■江蘇省江陰高級中學 徐漢屏(特級教師)

在2018年各地模擬試題和高考試卷中出現了很多帶電粒子在電、磁復合場中運動的創(chuàng)新性題目。這類試題涉及的受力分析更復雜,運動分析更困難,導致很多同學遇到這樣的題目就感到膽怯,其實這類試題看似復雜難解,實則完全是有章可循,有法可依的,只要牢固掌握基礎知識,靈活運用基本規(guī)律,合理進行綜合分析,就能夠順利獲得最終結果。

一、帶電粒子在電與磁組合場中運動的創(chuàng)新題賞析

創(chuàng)新題1：(2018年高考天津卷)如圖1所示,在水平線a b的下方有一勻強電場,電場強度為E,方向豎直向下,在水平線a b的上方存在勻強磁場,磁感應強度為B,方向垂直于紙面向里。磁場中有一內、外半徑分別為R、R的半圓環(huán)形區(qū)域,外圓與水平線a b的交點分別為M、N。一質量為m、電荷量為q的帶負電粒子在電場中P點由靜止釋放,由M點進入磁場,從N點射出。不計粒子重力。

圖1

(1)求粒子從P點到M點所用的時間t。

(2)若粒子從與P點在同一水平線上的Q點水平射出,同樣能由M點進入磁場,從N點射出。粒子在從M點到N點的過程中,始終在環(huán)形區(qū)域中運動,且所用的時間最少,求粒子在Q點時速度v0的大小。

解析：(1)粒子從P點到M點在靜電力作用下做勻加速直線運動。設粒子在磁場中運動的速度大小為v,所受洛倫茲力提供向心力,則,解得設粒子在電場中運動所受靜電力為F,則F=q E。設粒子在電場中運動的加速度為a,根據牛頓第二定律得F=m a,解得a=粒子在電場中做初速度為零的勻加速直線運動,則v=a t,解得

圖2

(2)粒子進入勻強磁場后做勻速圓周運動,其周期與速度、半徑無關,運動時間只由粒子所通過的圓弧所對的圓心角的大小決定,因此當粒子的運動軌跡與內圓相切時,所用的時間最短。如圖2所示,設粒子在磁場中的運動軌跡半徑為r',由粒子從Q點射出后在電場中做類平拋運動,在電場方向上的分運動和從P點釋放后的運動情況相同,所以粒子進入磁場時沿豎直方向的分速度同樣為v,在垂直于電場方向上的分速度始終等于v0,則,解得

圖3

(2)若離子源產生的是帶電荷量為q、質量為m1和m2的同位素離子(m1＞m2),它們分別到達照相底片上的P1、P2位置(圖中未畫出),求P1、P2兩點間的距離Δx。

(3)若(2)中兩同位素離子同時進入加速電場,求它們到達照相底片上的時間差Δt。(磁場邊界與靠近磁場邊界的極板間的距離忽略不計)

(2)設離子m1,離子m2在磁場中的運動半徑分別是r1和r2,則所以照相底片上P1、P2兩點間的距離

(3)離子m1在電場中加速有在磁場中偏轉有離子m2在電場中加速有在磁場中偏轉有所以兩離子到達照相底片上的時間差Δt=(t1+t1')-(t2+t2')=

小結：創(chuàng)新題1與上述常規(guī)題均涉及電、磁復合場中的一種類型——電、磁組合場,所謂電、磁組合場是指電場和磁場分布在不同空間,兩種場組合在一起。創(chuàng)新題1是在上述常規(guī)題的基礎上,由粒子在電場中的加速并垂直穿越電場與磁場的分界面,繼而討論粒子在電場中的偏轉并斜向穿越電場與磁場的分界面,提高了考查的難度和廣度。

圖4

現學現練：(2018年高考全國Ⅰ卷)如圖4所示,在y＞0的區(qū)域存在方向沿y軸負方向的勻強電場,場強大小為E；在y＜0的區(qū)域存在方向垂直于x O y平面向外的勻強磁場。一個氕核11H和一個氘核21H先后從y軸上y=h點以相同的動能射出,速度方向沿x軸正方向。已知11H進入磁場時,速度方向與x軸正方向間的夾角為60°,并從坐標原點O處第一次射出磁場。11H的質量為m,電荷量為q,不計重力。求：

(2)磁場的磁感應強度大小。

思路點撥：本題同樣涉及帶電粒子斜向穿越電場和磁場的分界面,涉及帶電粒子在電、磁組合場中不同形式的偏轉。

二、帶電粒子在電與磁疊加場中運動的創(chuàng)新題賞析

創(chuàng)新題2：如圖6甲所示,在x O y平面的第Ⅰ象限內有沿x軸正方向的勻強電場E1,第Ⅱ、Ⅲ象限內同時存在豎直向上的勻強電場E2和垂直于紙面的勻強磁場B,已知E2=2.5N/C,磁場B隨時間t周期性變化的規(guī)律如圖6乙所示,B0=0.5T,取垂直于紙面向外為磁場正方向。一個質量m=5×10-5k g、電荷量q=2×10-4C的帶正電液滴從P點(0.6m,0.8m)以某一初速度沿x軸負方向入射,恰好以沿y軸負方向的速度v經過原點O后進入x≤0的區(qū)域,t=0時刻液滴恰好通過O點,取g=10m/s2。求：

