劉春生,任春平,2

(1.黑龍江科技大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

載荷識別作為一類反問題，其具有病態(tài)性(不適定性)，尋求準(zhǔn)確解相對是比較困難的，在科學(xué)和工程領(lǐng)域中該類問題都具有第一類或者第二類積分方程的形式，由于系統(tǒng)條件數(shù)較大的原因，直接利用數(shù)值算法是無效的[1-2]。探究一種穩(wěn)定求解反問題方法是國內(nèi)外學(xué)者不斷探索的重要課題，許多學(xué)者做出了重要的貢獻(xiàn)，目前還沒有完全成熟的理論研究方法。

反問題的間接處理方法被諸多學(xué)者所探究，其中較為經(jīng)典的為整數(shù)階Tikhonov正則化方法。文獻(xiàn)[3]探討了截斷奇異值分解(SVD)Tikhonov正則化對沖擊載荷識別的影響。文獻(xiàn)[4]利用整數(shù)階Tikhonov 正則化與迭代算法相結(jié)合方式對結(jié)合部等效力矢量模型進(jìn)行更新，辨識出結(jié)合部等效動力學(xué)參數(shù)。文獻(xiàn)[5]采用整數(shù)階Tikhonov正則化與L曲線相結(jié)合方法，有效穩(wěn)定地實現(xiàn)多源動態(tài)載荷的重構(gòu)。文獻(xiàn)[6]研究了整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)參數(shù)對載荷識別的影響。文獻(xiàn)[7]探究了基于Green函數(shù)的整數(shù)階Tikhonov正則化與區(qū)間理論結(jié)合的載荷識別方法。文獻(xiàn)[8]結(jié)合動態(tài)規(guī)劃方法與整數(shù)階Tikhonov正則化算法對結(jié)構(gòu)動態(tài)載荷識別進(jìn)行了探討。盡管整數(shù)階Tikhonov正則化識別方法已被國內(nèi)外學(xué)者探究，并取得諸多重要成果，但在特殊工程應(yīng)用領(lǐng)域，該識別技術(shù)還沒有得到完全的應(yīng)用與推廣。

文獻(xiàn)[9-10]將離散正則化技術(shù)及其修正算法應(yīng)用到截割煤巖載荷重構(gòu)中，驗證了算法的實用性和穩(wěn)定性，但解收斂率較低。文獻(xiàn)[11]探討基于瑞利隨機(jī)分布下載荷重構(gòu)的影響，其重構(gòu)效果不夠理想。文獻(xiàn)[12]采用整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)與小波變換相結(jié)合的技術(shù)，研究了載荷識別的效果。專著[13]預(yù)測了分?jǐn)?shù)階微積分理論與正則化技術(shù)相結(jié)合的分?jǐn)?shù)階正則化技術(shù)將會是在礦山機(jī)械領(lǐng)域中載荷識別的重要研究手段。但有關(guān)分?jǐn)?shù)階正則化方法的研究報道相對較少，且工程應(yīng)用領(lǐng)域還不夠成熟和完善。

本文在以前研究工作基礎(chǔ)上，針對上述載荷識別技術(shù)在具體應(yīng)用中存在的缺陷，如系數(shù)矩陣不適定性、抗噪能力弱、正則解平滑等問題，提出一種改進(jìn)分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化方法，其方法的技術(shù)路線為將載荷在時域范圍內(nèi)表示為一系列核函數(shù)的疊加形式，系統(tǒng)的測量載荷可表達(dá)為識別載荷和核函數(shù)的卷積分，然后通過離散化方法將卷積方程變換為線性方程組，對其進(jìn)行載荷識別。利用改進(jìn)分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化方法將載荷識別過程轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題處理，目標(biāo)函數(shù)采用新超記憶梯度法進(jìn)行快速求解，最后獲得穩(wěn)定的識別解。

1 載荷識別模型

在時域范圍內(nèi)，建立系統(tǒng)的載荷識別模型，將測試載荷表示為被識別載荷和核函數(shù)的卷積分，即載荷識別模型可用Fredholm方程表達(dá)[14-15]:

通常情況下，測試載荷響應(yīng)y(t)含有一定的噪聲e(t)，其可表達(dá)為如下形式:

yδ(t)=y(t)+e(t)

據(jù)此，以下表達(dá)式可代替式(1)，即

根據(jù)矩形公式，離散化處理式(2)，其表達(dá)如下:

(3)

其中，當(dāng)k≠i時，

因此，式(3)被如下表達(dá)式代替:

AZ=Yδ(4)

