■江蘇省六合高級(jí)中學(xué) 傅明峰

在與電場(chǎng)相關(guān)的高考試題中,經(jīng)常出現(xiàn)要求求解電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)或電場(chǎng)強(qiáng)度的問(wèn)題。這類問(wèn)題雖然是常見(jiàn)的,但往往會(huì)因?yàn)樵O(shè)置的情景較新,所要求解的問(wèn)題距離給出的信息較大,而使不少同學(xué)在解答時(shí)感到茫然。下面我們介紹一種方法,簡(jiǎn)稱“等分法”。這種方法通過(guò)捕捉信息和幾何作圖,先找出電場(chǎng)中關(guān)鍵點(diǎn)的電勢(shì),再確定等勢(shì)線或等勢(shì)面,最后根據(jù)電場(chǎng)線垂直于等勢(shì)面的特點(diǎn),以及電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)差的關(guān)系來(lái)求解。

例題(2017·全國(guó)Ⅲ卷)一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于x O y平面,平面內(nèi)a、b、c三點(diǎn)的位置如圖1所示,三點(diǎn)的電勢(shì)分別為10V、17V、26V。下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖1

A.電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為2.5V/cm

B.坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為1V

C.電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的低7e V

D.電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn),靜電力做功為9e V

審題：在勻強(qiáng)電場(chǎng)中將某一線段等分的同時(shí)就將該線段兩端的電勢(shì)差等分。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,因?yàn)殡妶?chǎng)線平行且均勻分布,所以等勢(shì)線平行且均勻分布。以上兩點(diǎn)是解決此類問(wèn)題的“金鑰匙”。

解析：由題意知φa=10V,φb=17V,φc=26V,則a b連線與O c連線交點(diǎn)的電勢(shì)滿足,故φO=φa+φb-φc=1V,選項(xiàng)B正確。從a點(diǎn)到b點(diǎn)移動(dòng)電子,靜電力做功W=-e Ua b=7e V,靜電力做正功,電勢(shì)能減小,故電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的高7e V,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。從b點(diǎn)到c點(diǎn)移動(dòng)電子,靜電力做功W'=-e Ub c=9e V,選項(xiàng)D正確。如圖2所示,過(guò)b點(diǎn)作b d垂直于O c,由幾何關(guān)系得xc d=故解得d點(diǎn)的電勢(shì)φd=17V,即b d為等勢(shì)線,從而得電場(chǎng)線沿c O方向,電場(chǎng)強(qiáng)度2.5V/cm,選項(xiàng)A正確。

答案：A B D

圖2

(1)等分法的兩個(gè)有用的推論：①在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,沿任意一條直線電勢(shì)降落都是均勻的；②在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,相互平行且相等的線段兩端點(diǎn)的電勢(shì)差相等。

(2)運(yùn)用等分法解題的步驟：①確定所給點(diǎn)中電勢(shì)最高點(diǎn)和最低點(diǎn),用直線連接；②根據(jù)第三點(diǎn)的電勢(shì)值,將①中的直線平分為等距離的n段；③找到直線上與第三點(diǎn)電勢(shì)相同的第四點(diǎn),連接第三和第四點(diǎn)所得直線即為等勢(shì)線；④作出垂直于等勢(shì)線的直線,并根據(jù)電勢(shì)降落的方向在新作的直線上加上箭頭,畫(huà)出電場(chǎng)線,再根據(jù)E=求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

1.運(yùn)用等分法確定勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向和場(chǎng)強(qiáng)E。

變式1：A、B、C是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的三個(gè)點(diǎn),各點(diǎn)電勢(shì)分別為φA=10V、φB=2V、φC=6V,A、B、C三點(diǎn)在同一平面上。如圖3所示的四幅關(guān)于A、B、C三點(diǎn)的位置及電場(chǎng)強(qiáng)度的方向表示正確的是( )。

圖3

審題：在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等,方向處處相同,則電場(chǎng)線是平行且等間距的,電勢(shì)沿著電場(chǎng)線逐漸降低,電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直。

解析：根據(jù)φA=10V、φB=2V、φC=6V可知,AB連線的中點(diǎn)M的電勢(shì)為6V,因此M點(diǎn)與C點(diǎn)的連線為等勢(shì)面,與MC連線垂直的線即為電場(chǎng)線。又因?yàn)殡妱?shì)沿著電場(chǎng)線逐漸降低,所以D圖正確。

答案：D

變式2：A、B、C是勻強(qiáng)電場(chǎng)中平行于電場(chǎng)線的某一平面上的三個(gè)點(diǎn),各點(diǎn)的電勢(shì)分別為φA=5V,φB=2V,φC=3V,H、F三等分A B連線,G為A C連線的中點(diǎn)。如圖4所示的四幅示意圖中,能正確表示電場(chǎng)強(qiáng)度方向的是( )。

圖4

審題：根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)、電場(chǎng)線、等勢(shì)線和電場(chǎng)強(qiáng)度的特點(diǎn),在A B連線上找出電勢(shì)與C點(diǎn)電勢(shì)相等的點(diǎn),即可得到一條等勢(shì)線,進(jìn)而可以作出電場(chǎng)線。

