■呂澤晟

高考對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查主要是圍繞三種抽樣方法、樣本的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體以及線性相關(guān)性和回歸方程等展開的，凸顯數(shù)據(jù)收集處理以及運(yùn)算推理素養(yǎng)的應(yīng)用。

聚焦1：三種抽樣方法

例1某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取一個(gè)容量為n的樣本，如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個(gè)體；如果樣本容量增加1個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，求樣本容量n的值。

解：明確系統(tǒng)抽樣的間隔和分層抽樣的抽樣比是解決問題的關(guān)鍵?？傮w容量為6+12+18=36。當(dāng)樣本容量為n時(shí)，由題意知系統(tǒng)抽樣的間隔是分層抽樣的抽樣比是，所以抽取工程師人數(shù)為，技術(shù)員人數(shù)為，技工人數(shù)為，可知n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即6，12，18，24。當(dāng)樣本容量為時(shí)，總體容量是35，系統(tǒng)抽樣的間隔為，因?yàn)楸仨毷钦麛?shù)，所以n只能取6，即樣本容量n=6。

素養(yǎng)：三種抽樣在抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，三種抽樣之間又相互聯(lián)系，對(duì)抽取的樣本來說，可謂異曲同工。在抽樣時(shí)應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的特點(diǎn)和實(shí)際情況，靈活選擇抽樣方法解決問題。

聚焦2：計(jì)算樣本的數(shù)字特征

例2某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下其中分別表示甲組研發(fā)成功和失敗分別表示乙組研發(fā)成功和失敗。

若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分。試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平。

解：由研發(fā)成功與否，轉(zhuǎn)化為得分情況，求出其平均數(shù)與方差，再依據(jù)數(shù)字特征來比較兩組的研發(fā)水平。

甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均數(shù)為，易得方差

乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，0，1，1，0，

素養(yǎng)：平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小。

聚焦3：用樣本估計(jì)總體

例3從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：h）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表（如表1）和頻率分布直方圖（如圖1）。

表1

圖1

（1）從該校隨機(jī)選取1名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12h的概率。

（2）求頻率分布直方圖中a，b的值。

（3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）。

解：（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，可知100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12h的學(xué)生人數(shù)為6+2+2=10，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12h的頻率是，即從該校隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12h的概率為0.9。

（2）課外閱讀時(shí)間落在區(qū)間［4，6）上的有17人，頻率為0.17，所以

課外閱讀時(shí)間落在區(qū)間［8，10）上的有25人，頻率為0.25，所以

（3）估計(jì)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組。

素養(yǎng)：樣本數(shù)據(jù)的頻率（數(shù)）分布表和頻率分布直方圖，反映整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此可估計(jì)總體的分布情況。

聚焦4：線性相關(guān)性與線性回歸方程

例4表2提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（t）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。

表2

（1）請(qǐng)畫出表2中的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。

（2）根據(jù)表2提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程

（3）已知該廠技術(shù)改造前100 t甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤。（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

解：（1）把產(chǎn)量x作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)（xi，作出散點(diǎn)圖如圖2所示。

圖2

（2）由圖可知，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，故生產(chǎn)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x和相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y的線性相關(guān)關(guān)系顯著，所以求回歸直線方程是有意義的。

（3）當(dāng)x=100 時(shí)，70.35，所以預(yù)測生產(chǎn)100t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低90—70.35=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）。

素養(yǎng)：利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法。由部分?jǐn)?shù)據(jù)得到的回歸直線，可以對(duì)兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計(jì)，這實(shí)際上是將非確定性的相關(guān)關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成確定性的函數(shù)關(guān)系問題進(jìn)行研究的。由于回歸直線將部分觀測值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸，所以它在情報(bào)預(yù)測、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用。