孫宇新， 唐敬偉， 朱熀秋， 施 凱

(江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

無軸承異步電機通過在異步電機的定子槽中添加一套懸浮繞組，從而利用兩套不同極對數(shù)的轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮繞組磁相互作用來改變電機氣隙合成磁場的分布，進而在轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生可控徑向力，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮和旋轉(zhuǎn)，具有結(jié)構(gòu)緊湊簡單，無摩擦，弱磁容易，高速和超高速運行等優(yōu)點，是特種傳動應(yīng)用領(lǐng)域最具有發(fā)展?jié)摿Φ姆桨钢籟1-2]。但是，由于懸浮繞組的加入，使得無軸承異步電機具有極其復(fù)雜的電磁關(guān)系，是一個多變量、非線性、強耦合的系統(tǒng)。對于無軸承異步電機而言，如果不能實現(xiàn)懸浮系統(tǒng)徑向懸浮力之間非線性動態(tài)解耦控制，則不能保證電機轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮和可控旋轉(zhuǎn)，進而無法發(fā)揮出無軸承異步電機優(yōu)秀的性能。因此，實現(xiàn)對無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)徑向懸浮力之間動態(tài)解耦控制顯得尤為重要，具有有重要的現(xiàn)實意義[3]。

自無軸承異步電機被提出以后，國內(nèi)外學(xué)者對無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)徑向懸浮力之間動態(tài)解耦這一問題進行了研究并取得較多研究成果。文獻[4]研究了基于氣隙磁場定向矢量控制策略，實現(xiàn)了靜態(tài)解耦但沒有實現(xiàn)動態(tài)解耦，沒有實現(xiàn)真正意義上的解耦控制。文獻[5]采用了基于轉(zhuǎn)子磁場定向矢量控制控制策略，實現(xiàn)了電磁轉(zhuǎn)矩和懸浮力的解耦控制。但是采用PID(Proportion Intergration Differentiation) 控制策略，系統(tǒng)動態(tài)性能較差。文獻[6-7]將逆系統(tǒng)方法應(yīng)用到無軸承異步電機解耦控制當(dāng)中，但是此方法嚴(yán)重依賴于電機的精確模型，而無軸承異步電機模型多建立于理想情況之下。因此，該方法很難在實際中應(yīng)用。文獻[8-9]采用神經(jīng)逆系統(tǒng)實現(xiàn)了電機解耦控制，但是所構(gòu)造的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)習(xí)收斂速度較慢。文獻[10]研究了自適應(yīng)逆控制方法，該方法不需要辨別氣隙磁鏈，取得了較好的效果。

滑?？刂剖且环N特殊有效的非線性控制策略，具有響應(yīng)快，抗擾動能力強、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于對各種領(lǐng)域[11-14]。本文根據(jù)無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)控制基本理論[15]以及滑?？刂评碚揫16]，提出一種基于HJI(Hamiltom-Jacobi-Isaacs)理論無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)滑模魯棒控制方法，該方法在建立懸浮系統(tǒng)模型時，考慮了傳統(tǒng)懸浮系統(tǒng)模型的不確定性以及外界擾動，同時通過設(shè)計合適的滑?？刂坡蓾M足HJI不等式魯棒條件來確保控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實現(xiàn)無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)解耦控制并使系統(tǒng)具有更強的穩(wěn)定性和抗擾動能力。仿真和試驗結(jié)果證明了該方法的有效性，系統(tǒng)具有良好動靜態(tài)性能和魯棒性。

1 無軸承異步電機基本機理

1.1 無軸承異步電機懸浮基本機理

引入懸浮繞組后，電機原有旋轉(zhuǎn)磁場平衡被打破了，使得電機氣隙中一個區(qū)域里的磁場增強，其對稱區(qū)域的磁場減弱，進而產(chǎn)生的麥克斯韋力合力指向磁場增強的方向。向轉(zhuǎn)矩控制繞組通入電流I1產(chǎn)生磁鏈ψ1和向懸浮控制繞組中通入電流I2產(chǎn)生磁鏈ψ2，如圖1所示。在忽略負(fù)載情況下，由于在氣隙上側(cè)ψ1和ψ2同向，合成磁密會增加；在氣隙下側(cè)ψ1和ψ2反向，則合成磁密會減少，從而磁拉力的分布發(fā)生改變，產(chǎn)生沿y正方向的徑向懸浮力Fy。如果在懸浮控制繞組中通入反向電流，則可產(chǎn)生沿y負(fù)方向的徑向懸浮力。同理，沿x軸方向的徑向懸浮力Fx可以通過在懸浮控制繞組中通入與I2垂直的電流獲得。