解析：把A B連線三等分,因?yàn)閁A B=3V,所以每等份兩端的電勢(shì)差為1V,即φH=4V,φF=3V,則直線F C為等勢(shì)線,電場(chǎng)線應(yīng)垂直于F C,且從電勢(shì)高處指向電勢(shì)低處,C圖正確。把AC連線兩等分,因?yàn)閁AC=2V,所以每等份兩端的電勢(shì)差為1V,即φG=4V,則直線GH為等勢(shì)線,電場(chǎng)線應(yīng)垂直于HG,且從電勢(shì)高處指向電勢(shì)低處,B圖正確。

答案：B C

變式3：如圖5所示,勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xOy坐標(biāo)系平面,坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為2V,a點(diǎn)的坐標(biāo)為(0cm,4cm),電勢(shì)為8V,b點(diǎn)的坐標(biāo)為(3cm,0cm),電勢(shì)為8V,則電場(chǎng)強(qiáng)度大小為( )。

圖5

A.250V/m

B.200V/m

C.150V/m

D.120V/m

審題：根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知,a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)相等,先運(yùn)用幾何關(guān)系求出O點(diǎn)到a b連線的距離,再由勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系U=E d,即可得出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

解析：由題意可知,a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)相等,則a b連線為一條等勢(shì)線,又有O點(diǎn)電勢(shì)為2V,則勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于a b連線指向左下方。過(guò)O點(diǎn)作a b連線的垂線交a b于c點(diǎn),如圖6所示,由幾何關(guān)系得t a n則∠b=53°。O c=O b·sin ∠b=0.03m×sin53°=2.4×10-2m。c、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U=8V-2V=6V,因此電場(chǎng)強(qiáng)度大小

圖6

答案：A

2.運(yùn)用等分法求勻強(qiáng)電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)大小。

變式4：a、b、c、d是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的四個(gè)點(diǎn),它們正好是一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)。電場(chǎng)線與矩形所在平面平行。已知a點(diǎn)的電勢(shì)為20V,b點(diǎn)的電勢(shì)為24V,d點(diǎn)的電勢(shì)為4V,如圖7所示。由此可知c點(diǎn)的電勢(shì)為( )。

A.4V B.8V

C.12V D.24 V

審題：依據(jù)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中將某一線段等分的同時(shí)就將該線段兩端的電勢(shì)差等分,將b d五等分,找到與a點(diǎn)電勢(shì)相等的點(diǎn)e,連接a e,由c f∥a e,找到與c點(diǎn)電勢(shì)相等的點(diǎn)f,即可求得φc。

圖7

圖8

解法一：(推論①)連接對(duì)角線a c和b d相交于O點(diǎn),如圖8所示。由勻強(qiáng)電場(chǎng)的性質(zhì)得φO=解得φc=8V。

解法二：(推論②)因?yàn)閍 b=c d且a b∥c d,所以φb-φa=φc-φd,解得φc=8V。

答案：B

圖9

變式5：如圖9所示,在x O y坐標(biāo)系中有以O(shè)點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為0.2m的正方形,頂點(diǎn)A、B、C、D分別在坐標(biāo)軸上。在該平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)(圖中未畫(huà)出),已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為3V、-V、-3V。則下列說(shuō)法中正確的是( )。

A.D點(diǎn)的電勢(shì)為V

B.該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E=10V/m

C.該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E=10V/m

D.電場(chǎng)方向與x軸正方向間的夾角為30°

審題：依據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的特點(diǎn),運(yùn)用對(duì)稱思想可求得D點(diǎn)的電勢(shì)。依據(jù)U=E d可求解場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題。

解析：根據(jù)A、C兩點(diǎn)的電勢(shì)分別為3V、-3V可知,O點(diǎn)的電勢(shì)為零,由對(duì)稱性可知D點(diǎn)的電勢(shì)為V,選項(xiàng)A正確。設(shè)過(guò)O點(diǎn)的等勢(shì)線與x軸間的夾角為α,則E解得α=60°,E=10V/m,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,C正確。因?yàn)殡妶?chǎng)線與等勢(shì)線互相垂直,所以電場(chǎng)方向與x軸正方向間的夾角為30°,選項(xiàng)D正確。

答案：A C D

1.如圖10所示,在平面直角坐標(biāo)系中,有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng),坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為0V,點(diǎn)A處的電勢(shì)為6V,點(diǎn)B處的電勢(shì)為3V,則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為( )。

圖10

2.如圖11所示,以O(shè)點(diǎn)為圓心,以R=0.20m為半徑的圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為a、b、c、d,該圓所在平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)方向與x軸正方向間的夾角θ=60°,已知a、b、c三點(diǎn)的電勢(shì)分別為4V、4V、-4V,則下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖11

A.該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E=40V/m

B.該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E=80V/m

C.d點(diǎn)的電勢(shì)為-2V

D.d點(diǎn)的電勢(shì)為-4V

3.如圖12所示,水平面內(nèi)有A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn),它們均勻分布在圓心為O、半徑R=2 cm的同一圓周上,空間有一方向與圓平面平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)。已知A、C、E三點(diǎn)的電勢(shì)分別為φA=(2-)V、φC=2 V,φE=(2+)V,則下列判斷中正確的是( )。

圖12

A.電場(chǎng)的方向由A點(diǎn)指向D點(diǎn)

B.電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為100V/m

C.該圓周上的點(diǎn)電勢(shì)最高為4V

D.將電子沿圓弧從D點(diǎn)移到F點(diǎn),靜電力始終做負(fù)功

參考答案：1.A 2.D 3.B C