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        兩體懶態(tài)的幾種刻畫

        2019-02-23 02:49:14侯晉川
        中北大學學報(自然科學版) 2019年1期
        關鍵詞:定義

        劉 亮, 侯晉川

        (1. 太原理工大學 力學學院, 山西 太原 030024; 2. 太原理工大學 數(shù)學學院, 山西 太原 030024)

        0 引 言

        在有限維的情況下, Xu J W[12]給出了一個兩體懶態(tài)的判據(jù), 并且研究了懶態(tài)和糾纏態(tài), 以及懶態(tài)和Discordant態(tài)的關系. 對于連續(xù)系統(tǒng), Xu J W[13]發(fā)現(xiàn)一個高斯態(tài)是懶態(tài)當且僅當它是熱態(tài)的張量積. 而在一般無限維情形下, 沒有給出判別懶態(tài)的方法. 本文給出了沒有維數(shù)限制的懶態(tài)判據(jù), 并且結合新的判據(jù), 討論了無限維情形下懶態(tài)和糾纏態(tài)以及Discordant態(tài)的關系.

        在給出主要結論之前, 先介紹一些預備知識. 假定dimHA?HB=∞, |iA〉和|iB〉分別是希爾伯特空間HA和HB上固定的一組正交基. 令Fij=|iB〉〈jB|, 那么, 任意一個S(HA?HB)里的兩體態(tài)ρAB都可以表示為[14]

        ρAB=∑ijAij?Fij,

        式中:Aij為HA上依跡范數(shù)收斂的跡類算子. 也就是

        且ρA=TrB(ρAB)=∑iAii. 類似的, 任意一個ρAB∈B(HA?HB)上的態(tài)可以按A系統(tǒng)的一組基展開, 表示為ρAB=∑klEkl?Bkl, 其中Bkl為HB上依跡范數(shù)收斂的跡類算子.

        1 主要結論及證明

        定理1 對任意的兩體態(tài)ρAB=∑ijAij?Fij∈B(HA?HB),ρAB是懶態(tài)當且僅當對所有的(i,j),Aij和約化態(tài)ρA交換.

        證明假定|iA〉和|iB〉分別是希爾伯特空間HA和HB上一組給定的正交基, 那么ρAB可以表示為ρAB=∑ijAij?Fij, 其中Fij=|iB〉〈jB|, 約化態(tài)ρA=(I?Tr)ρAB=∑iAii. 由定義,ρAB是懶態(tài)當且僅當[ρAB,ρA?IB]=0, 進而有

        ∑ijAij?Fij·∑iAii?I=

        ∑iAii?I·∑ijAij?Fij

        ∑ijAij?Fij·(ρA?I)=

        (ρA?I)·∑ijAij?Fij

        ∑ijAijρA?Fij=∑ijρAAij?Fij,

        因此,AijρA=ρAAij對任意(i,j)都成立.

        證畢.

        在上述過程中可以發(fā)現(xiàn), 局部算子Aij和ρA的交換性決定了一個態(tài)是否是懶態(tài). 利用這一點可以給出另一個懶態(tài)的等價刻畫. 在這之前, 我們回顧一下非交換性度量的定義.

        令X和Y是希爾伯特空間上任意給定的兩個算子. 那么[X,Y]=XY-YX=0當且僅當‖[X,Y]‖=0, 其中‖·‖為算子空間上定義的任意范數(shù). 也就是說[X,Y]≠0蘊含著X和Y的非交換性. 一般的, ‖[X,Y]‖度量了X和Y的非交換性. 對一族算子Γ={Al∶1≤i≤n}的非交換性的總和可以定義為

        N(Γ)∶=∑i

        L{ρAB}∶=∑ij‖[Aij,ρA]‖.

        借助這個定義, 很容易得到下面的推論.

        推論1 對于任意作用在空間HA?HB上的量子態(tài)ρAB=∑ijAij?Fij,ρAB是懶態(tài)當且僅當L{ρAB}=0.

        量子相干是量子資源理論中的一個重要概念, 近年來引起了很多學者的關注, 取得了一些相應的成果. Baumgratz等[18-19]提出了一種度量相干性的框架, 在這個框架下, 提出了l1相干度量, 相對熵相干度量, 魯棒相干度量等度量方法. Hu M L等[20]定義了兩個量子態(tài)的相對相干性(RQC). 考慮同一個希爾伯特空間里的兩個量子態(tài)ρ和σ, 當σ是非退化的, 且其特征向量[1]={|ψi〉}, i.e.σ=∑1εi|ψi〉〈ψi|, 其中εi為相應的特征值. 定義ρ相對于σ的相對量子相干性為

        C(ρ,σ)=C[1](ρ),

        式中:C[1](ρ)為在參考基[1]下的任意一量子相干度量. 當σ是退化的時, [1]不是唯一確定的. 通過對σ的所有可能特征分解得到的相干度量取上界定義了RQC為

        C(ρ,σ)=sup[1]C[1](ρ).