式(4)揭示了被識別載荷Z與測試載荷Yδ和識別模型結(jié)構(gòu)參數(shù)A特性關(guān)系。但是，載荷識別具有病態(tài)性，直接應(yīng)用數(shù)值算法很難獲取穩(wěn)定的識別解。據(jù)此，探尋載荷識別的有效方法具有重要的研究意義，然而研究特定形式的正則化方法是直接處理該問題的有效途徑。

2 載荷識別方法

為了提高載荷識別的抗噪性及魯棒性，在以往研究工作基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法，以此減少該類反問題存在的缺陷及不足等問題。

2.1 改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化

根據(jù)奇異值分解(SVD)方法，分解式(4)中的矩陣A，其分解結(jié)果如下[16-18]:

(5)

式中，U=(u1,u2,…,un)和V=(v1,v2,…,vn)分別為由左奇異向量和右奇異向量構(gòu)成的列正交矩陣。并且∑為矩陣A的奇異值所構(gòu)造的對角矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σn),且σ1≥σ2≥…≥σn≥0。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論的思想，重點基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化理論方法[19]，給出了一種改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法，其方法的核心在于將處理載荷識別這類反問題的思想轉(zhuǎn)化為一類無約束優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)被表述為

(6)

當(dāng)分?jǐn)?shù)階次α確定時，正則參數(shù)λ可以通過差異原理進(jìn)行選取[20]。

基于上述的改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法，其濾波因子被描述為

(7)

然而整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的濾波因子，其具體表達(dá)式描述[21-22]為

(8)

式(8)濾波因子的漸進(jìn)性如下:

(σi→0)

為了分析比較3種方法，從濾波因子漸進(jìn)性及濾波因子隨奇異值變化兩方面考慮。首先，從整數(shù)階Tikhonov 正則化與分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化濾波因子的漸進(jìn)性可知，整數(shù)階Tikhonov 正則化濾波因子比分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化濾波因子收斂得快，意味著較小奇異值對應(yīng)的分量被有效濾掉了，即快的收斂速度表明識別對象具有明顯的光滑性，所以分?jǐn)?shù)階正則化優(yōu)于整數(shù)階。

雖然改進(jìn)分?jǐn)?shù)階正則化濾波因子漸進(jìn)性表達(dá)式與分?jǐn)?shù)階正則化濾波因子相同，但可通過濾波因子隨奇異值變化曲線來判別3種方法的差異，如圖1所示，對于較小奇異值，改進(jìn)分?jǐn)?shù)階濾波因子比分?jǐn)?shù)階濾波因子抑制的少，對于較大的奇異值，改進(jìn)分?jǐn)?shù)階比分?jǐn)?shù)階對應(yīng)的分量保持得多。因此，改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階正則化方法不但能夠保留較小奇異值對應(yīng)的分量，而且還能夠抑制較大奇異值對應(yīng)的分量。綜上所述，可以得出改進(jìn)分?jǐn)?shù)階正則化比分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階正則化更有效，從而減小載荷識別的病態(tài)性。

圖1 濾波因子隨奇異值變化曲線Fig.1 Variation curves of filter factor with singular value

2.2 新超記憶梯度法

式(6)被認(rèn)為是無約束優(yōu)化問題，并且可以通過使用一些優(yōu)化算法獲得的最優(yōu)解。因此，根據(jù)新超記憶梯度法來求解式(6)的無約束優(yōu)化問題。通常情況下的迭代算法求解式(6)采取以下形式[23]:

Zk+1=Zk+dkhk(9)

其中，hk為搜索方向，且新超記憶梯度法的搜索方向;

(10)

gk代表著J(Zk)在Zk點的梯度,gk=被定義如下:

(11)

dk代表步長，采用由修正的非單調(diào)線搜索來確定，令hk=βmk，mk滿足以下不等式:

(12)

算法流程如下:

步驟1:初始點υ∈(0,1),β∈(0,1),且η>0,m為給定的正整數(shù),ρ∈(0,1/m),0<ε≤1,令k=0;

步驟2:計算gk，若‖gk‖≤ε，則終止;

步驟3:根據(jù)式(10)計算搜索方向;

步驟4:根據(jù)式(12)確定步長dk;

步驟5:若滿足式(9)，則停止;如不滿足，則返回步驟1。

3 算 例

改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷識別算法應(yīng)用在鎬型截齒截割煤巖試驗載荷譜的識別中，重點在于獲取與真實載荷在精度上相匹配的識別載荷，以便為研究截割煤巖機(jī)理及載荷重構(gòu)提供理論參考和方法。

3.1 試驗系統(tǒng)

