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        更換主元 巧解一道高考壓軸題

        2019-02-26 01:01:10任孝輝時(shí)英雄
        數(shù)理化解題研究 2019年4期
        關(guān)鍵詞:主元題設(shè)壓軸

        任孝輝 時(shí)英雄

        (安徽省合肥市第一中學(xué) 230601)

        原題再現(xiàn):(2016年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        (3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.

        當(dāng)00,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

        (2)由(1)知,f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0,

        所以當(dāng)x≠1時(shí),lnx

        (3)由題設(shè)c>1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g′(x)=c-1-cxlnc.

        當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

        所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.

        試題新解(1)(2)略.

        (3)由題設(shè)x∈(0,1),c>1,設(shè)h(c)=1+cx-x-cx=xc-cx+1-x,c>1.

        h′(c)=x-xcx-1=x(1-cx-1).∵x∈(0,1),∴x-1∈(-1,0).

        ∴函數(shù)m(c)=cx-1在(1,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),

        ∴cx-1<1x-1=1,∴1-cx-1>0.

        ∴h′(c)=x(1-cx-1)>0,h(c)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

        ∴h(c)>h(1)=x-1+1-x=0,所以當(dāng)c>1,x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx,得證.

        評注試題原解構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)g(x)=1+(c-1)x-cx,通過對其求導(dǎo)利用(2)的結(jié)論,判斷出極大值點(diǎn)x0∈(0,1),得證.新解中構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)=xc-cx+1-x,更換了主元,通過求導(dǎo)直接判斷出導(dǎo)函數(shù)大于零,證出單調(diào)性,使得問題簡化許多,進(jìn)而得證.

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