李志宏， 柴玉珍

(太原理工大學 數(shù)學學院， 山西 太原 030024)

0 引 言

時滯微分方程組在許多工業(yè)工程和自然科學領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用背景， 有關(guān)對時滯微分方程組的研究在近幾年也取得了豐碩的成果.Yan X P等[1-2]研究了具有單時滯和雙時滯的二維捕食模型正平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支. Collera J A[3-4]等研究了雙時滯的3種群捕食模型的Hopf分支. 隨后考慮到影響種群持久與滅絕的重要因素， 許多學者又研究了帶有功能性反應(yīng)函數(shù)的捕食模型， Zhu H等[5]研究了雙時滯HollingⅡ型的3種群食物鏈系統(tǒng)的Hopf分支. Li L C等[6]在考慮單時滯HollingⅡ型的兩種群模型在平衡點處的穩(wěn)定性及Hopf分支存在性的基礎(chǔ)上， 使用無窮維系統(tǒng)的持久性理論證明了模型的持久性. Wen J J等[7-9]研究了具有單時滯的HollingⅣ型的3種群捕食模型和具有雙時滯HollingⅡ型的3種群捕食模型的Hopf分支， 利用規(guī)范型理論和中心流行定理得出確定該系統(tǒng)Hopf分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計算公式. 丁建華等[10]針對具有HollingⅣ型的二維捕食模型討論了系統(tǒng)的有界性、 正平衡點處的穩(wěn)定性， 并通過構(gòu)建Lyapunov函數(shù)證明了正平衡點處的全局漸近穩(wěn)定性. 鑒于前人的研究， 本文綜合時滯和Holling型函數(shù)這兩個因素， 研究如下四維捕食模型

(1)

式中：x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)分別為一級、 二級、 三級食餌和捕食者這4個種群在t時刻的種群密度； 參數(shù)r1,r2,r3,r4分別為一級食餌的內(nèi)稟增長率， 二級、 三級食餌的死亡率和捕食者的自然死亡率；a1為自身的競爭率；a2,a3,a5,a8分別為其捕獲率；a4,a6,a7,a9分別為其消化率， 且都為正常數(shù)；m為半飽和度；τ1為追捕時間；τ2為成熟期. 下假設(shè)x2,x3,x4三種群有相同的追捕時間和成熟期， 且τ=τ1+τ2. 基于種群密度的實際意義， 系統(tǒng)(1)定義在

x2≥0,x3≥0,x4≥0}

1 正平衡點的存在性

鑒于系統(tǒng)(1)的生物意義， 只考慮其正平衡點.

定理1 若滿足條件

H1)a>0，

H2)b>0，

或H3)a<0，d>0，d2+4a9a2a4ma>0，

其中

a=-r2a1a9+a4r1a9-a3r4a4-a5r4a1,

2a9a2a4(c+a7a5r4m),

2a9a2a4(c+a7a5r4m),

c=-r3a4a9m+a7r2a9m,

d=am-a9a2a4，

證明若系統(tǒng)(1)存在正平衡點， 則應(yīng)有

成立， 從而可解的系統(tǒng)(1)滿足條件H1),H2)有正平衡點E*； 滿足條件H3),H4)有正平衡點E**.

2 正平衡點的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性

下面考慮正平衡點E*，E**可類似討論.

系統(tǒng)(1)在正平衡點E*處的Jacobian矩陣為

進而可以求得系統(tǒng)(1)在正平衡點E*處的特征方程為

λ4+p1λ3+p2λ2+p3λ2e-λτ1e-λτ2+p4λ+p5λe-λτ1e-λτ2+

p6λe-λτ2+p7λe-λτ1+p8e-λτ1e-λτ2=0,

(2)

下面根據(jù)時滯τ1,τ2分3種情形討論.

情形1τ1=τ2=0.

當τ1=τ2=0時， 式(2)可化為

λ4+p1λ3+(p2+p3)λ2+

(p4+p5+p6+p7)λ+p8=0.

(3)

由Hurwitz判據(jù)[11]可知， 式(3)的根具有負實部需滿足條件H5),H6),H7),H8). 其中：

此時有下面的結(jié)論.