鎬型截齒截割煤巖載荷譜的測試系統(tǒng)如圖2所示。截割電動機(jī)經(jīng)減速器和轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩儀驅(qū)動截割臂旋轉(zhuǎn)，采用變頻調(diào)速方法調(diào)節(jié)截割臂轉(zhuǎn)速，截割試驗臺的進(jìn)給運動通過液壓缸實現(xiàn)，經(jīng)速度傳感器反饋，可自動和手動調(diào)速。截齒的載荷測試系統(tǒng)由測力裝置、壓力傳感器、信號放大器和Dasp v10智能數(shù)據(jù)采集和信號處理系統(tǒng)等組成。其參數(shù)如下:變頻電機(jī)額定功率為55 kW，截割裝置可模擬采煤機(jī)滾筒轉(zhuǎn)速范圍為0～48 r/min，力傳感器范圍為0～5 000 N，扭矩測量范圍為0～22 000 N·m，截割直徑范圍為1 200～2 000 mm，牽引速度為0.5～2 m/min。在旋轉(zhuǎn)截割過程中，截齒所受到的載荷，通過5個壓力傳感器的變形量轉(zhuǎn)換為電信號，經(jīng)多路滑環(huán)將信號傳入Dasp v10智能數(shù)據(jù)采集和信號處理系統(tǒng)。

圖2 試驗系統(tǒng)Fig.2 Test system

3.2 測力原理

截齒截割煤壁時所受的截割阻力通過齒套傳遞，由后端的力傳感器測出其大小，傳感器測力方向與截齒軸線一致定義為軸向載荷Fz，所測力方向與截齒軸線方向垂直定義為徑向載荷Fy，測力裝置如圖3(a)所示。

圖3 測力裝置及截齒受力Fig.3 Force measuring device and force diagram of pick

試驗測力裝置中截齒的受力狀態(tài)如圖3(b)所示，其中，Z為截割阻力，Y為推進(jìn)阻力，f為支撐結(jié)構(gòu)與截齒齒套間的摩擦阻力，β為截齒的切向安裝角，O為齒套支撐點，l1為齒尖到支撐點距離，l2為傳感器到支撐點距離。根據(jù)圖3(b)得到截齒的力平衡和力矩平衡方程。

(13)

Z=Fzsinβ+Fy[fnsinβ(1+kl)+klcosβ](14)

式中,fn為截齒齒套與支撐結(jié)構(gòu)的摩擦因數(shù)，取fn=0.1;kl為測試裝置截齒與傳感器結(jié)構(gòu)尺寸系數(shù)，kl=0.739。

實驗條件:截齒安裝角為45°，煤巖截割阻抗180 kN/m，最大切削厚度20 mm，截割臂轉(zhuǎn)速為40.8 r/min，牽引速度為0.8 m/min。測試得到的截齒軸向載荷及徑向載荷如圖4(a)和(b)所示，根據(jù)圖4(a)和(b)載荷曲線按采樣離散點由式(14)換算得到截割阻力，如圖4(c)所示。

圖4 截割載荷與截割阻力Fig.4 Cutting load and cutting resistance

在上述試驗條件下可知，換算得到截割阻力的大小盡管與軸向載荷不同，但變化趨勢類似，且徑向載荷對其變化規(guī)律影響不大，即得到截割阻力Z與軸向載荷Fz成正比關(guān)系。因此，試驗測試軸向載荷可反映截割阻力大小及變化規(guī)律，分析截割阻力特征時也可近似用測試的軸向載荷來進(jìn)行表征。

3.3 結(jié)果分析

以截割阻力為研究對象，為深入探究分?jǐn)?shù)階次對載荷識別結(jié)果的影響，以便于與整數(shù)階次進(jìn)行比較分析，給出了如下分?jǐn)?shù)階次的影響結(jié)果及方法比較分析。

3.3.1 分?jǐn)?shù)階次α的影響

應(yīng)用改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法，其參數(shù)設(shè)定如下:λ=10-2，ξ=1。而階次α分別給定為0.1，0.2，0.3，0.4,0.5，0.6,0.7，0.8，0.9。

載荷識別結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階次的增大，載荷雖然都能夠被識別出來，但識別的效果卻不盡相同。

為了進(jìn)一步地定量評價不同分?jǐn)?shù)階次對重構(gòu)效果的影響，給出其評價指標(biāo):均方根誤差(RMSE)和迭代次數(shù)。均方根誤差(RMSE)如下:

(15)

式中，Zt為實測載荷;Zd為被識別載荷。

給出RMSE及迭代次數(shù)隨分?jǐn)?shù)階次的變化值，見表1，可以看出隨著分?jǐn)?shù)階次的增大，RMSE及迭代次數(shù)值呈先減小后增大的趨勢，存在著最小RMSE和最少迭代次數(shù)值，可以判斷存在最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階次，即α=0.5，此時載荷識別效果相對理想。