圖6

(1)液滴到達O點時的速度大小v和電場強度大小E1。

(2)液滴從P點開始運動到第二次經過x軸經歷的時間t。

(3)若從某時刻起磁場突然消失,發(fā)現液滴恰好以與y軸正方向成37°角的方向穿過y軸后進入x＞0的區(qū)域,試確定液滴穿過y軸時的位置。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

解析：(1)在x＞0的區(qū)域內,液滴在豎直方向上做自由落體運動,由y=g t21,v=g t1,解得t1=0.4s,v=4m/s。液滴在水平方向上做勻減速運動,由m a,解得E1=1.875N/C。

圖7

(2)液滴進入x＜0的區(qū)域后,因為q E2=mg,所以液滴做勻速圓周運動,運動軌跡如圖7所示。設液滴做勻速圓周運動的大、小圓半徑分別為r1、r2,運動周期分別為T1、T2。由解得r1=2m,r2=1m。又有T1=,解得。液滴從P點開始運動到第二次經過x軸經歷的時間

(3)情形一：若磁場消失時,液滴在x軸上方,如圖8所示。由幾何關系得OM1=根據周期性可知,液滴穿過y軸時的坐標滿足解得

圖8

情形二：若磁場消失時,液滴在x軸下方,如圖9所示。由幾何關系得ON1=根據周期性可知,液滴穿過y軸時的坐標滿足sin37°),解得

圖9

如圖10甲所示,兩個完全相同的平行板電容器P Q和MN,板間距離為d,極板長度為L,極板厚度不計。將它們置于圖示方向足夠大的勻強磁場中,磁感應強度為B0,兩電容器極板的左端和右端分別對齊,兩電容器極板所加電壓值相同。一質量為m、電荷量為+q、重力不計的粒子從極板P、Q間的中軸線O1O2左邊緣的O1點,以速度v0沿O1O2勻速穿過電容器P Q,經過磁場偏轉后沿極板M、N的中軸線O3O4做勻速直線運動,又經過磁場偏轉回到O1點,如此循環(huán)往復。不計電容器之外的電場對粒子運動的影響。求：

(1)兩電容器極板間所加電壓的數值U。

(2)Q板和M板間的距離x。

(3)粒子從O1點開始運動到再次回到O1點所用的時間。

(4)若撤去電容器上所加的電壓,將原磁場換成按圖10乙規(guī)律變化的磁場,取垂直于紙面向里為磁場的正方向。粒子仍從O1點沿O1O2在t=0時刻以速度v0進入電容器P Q,在t0時刻恰好從P板右邊緣水平射出(t0為未知量),則B1為多少?

圖10

提示：(1)由題意知粒子受到的靜電力與洛倫茲力平衡,則q E=q v0B0,又有解得U=v0d B0。

小結：創(chuàng)新題2與上述常規(guī)題均涉及電、磁復合場中的另一種類型——電、磁疊加場,且磁場做周期性變化。所謂電、磁組合場是指電場和磁場分布在同一空間,兩種場疊加在一起。創(chuàng)新題2在電、磁疊加場的右上方又組合了一個勻強電場,帶電液滴先經電場偏轉后才進入電、磁組合場,另外還需討論撤去磁場后液滴穿越y(tǒng)軸的多種情況,陡然增加了問題的復雜性。

現學現練：如圖11甲所示,豎直面MN的左側空間中存在豎直向上的勻強電場(上、下及左側無邊界)。一個質量為m、電荷量為q、可視為質點的帶正電小球,以水平初速度v0沿直線P Q向右做直線運動。若小球剛經過D點時(t=0),在電場所在空間疊加如圖11乙所示隨時間周期性變化、垂直于紙面向里的勻強磁場,使得小球再次通過D點時與直線P Q成60°角。已知D、Q兩點間的距離為(+1)L,t0小于小球在磁場中做圓周運動的周期,忽略磁場變化造成的影響,重力加速度為g,求：

圖11

(1)電場強度E的大小。

(2)t0與t1的比值。

(3)小球過D點后將做周期性運動,則當小球運動的周期最大時,求出此時的磁感應強度B0的大小及最大周期Tmax。

思路點撥：本題同樣涉及帶電物體在電、磁疊加場中的運動,磁場也在做周期性變化。

(1)由平衡條件得mg=q E,解得

(2)小球能再次通過D點,其運動軌跡如圖12所示,設圓O1的半徑為r,則s=v0t1,由幾何關系得解得t1=設小球做勻速圓周運動的周期為T,則

圖12

(3)當小球運動的周期最大時,其運動軌跡應與豎直面MN相切,小球一個周期的運動軌跡如圖13所示,由幾何關系得R+解得R=L。由牛頓第二定律得解得小球在一個周期內運動的路程因此

圖13