定理2τ1=τ2=0， 且滿足條件H5),H6),H7),H8)時， 系統(tǒng)(1)在正平衡點E*是漸近穩(wěn)定的.

情形2τ1>0,τ2=0.

當τ1>0,τ2=0， 式(2)可化為

λ4+p1λ3+p2λ2+(p4+p6)λ+

(p3λ2+p5λ+p7λ+p8) e-λτ1=0.

(4)

令λ=iω是式(4)的一個純虛根， 代入式(4)并分離實部和虛部， 則有

(5)

消去cosωτ1和sinωτ1可得

(6)

記式(6)的8個根為ωi(i=1,2,…,8)， 分別將其代入有

從而有

由Butler[12]引理可得， 系統(tǒng)(1)的正平衡點E*在τ1<τa時是漸近穩(wěn)定的. 式(2)對τ1求導(dǎo)有

所以

式中：

綜上分析， 若滿足

情形3τ1>0，τ2>0.

取τ1∈(0,τa)， 下面討論時滯τ2.

令λ=iω是式(2)的一個純虛根， 代入式(2)并分離實部和虛部， 則有

(7)

化簡上式得

(8)

式中：

g4=2p7ω5-2p2p7ω3-2p6(p3ω2-p8)ω,

g5=-2p1p7ω4+2(p4p7-p5p6)ω2.

cosωiτi=

從而有

i=1,2,…,k=0,1,2,….

由Butler[12]引理可得， 系統(tǒng)(1)的正平衡點E*在τ2<τb時是漸近穩(wěn)定的. 在式(2)對τ2求導(dǎo)有

所以

式中：

(2p3ωbsinωbτ1+p5cosωbτ1+p6)cosωbτb,

(2p3ωbsinωbτb+p7)sinωbτ1-(p5cosωbτ1+p6)sinωbτb,

3 舉例論證

例在式(1)中取a1=a3=a5=0.4,a2=a6=0.1,a4=r2=r3=r4=m=0.2,a7=a8=0.05,a9=0.3,r1=1.6， 則滿足條件H1),H2)， 且正平衡點為E*(1.55,7.14,0.67,3.43). 經(jīng)驗證H5=0.555 1,H6=0.108 5,H7=0.001 3,H8=0.000 06， 所以當τ1=τ2=0時，E*是漸近穩(wěn)定的(見圖 1).

當τ1>0,τ2=0， 計算可取得τa=2.16，τ1∈[0,τa)時E*是漸近穩(wěn)定的(見圖 2).

當τ1>τa時，E*不穩(wěn)定，τ1=τa時，E*在τa附近產(chǎn)生分支(見圖 3).

當τ1>0，τ2>0， 取τ1=1.88∈[0,τa)， 計算可得ωb=0.186，τb=0.215，E*在τ2∈(0,τb)時是漸近穩(wěn)定的(見圖 4).

當τ2>τb時，E*不穩(wěn)定，τ2=τb時，E*在τb附近產(chǎn)生分支(見圖 5).

圖 1 τ1=τ2=0, 正平衡點E*漸近穩(wěn)定時分量變化圖Fig.1 The behavior of components with asymptotical stability of positive equilibrium point E* as τ1=τ2=0

圖 2 τ1=1.78<τa=2.16, τ2=0， 正平衡點E*漸近穩(wěn)定時分量變化圖Fig.2 The behavior of components with asymptotical stability of positive equilibrium point E* as τ1=1.78<τa=2.16, τ2=0

圖 3 τ1=3.16>τa=2.16, τ2=0， 正平衡點E*不穩(wěn)定時分量變化圖Fig.3 The behavior of components with instability of positive equilibrium point E* as τ1=3.16>τa=2.16, τ2=0

圖 4 τ1=1.88, τ2=0.01<τb=0.215， 正平衡點E*漸近穩(wěn)定時分量變化圖Fig.4 The behavior of components with asymptotical stability of positive equilibrium point E* as τ1=1.88, τ2=0.01<τb=0.215

圖 5 τ1=1.88, τ2=0.5>τb=0.215， 正平衡點E*不穩(wěn)定時分量變化圖Fig.5 The behavior of components with instability of positive equilibrium point E* as τ1=1.88, τ2=0.5>τb=0.215