圖1 徑向懸浮力產(chǎn)生原理Fig.1 Generation principle of radial suspension force

1.2 無軸承異步電機懸浮力數(shù)學(xué)模型

無軸承異步電機有轉(zhuǎn)矩繞組(極對數(shù)P1，電角頻率ω1)和懸浮繞組(極對數(shù)P2，電角頻率ω2)兩套繞組。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩套繞組滿足P2=P1± 1，ω1=ω2時，徑向懸浮力可以通過懸浮轉(zhuǎn)子徑向位移的負(fù)反饋來實現(xiàn)控制，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮。

無軸承異步電機的徑向懸浮力表達式為

(1)

式中：Fx，F(xiàn)y為x，y方向的徑向懸浮力；km=πp1p2Lm2/12rlμ0N1N2為電機結(jié)構(gòu)常數(shù)；l為有效鐵芯長度；μ0為真空磁導(dǎo)率；r為轉(zhuǎn)子外徑；Lm2為懸浮繞組的定轉(zhuǎn)子間互感；N1，N2為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮繞組的串聯(lián)匝數(shù)；i2sd，i2sq為d，q軸向的磁懸浮力控制電流分量；p1，p2為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮繞組極對數(shù)；Ψ1d,Ψ1q分別為轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁鏈在d,q軸上的磁鏈分量。

當(dāng)轉(zhuǎn)子處于偏心位置時，會導(dǎo)致無軸承電機氣隙不均勻，從而造成氣隙磁場不平衡產(chǎn)生偏心磁拉力，其表達式可寫為以下形式

Fsx=ksx,Fsy=ksy

(2)

傳統(tǒng)無軸承異步電機懸浮力建模時常忽略系統(tǒng)的不確定性以及外界擾動，多建立于理想情況之下[17]。本文建模時考慮到模型的不確定性以及外界干擾，根據(jù)動力學(xué)原理，將無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)的運動方程表示為

(3)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Fsx，F(xiàn)sy分別為轉(zhuǎn)子偏心在x，y方向產(chǎn)生的固有麥克斯韋力。

無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)常采用氣隙磁場定向控制，有

ψ1d=ψ1,ψ1q=0

(4)

將式(4)代入式(1)中，則可表示為

(5)

2 轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁鏈辨識

由式(5)可知，無軸承異步電機懸浮力控制只與轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁鏈有關(guān)。根據(jù)無軸承異步電機數(shù)學(xué)模型，在靜止等效α，β坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)矩繞組定子磁鏈可以表示為[18]

(6)

式中：ψ1sα,ψ1sβ為轉(zhuǎn)矩系統(tǒng)定子磁鏈α，β軸分量；U1sα,U1sβ分別為定子電壓在α,β軸方向分量；i1sα,i1sβ分別為定子電流在α,β軸方向分量；Rs1為轉(zhuǎn)矩繞組的定子電阻。

轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁鏈在α,β坐標(biāo)系中可表示為

(7)

式中：L1s為轉(zhuǎn)矩繞組的定子漏感。

由式(7)可知，可通過采樣電路采樣電流電壓信號在線辨識出轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁鏈值，從而實現(xiàn)無軸承異步電機徑向懸浮力的控制。

3 滑模魯棒控制系統(tǒng)

3.1 HJI不等式定理

在適當(dāng)?shù)恼齽t性和帶模有界條件假設(shè)下，完全可以通過一個擴展的HJI微分不等式是否存在正解來確定非線性不確定系統(tǒng)的魯棒可穩(wěn)定性[19]。

考慮如下模型

(8)

式中：d為外界擾動；z為系統(tǒng)的評判指標(biāo)。

定義對于信號d，其L2指標(biāo)為

(9)

為了評判系統(tǒng)的抗擾動能力，定義如下性能指標(biāo)

(10)

