李秀元 夏志超

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 435400)

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題中，有一類是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，往往涉及到證明函數(shù)兩零點(diǎn)之和的一個(gè)不等式.通過(guò)試題分析，我們發(fā)現(xiàn)，有的不等式帶有參數(shù)，有的不帶參數(shù)，帶有參數(shù)的不等式，一般反映的是函數(shù)零點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系，即極值點(diǎn)的偏移問(wèn)題.不帶參數(shù)的不等式，由于含參函數(shù)的極值點(diǎn)可能為常數(shù)，因此也是極值點(diǎn)偏移，如果不等式中的常數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)無(wú)關(guān)，我們稱之為偽極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.下面通過(guò)例題，試圖解讀這些不等式的分類和證明方法，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

類型一：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：x1+x2<2lna.

分析依據(jù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論，得到函數(shù)的極值點(diǎn)為x=lna，因此所證不等式與極值點(diǎn)相關(guān)，揭示的是函數(shù)極值點(diǎn)偏移.

解(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)為R上的增函數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)為(-∞，lna)內(nèi)的減函數(shù)，(lna，+∞)內(nèi)的增函數(shù).

(2)①實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>e(解題過(guò)程略)；

②依據(jù)討論可知，x1

要證x1+x2<2lna，即證x1<2lna-x2.因?yàn)閤1<2lna-x2f(2lna-x2)，又f(x1)=f(x2)=0，故只需證明f(x2)>f(2lna-x2)對(duì)x2>lna成立.

∴g(x)在(lna，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

∴g(x)>g(lna)=0，即f(x)>f(2lna-x)，命題得證.

例2 (2016年全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

分析求參數(shù)a的取值范圍，根據(jù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，一般采取分離參變量，但在分離過(guò)程中，需要討論x的取值，而且，參變分離之后的新函數(shù)式更復(fù)雜，在作圖時(shí)需要界定圖形的位置.因此考慮直接對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的極值點(diǎn)為x=1，所以，所證不等式依然反映的是極值點(diǎn)的偏移問(wèn)題.

解(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

①若a=0，f(x)=(x-2)ex只有一個(gè)零點(diǎn)x=2.

③若a<0，當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)在(-∞，1]內(nèi)無(wú)零點(diǎn).下面只需考慮函數(shù)f(x)在(1，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上，a的取值范圍為(0，+∞).

(2)不妨設(shè)x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，所以

f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，即證當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0.

∵g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),

∴當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)為(1，+∞)內(nèi)的減函數(shù)，而g(1)=0，所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，命題得證.

評(píng)析同樣是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，由于兩者的極值點(diǎn)不一致，前者與參數(shù)有關(guān)，后者是常數(shù)，因此兩題的處理方式似乎不一樣.例1通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2lna-x)，證明g(x)>0對(duì)x>lna恒成立，這是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的通常做法.例2則充分利用了零點(diǎn)的含義，只需證明不含參數(shù)的f(2-x2)<0，看似巧妙消參，本質(zhì)上還是證明f(x)-f(2-x)>0.

類型二：偽極值點(diǎn)偏移

例3 已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2-ax.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：x1+x2>2.

∴g(x)為(0,1)內(nèi)的減函數(shù)，(1,+∞)內(nèi)的增函數(shù).而lna>-1，所以0

要證x1+x2>2，只需證x2>2-x1>1.

因?yàn)間(x)為(1,+∞)內(nèi)的增函數(shù)，所以只需要證g(x2)>g(2-x1)，又g(x1)=g(x2)，所以只需證g(x1)>g(2-x1)，即g(x1)-g(2-x1)>0(x1∈(0,1)).

令h(x)=g(x)-g(2-x)(0

∴h(x)為(0，1)內(nèi)的減函數(shù).

∴h(x)>h(1)=0，從而g(x1)-g(2-x1)>0，命題得證.

評(píng)析所謂偽極值點(diǎn)偏移，實(shí)質(zhì)上是借助零點(diǎn)與方程的關(guān)系，將原函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程分離參數(shù)之后，形成新函數(shù)的極值點(diǎn)偏移，參變分離后，新函數(shù)的極值點(diǎn)便與參數(shù)無(wú)關(guān).

類型三：極值點(diǎn)偏移與不等式放縮

例4 已知a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)f(x)=lnx-ax+1.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)為(0，+∞)內(nèi)的增函數(shù)；

在對(duì)例3的分析中，我們嘗試過(guò)將極值點(diǎn)偏移與不等式的放縮相結(jié)合，結(jié)果不成功.雖然不等式的化簡(jiǎn)與證明中，不含參數(shù)要比含參數(shù)簡(jiǎn)單，但是什么情況下能把兩者結(jié)合，是值得思考的，如例1中由于a>e，想通過(guò)證明x1+x2<2來(lái)實(shí)現(xiàn)x1+x2<2lna就是一個(gè)錯(cuò)誤的決策，因?yàn)楸纫粋€(gè)大于2的數(shù)小的數(shù)不一定就比2小.實(shí)際上x1+x2>2，這樣我們就在極值點(diǎn)偏移的基礎(chǔ)上，得到函數(shù)零點(diǎn)和不等式的一個(gè)加強(qiáng)：2