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        構(gòu)造基本圖形巧解題

        2019-02-26 12:38:30周林超
        初中生世界·七年級(jí) 2019年2期
        關(guān)鍵詞:外角平行線過點(diǎn)

        周林超

        問題 如圖1,E是直線AB,CD內(nèi)部一點(diǎn),AB∥CD,連接EA,ED。

        探究猜想:

        ①若∠A=30°,∠D=60°,則∠AED等于 °;

        ②猜想圖1中∠AED,∠BAE,∠EDC的關(guān)系,并說明你的理由。

        本題是由2018年隨州市中考題改編而來,是一道從特殊角的計(jì)算,到一般結(jié)論的猜想與說理題。周老師就問題②猜想的結(jié)論∠AED=∠BAE+∠EDC的說理過程的四種解法,與同學(xué)們談?wù)剰?fù)雜問題中基本圖形的構(gòu)造。

        一、從“E”點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造平行線基本圖形

        【解法1】如圖2,過點(diǎn)E作EF∥AB,因?yàn)锳B∥CD,所以CD∥EF,得∠BAE=∠AEF,∠EDC=∠FED,所以∠AED=∠AEF+∠FED=∠BAE+∠EDC。

        【解法反思】通過作平行線,利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等,兩角分別轉(zhuǎn)化,角的關(guān)系清楚呈現(xiàn)。

        二、從“E”點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造三角形基本圖形

        【解法2】如圖3,過E作EH⊥CD,垂足為H,并反向延長(zhǎng)EH,交AB于G,由平行線性質(zhì)得∠AGH=90°,所以∠BAE+∠AEG=90°,∠EDC+∠DEH=90°,所以(∠BAE+∠EDC)+(∠AEG +∠DEH)=180°。又因?yàn)椤螦ED+(∠AEG +∠DEH)=180°,所以∠AED=∠BAE+∠EDC。(過點(diǎn)E直接作直線與AB、CD相交也可以。)

        【解法反思】從“E”出發(fā),把∠BAE,∠EDC放入兩個(gè)三角形中,利用三角形內(nèi)角和和平角的定義,結(jié)合等式的性質(zhì),代換出三角關(guān)系。

        三、從“AE”出發(fā)構(gòu)造平行線基本圖形

        【解法3】如圖4,延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F,由∠AED是△DEF的外角,得∠AED=∠EDC +∠AFD,由AB∥CD,∠BAE=∠AFD,所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

        【解法反思】延長(zhǎng)AE,既構(gòu)造了三角形的外角,又轉(zhuǎn)化了∠BAE,可見構(gòu)造平行模型十分重要。

        四、從“AD”出發(fā)構(gòu)造平行線、三角形基本圖形

        【解法4】如圖5,連接AD,由AB∥CD得∠BAD+∠ADC=180°,即(∠BAE+∠EDC)+(∠1+∠2)=180°。由△ADE內(nèi)角和為180°,得(∠1+∠2)+∠AED=180°,所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

        【解法反思】連接AD,既構(gòu)造了平行模型,又得到三角形。事實(shí)說明:解題中,只要有思路,就會(huì)有出路。只要大膽嘗試,就可能找到解決問題的途徑。

        (作者單位:江蘇省建湖縣城南實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán))

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