式中：J為系統(tǒng)L2的增益，表示系統(tǒng)抗擾動魯棒性能，且J越小表示系統(tǒng)的魯棒性越強。

根據(jù)式(8)，HJI理論可描述為：對任意給定一個正數(shù)γ，如果存在一個正定且可微的函數(shù)L(x)≥ 0，并且[20]

(11)

則J<γ。

3.2 滑模魯棒控制器設(shè)計

為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將HJI不等式應(yīng)用于滑模魯棒控制中，通過設(shè)計合適的滑模控制律，使式(11)條件滿足，則J<γ，魯棒條件成立，最終實現(xiàn)無軸承異步電機懸浮力解耦控制。

式(3)改寫為向量形式，可表示為

(12)

假設(shè)理想位移指令為zd，則跟蹤誤差e=z-zd,結(jié)合式(12)和式(2)設(shè)計控制律為

(13)

將式(13)代入式(12)中，則可得

(14)

定義滑模函數(shù)并作為評價信號ζ，即

(15)

式中:c>0。

得

(16)

利用HJI不等式理論,可將式(16)改寫為

(17)

其中，

(18)

則，設(shè)計控制律為

(19)

定義Lyapunov函數(shù)為

(20)

則可得

(21)

定義

(22)

由式(21)和式(22)可得

(23)

由于

(24)

即H≤0,有

(25)

則根據(jù)HJI理論，可得J<γ，所設(shè)計的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.3 無軸承異步電機控制系統(tǒng)設(shè)計

為了實現(xiàn)系統(tǒng)良好的動靜態(tài)性能，本文提出了一種基于HJI不等式的無軸承異步電機懸浮力滑模魯棒控制系統(tǒng)。同時，無軸承異步電機懸浮力控制只與轉(zhuǎn)矩氣隙磁鏈有關(guān)，則電機轉(zhuǎn)矩繞組部分類似于一個普通的異步電機，對于轉(zhuǎn)矩繞組部分的控制采用傳統(tǒng)異步電機轉(zhuǎn)速閉環(huán)矢量控制系統(tǒng)進行仿真研究[21]，無軸承異步電機控制系統(tǒng)，如圖2所示，M=1/kmψ1。

4 系統(tǒng)仿真與試驗

以一臺無軸承異步電動機試驗樣機為研究對象。首先，在Matlab /Simulink中，建立本文所提控制系統(tǒng)仿真模型(見圖2)。系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)，如表1所示。滑模魯棒控制器中γ=0.05。

圖3為采用本文所提控制策略仿真結(jié)果波形圖。電機啟動給定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，在0.3 s，轉(zhuǎn)速由3 000 r/min突加至6 000 r/min。同時，轉(zhuǎn)子x軸和y軸方向徑向位移初始期望值都設(shè)置為0，在0.2 s，x軸方向徑向位移值調(diào)整為0.2 mm，在0.4 s，y軸方向徑向位移值調(diào)整為-0.2 mm。

由圖3(a)可知。電機啟動后，經(jīng)過約0.05 s的調(diào)節(jié)時間，轉(zhuǎn)速到達給定轉(zhuǎn)速3 000 r/min后保持穩(wěn)定，且超調(diào)量很??；當(dāng)轉(zhuǎn)速在0.3 s突加至6 000 r/min時，經(jīng)過約0.05 s的調(diào)節(jié)時間，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達到指定轉(zhuǎn)速6 000 r/min，且超調(diào)量小，轉(zhuǎn)速保持穩(wěn)定。同時結(jié)合圖3(b)和圖3(c)分析，當(dāng)轉(zhuǎn)速在0.3 s突加至6 000 r/min時，x軸方向徑向位移和y軸方向徑向位移基本不受影響，仿真結(jié)果表明實現(xiàn)了轉(zhuǎn)速和懸浮力之間的解耦。

由圖3(b)和圖3(c)可知，電機啟動后，轉(zhuǎn)子快速到達指定中心位置，并且保持穩(wěn)定。在0.2 s，x軸方向徑向位移值調(diào)整為0.2 mm時，轉(zhuǎn)子能迅速響應(yīng)，到達指定位置保持穩(wěn)定，且超調(diào)量小。且此時電機轉(zhuǎn)速和y軸方向徑向位移基本不受影響。在0.4 s，y軸方向徑向位移值調(diào)整為-0.2 mm時。轉(zhuǎn)子也快速到達指定位置保持穩(wěn)定。且此時電機轉(zhuǎn)速和x軸方向徑向位移也基本不受影響。仿真結(jié)果表明x軸方向徑向位移發(fā)生改變時，y軸方向徑向位移基本不受影響；y軸方向徑向位移發(fā)生改變時，x軸方向徑向位移也基本不受影響，實現(xiàn)了x軸方向徑向位移和y軸方向徑向位移之間解耦控制。

