森堡在其學位論文中想要解決的部分問題。

理論學家運用穩(wěn)定性理論的語言來描述此處發(fā)生的事情。穩(wěn)定性理論是對納維-斯托克斯方程的精確解及其抗“微擾”能力的檢驗，微擾是加于流體上的擾動。這些擾動可能的形式是不同光滑的邊界、驅(qū)動流動的壓力變化等。

兩個平板間的流體的精確解

穩(wěn)定性理論的觀點是：當?shù)退俳獯鹪谌魏嗡俣认露加行r，那么另一個解答在接近臨界速度時也變得有效，而自然界偏愛第二個更復雜的解答。換言之，當簡單的解答變得不穩(wěn)定時，就會被第二個解答所取代。隨著速度的進一步加快，每一個解答都會讓路于另一個更復雜的解答，直到我們到達我們稱為湍流的紊流。

在現(xiàn)實世界中，這種事會總是發(fā)生，因為總是存在微擾，這也是為什么層流在日常經(jīng)驗中沒有湍流那么常見的原因。

直接觀察這些不穩(wěn)定性的實驗很精妙，因為第一次不穩(wěn)定和完全湍流開始之間的距離相當小。你可以在16頁圖中看到這樣的過程，圖中顯示了在蠟燭之上受熱的空氣柱轉(zhuǎn)換為湍流。筆直的氣流柱是不穩(wěn)定的，但是稍過片刻，波狀的擾動變得足夠大到我們能夠看見它是一個擺動。幾乎一旦出現(xiàn)擺動，不穩(wěn)定性的級聯(lián)累積起來，我們看到流動突然爆發(fā)為湍流。

常見模式的另一個例子是如上的示例，展示了在壁面受限流動中發(fā)生的典型的湍流轉(zhuǎn)換。

我們能再次看到一個對層流的近似周期性的擾動開始變大，在僅僅幾個波長之后，層流突然變成湍流。

捕捉和預測湍流轉(zhuǎn)換是對模擬和理論的持續(xù)挑戰(zhàn)，在理論方面，努力始于穩(wěn)定性理論。

在近壁流動中，湍流轉(zhuǎn)換可能會采取某種不同的形式。正如本文中舉出的其他例子，微擾被流體放大，直到流體變成紊亂的湍流。但是，湍流并不涉及整個流體，而是僅限于被平靜的層流包圍的孤立點。最終，更多的點發(fā)展、擴大并最終合并，直到整個流體變成湍流。

這些孤立點的迷人之處在于：流體不知不覺進入其中，經(jīng)歷復雜的紊亂運動，然后作為非湍流、有組織的流體在另一邊平靜出現(xiàn)。與此同時，這些點持續(xù)存在，仿佛是嵌在流體中和附在邊界上的物體。

盡管自幾乎兩個世紀前誕生以來, 一直有一流的數(shù)學家對這一方程感到困惑, 但確切的解仍然是罕見而珍貴的財產(chǎn),此方程的基本問題仍舊未得到解答。例如，我們?nèi)匀徊恢来朔匠淌欠裨谒星樾蜗露加薪狻Ｎ覀円膊淮_定此方程（代表了水和空氣的真實流動）的解答是否仍舊適當且有限，是否有一些解答會放大具有無限能量，或是否變得非物理方面的不平滑。

不管以何種方式能解開此困惑的科學家，將有整整100萬美元的大獎等著他，湍流問題是美國克萊數(shù)學研究所懸賞的千禧年七大數(shù)學難題之一。

木星北極的風暴

柱體后面的湍尾流

幸運的是，還有其他方法可以接近湍流理論，其中一些方法不依賴于關(guān)于運動方程的精確解的知識。對湍流的統(tǒng)計學研究運用納維-斯托克斯方程來推斷湍流的平均特性，而不是試圖精確地解答方程。統(tǒng)計學方法闡述如下的問題：“如果這里的流速是某個值，那么距離此處1厘米之外的流速是某個特定范圍的值的概率是多少？”此方法也回答關(guān)于這些平均量的問題，比如：試圖推動水流過管道時遇到的阻力，或是作用于機翼的升力。