圖5 不同分?jǐn)?shù)階次的重構(gòu)曲線Fig.5 Reconstruction curve of different fractional order

α=1.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9RMSE5.086 82.908 72.024 40.905 50.366 50.375 40.543 00.653 10.937 5迭代次數(shù)645543271113202530

圖6 不同識別方法比較Fig.6 Comparison of identified results under different methods

3.3.2 載荷識別方法的比較

研究的目的在于探求載荷識別的有效算法，為此進(jìn)一步對改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法與整數(shù)階Tikhonov方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法進(jìn)行對比分析，如圖6(a),(b)和(c)中分別給出了3種方法的載荷識別結(jié)果。

圖6(a)被識別截割阻力是利用整數(shù)階Tikhonov方法獲得，此時最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次α=1.0。圖6(b)被識別截割阻力是通過分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法給出的，此時最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次α=0.4。在圖6(c)中所示被識別結(jié)果是由改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法給出的，此時最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次α=0.5。

從圖6中可以看出，這3種方法都能識別截割阻力，但是，與整數(shù)階Tikhonov方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法相比，改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法能夠有效地識別截割阻力的細(xì)節(jié)。

從表2可以看到，改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法的識別效果，具有最小的均方根誤差(RMSE)和最少的迭代次數(shù)。因此，通過以上綜合分析，表明改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法的識別結(jié)果優(yōu)于階Tikhonov方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法。

表2不同識別方法比較
Table2Comparisonofdifferentidentificationmethods

評價指標(biāo)識別方法整數(shù)階Tikhonov分?jǐn)?shù)階Tikhonov改進(jìn)分?jǐn)?shù)階TikhonovRMSE0.418 20.388 40.366 5迭代次數(shù)191411

從上述算例可知，最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次為0.5。為研究所提出算法的通用性，給出了截齒安裝角在40°及50°的兩組試驗數(shù)據(jù)，在相同的最優(yōu)階次前提下，應(yīng)用提出的改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法，在給出其載荷識別狀態(tài)，如圖7所示。

圖7 40°和50°安裝角載荷識別曲線Fig.7 Load identification curves at 40 degrees and 50 degrees of installation angle

從圖7可以得到，截割載荷能夠被清晰地識別，且識別效果也相對較理想，從給出的表3可知，評價指標(biāo)均方根誤差(RMSE)較小，迭代次數(shù)也較少，表明其截割載荷細(xì)節(jié)特征能夠被清晰地辨識。因此，提出的改進(jìn)算法在識別截割載荷方面具有普遍適用性。

綜上所述的試驗驗證算例表明改進(jìn)分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化方法的特點如下:一是該方法能夠有效地解決載荷識別過程中出現(xiàn)的病態(tài)性問題。二是將載荷識別過程轉(zhuǎn)化為一類無約束的優(yōu)化問題處理，目標(biāo)函數(shù)通過新超記憶梯度法求解，進(jìn)而提高識別解收斂速率。三是該方法在時域范圍內(nèi)無需載荷識別模型的任何先驗信息。通過截割煤巖載荷識別算例，證明所提出方法具有更強(qiáng)的魯棒性及抗噪性。

表3不同安裝角度載荷識別
Table3Loadidentificationwithdifferentinstallationangles

評價指標(biāo)不同安裝角度40°50°RMSE0.507 30.396 6迭代次數(shù)1715

4 結(jié) 論

(1)給出一種改進(jìn)的載荷識別快速算法，即改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法，利用核函數(shù)方法將載荷表示為一系列核函數(shù)的疊加，測量載荷表示為識別載荷和核函數(shù)響應(yīng)之間的卷積分形式，進(jìn)而建立截割煤巖載荷的識別模型。

(2)根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論，將經(jīng)典的整數(shù)階Tikhonov正則化推廣到分?jǐn)?shù)階模式，構(gòu)造改進(jìn)分?jǐn)?shù)階濾波因子，該因子不僅能夠保留較小奇異值對應(yīng)的分量，且也能抑制較大奇異值對應(yīng)的分量，從而減小載荷識別的病態(tài)性。

(3)改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法與傳統(tǒng)整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化相比，其方法和算法中識別載荷與試驗載荷的均方根誤差(RMSE)分別為0.418 2，0.388 4，0.366 5，及迭代次數(shù)分別為19，14，11，具有較高的精度，能夠克服其解的光滑性，且載荷細(xì)節(jié)特征能夠較好被識別。

(4)隨著分?jǐn)?shù)階次α的增大，均方根誤差(RMSE)及迭代次數(shù)值呈先減小后增大的趨勢，存在著最小RMSE和最少迭代次數(shù)值，可以判斷存在最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階次，即α=0.5，此時載荷識別效果相對較為理想。