        在本文中, 定義下相對相干度量(sub-RQC)為

        因此,Cl1(ρ,σ)=inf{u∶uσ=σu}Cl1(ρ,uβ0).

        證明令f(u)=Cl1(ρ,β)=Cl1(ρ,uβ0)=Cl1(uρu?,β0), 顯然這是一個連續(xù)函數(shù). 令

        Uσ={u∶uσ=σu},

        若{un}?Uσ且un→u, 有uσ=limunσ=limσun=σu, 因此u?Uσ, 即Uσ是一個緊集.

        證畢.

        在這種情況下, 定義Csub(ρ,σ)中的下界可以取到, 進而可以把Csub(ρ,σ)改寫成

        Csub(ρ,σ)=min[1]C[1](ρ)∶=Cmin(ρ,σ).

        定理3 假定Hd是一個d維的可分希爾伯特空間(d≤+∞), 若A和B是Hd上的兩個正規(guī)算子, 那么Csub(A,B)=0當且僅當[A,B]=0.

        證明若Csub(A,B)=0, 則

        A=∑iλi|ψi〉〈ψi|,

        其中{|ψi〉|i是B的一組基. 由定義, 在這組基下B=∑iλi|ψi〉〈ψi|. 因此, [A,B]=0. 反之, 若[A,B]=0, 這意味著A和B可以同時對角化, i.e., 存在一組基{|ψi〉}i使得A=∑iλi|ψi〉〈ψi| 且B=∑iλi|ψi〉〈ψi|. 這樣就得到Csub(A,B)=0.

        證畢.

        至此, 可以給出懶態(tài)的另一個刻畫.

        定理4 對任意給定的二體態(tài)ρAB=∑ijAij?Fij∈B(HA?HB), 下列說法等價

        1)ρAB是懶態(tài);

        2) ∑Csub(Aij,ρA)=0;

        3) 存在HB里的一組基{|iB〉}, 使得Aij和ρA交換對于所有的(i,j)都成立.

        證明1)?2)由定理1,ρAB是懶態(tài)當且僅當Aij和ρA交換對所有的(i,j)都成立, 又由定理3可知Csub(Aij,ρA)=0對所有的(i,j)都成立. 近而有∑Csub(Aij,ρA)=0.

        2)?3)由定義,Csub(*,*)≥0恒成立. 若∑Csub(Aij,ρA)=0, 則Csub(Aij,ρA)=0對所有的(i,j)都成立. 由定理3可得,Aij和ρA交換.

        3)?1)由定理1直接可得.

        利用以上定理, 我們可以研究無限維情形下懶態(tài)和Discordant態(tài)以及可分態(tài)的關系.

        證明若ρAB具有如命題中的形式, 顯然有ρ11≥ρ22=ρ11. 由文獻[21-22]可知, 若一個兩體態(tài)的算子矩陣表示中的對角算子是可比較的, 則態(tài)是可分的. 由此可知, 命題中的ρAB是可分的. 由定理1, 若ρAB是懶態(tài), 則有ρij與ρA=TrBρAB=ρ11交換對所有的(i,j)成立, 進而ρ11和ρ12一定交換. 故若ρ11和ρ12不交換, 或者ρ12不是正規(guī)算子時,ρAB不是一個懶態(tài). 至此, 我們知道這種類型的態(tài)是可分的非懶態(tài).

        2 結 論

        本文給出了幾種兩體懶態(tài)的刻畫. 相較之前的判據(jù), 本文的刻畫沒有維數(shù)要求, 為一般無限維情形下懶態(tài)的研究提供了便利. 事實上, 該判據(jù)對于有限維懶態(tài)的研究也提供了新的方法. 利用這些判據(jù), 構造了一類無限維的可分但非懶態(tài)的兩體量子態(tài). 聯(lián)系量子失協(xié), 研究了懶態(tài)和量子失協(xié)的關系. 顯然懶態(tài)含有區(qū)別于糾纏和量子失協(xié)的量子關聯(lián), 本文的結論對理解一般無限維系統(tǒng)里的量子關聯(lián)提供了一定的幫助.

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