這些才是工程師真正感興趣的量，至于對湍流的具體而精確的描述，對物理學家或數(shù)學家而言是“圣杯”，對于工程師而言卻沒有用處。

結(jié)果表明，研究湍流問題的統(tǒng)計學途徑面臨的最大障礙之一又是納維-斯托克斯方程的非線性項。當你運用這個方程來推導有關(guān)在一個單點的平均速度的另一個方程時，它包含了新的東西：兩點之間的速度相關(guān)性。當你導出這個速度相關(guān)的方程時，你得到一個含有另一個新項的方程：涉及三個點之間的速度相關(guān)性。這個推導過程永不結(jié)束，因為惡魔般的非線性項不斷產(chǎn)生高階相關(guān)。

通過某種方法終結(jié)或“封閉”這個方程的無限序列的需要，在湍流理論中被稱為“封閉問題”（closure problem），這仍是現(xiàn)在活躍的研究課題。簡言之，要封閉此方程，你需要跳出數(shù)學方法，訴諸物理學驅(qū)動的假設(shè)或近似。

盡管很難，一些類型的流體方程統(tǒng)計解答對于描述發(fā)展完全的湍流現(xiàn)象是必需的，這樣的湍流有一些。湍流不必只是旋流體的隨機、無特點的擴張；實際上，湍流通常比這更有趣。其中最有趣的現(xiàn)象是在猛烈而混亂的流動環(huán)境中存在持續(xù)、有組織的結(jié)構(gòu)。我們都熟悉木星上以風暴形式出現(xiàn)的壯觀景象，這些公認甚至標志性的特征會持續(xù)數(shù)年，嵌入其中的是高度紊亂的湍流。

更接地氣的例子出現(xiàn)在幾乎任何現(xiàn)實世界的湍流中。實際上，如果實驗人員想創(chuàng)造出真正均勻、沒有任何嵌入結(jié)構(gòu)的湍流，就不得不費盡周折。

在上圖的柱體后面的湍尾流以及壁面流的湍流轉(zhuǎn)換中，你可以看到類波擾動的回波，類波擾動出現(xiàn)在完全發(fā)展的湍流開始之前：這是一個周期波，甚至當流動變得紊亂時仍然持續(xù)。

當你的基本控制方程很難解答或很難模擬時，尋找更易處理的方程或模型是自然的，這樣的方程或模型仍能捕捉大多數(shù)重要物理特性。理解湍流的很多理論上的努力都是如此。

前文我們已經(jīng)提到次網(wǎng)格模型，次網(wǎng)格模型用于減少數(shù)值模擬中所需的網(wǎng)格點數(shù)量。簡化納維-斯托克斯方程的另一種方法是稱為“殼模型”（shell model）的一類模型。粗略地說，在這些模型中，采用納維-斯托克斯方程的傅里葉變換，把流體描述為大量不同波長的相互作用的波。然后，用系統(tǒng)的方式舍棄大部分波，只保留少量重要的波。然后，你可以利用計算機或最簡單的模型——手算，計算出模式互動及導致的湍流特性。但是，自然而然，在這些模型中，很多物理特性都丟失了；在完整方程不能解答的情形下，這些模型可以讓一些方面的湍流統(tǒng)計特性獲得研究。

偶爾，我們會聽說“物理學的終結(jié)”這種說法：認為我們正在接近所有重要問題會得到解答的時期，我們會得到萬物理論（theory of everything）。但是，從另一種觀點來看，像水流過管道這樣的平?，F(xiàn)象在很多方面仍未得到解決，這一事實意味著我們不可能達到這樣終點，即所有物理學家都同意的學科發(fā)展的終點。在我們周圍的日常世界中，仍然存在足夠多的謎題，使我們的物理學家一直忙碌到未來。

資料來源 arstechnica.com