(a) 轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(b) x軸方向上徑向位移

(c) y軸方向上徑向位移圖3 仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results

圖4為采用常規(guī)PID控制策略仿真結(jié)果波形圖。同樣，轉(zhuǎn)子x軸和y軸方向徑向位移初始期望值都設(shè)置為0，在0.2 s，x軸方向徑向位移值調(diào)整為0.2 mm，在0.4 s，y軸方向徑向位移值調(diào)整為-0.2 mm。

由圖4(a)和圖4(b)可知，電機啟動后，轉(zhuǎn)子也能到達指定位置，但調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量比較大，最大超調(diào)量為0.2 mm，最長調(diào)節(jié)時間為0.6 s。同時，對比圖3(b)、圖3(c)和圖4(a)、圖4(b)可知，采用本文所提的控制策略，轉(zhuǎn)子徑向位移控制效果更好，調(diào)節(jié)時間更短，超調(diào)量更小。

(a) x軸方向上徑向位移

(b) y軸方向上徑向位移圖4 仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results

為了進一步驗證本文所提控制策略，利用無軸承異步電機試驗控制平臺進行試驗驗證。電機啟動后，轉(zhuǎn)子到達中心位置穩(wěn)定后，轉(zhuǎn)速給定由1 200 r/min上升為2 000 r/min時轉(zhuǎn)子徑向位移試驗波形圖，試驗結(jié)果表明當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時，轉(zhuǎn)子徑向位移基本不變，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與徑向位移之間的解耦，電機轉(zhuǎn)子能穩(wěn)定懸浮，如圖5所示。同時轉(zhuǎn)子的徑向位移同時誤差小于±25 μm，充分證明所提方法的有效性。同時對比波形和試驗波形可知，試驗波形脈動較大，并且調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速時，位移波形頻率發(fā)生變化。分析該現(xiàn)象的原因，一方面是由于仿真建模時無軸承電機模型理想化，并且加工出來的電機轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻，其它更深層次的原因則需要繼續(xù)探究。

圖6為電機轉(zhuǎn)速到達800 r/min，在y軸徑向位移方向突加擾動時轉(zhuǎn)子徑向位移試驗波形圖。由圖6可知，當(dāng)y軸徑向位移方向突加擾動后，轉(zhuǎn)子能在較短的時間回到穩(wěn)定狀態(tài)，表明系統(tǒng)具有很強的魯棒性。此時，x軸方向徑向位移基本不變。試驗表明，所提控制方法實現(xiàn)了懸浮系統(tǒng)x軸方向徑向位移和y方向徑向位移之間動態(tài)解耦控制，同時系統(tǒng)具有很強的魯棒性。

圖5 y軸方向徑向位移變化時轉(zhuǎn)子徑向位移試驗波形Fig.5 The experimental waveform of radial displacement of rotor when displacement changes in y axis

圖6 y軸方向突加擾動時轉(zhuǎn)子徑向位移試驗波形Fig. 6 The experimental waveform of radial displacement of rotor when sudden disturbance in y axis

5 結(jié) 論

針對無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)解耦控制的需要以及傳統(tǒng)懸浮力解耦控制中存在的缺陷，本文提出了基于HJI理論的無軸承異步電機懸浮系統(tǒng)滑模魯棒控制系統(tǒng)。利用基于HJI理論的滑模魯棒控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)PID控制器，與傳統(tǒng)PID控制策略相比，該方法有效的調(diào)高了系統(tǒng)的控制性能，有效地降低了調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量，并且系統(tǒng)具有很好的魯棒性。仿真和試驗結(jié)果表明該控制方法實現(xiàn)了無軸承異步電機懸浮力動態(tài)解耦控制，且系統(tǒng)具有較好的靜態(tài)和動態(tài)性能，實現(xiàn)了無軸承異步電機轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。