劉衛(wèi)豐， 杜林林， 劉維寧

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044)

鐵路交通和城市軌道交通在方便居民出行的同時(shí)，也存在一些環(huán)境影響問(wèn)題，最主要的問(wèn)題之一就是列車運(yùn)行引起的振動(dòng)與噪聲影響。其中，輪軌噪聲和車內(nèi)噪聲是最主要的噪聲影響之一。尤其是在曲線軌道地段，列車運(yùn)行引起的振動(dòng)與噪聲往往要比直線地段要大。而且，曲線軌道的輪軌相互作用比直線軌道復(fù)雜得多，也會(huì)產(chǎn)生多種軌道振動(dòng)與噪聲問(wèn)題，例如鋼軌波磨、曲線嘯叫等[1-3]。

鋼軌振動(dòng)衰減率是一個(gè)重要的鋼軌動(dòng)態(tài)參數(shù)，定義為：鋼軌振動(dòng)沿鋼軌縱向能量(振幅)傳遞的變化率，以dB/m為單位，它反映了在某種軌道結(jié)構(gòu)中，鋼軌振動(dòng)沿縱向的綜合衰減能力，分為豎向振動(dòng)衰減率和橫向振動(dòng)衰減率[4]。它已成為評(píng)判軌道聲學(xué)特性的一個(gè)重要指標(biāo)，是鋼軌的有效聲輻射長(zhǎng)度的重要控制指標(biāo)。當(dāng)鋼軌振動(dòng)幅值一定時(shí)，衰減率越大，振動(dòng)沿鋼軌縱向衰減越快，鋼軌的聲功率也越低。另外，它可以用來(lái)表示軌道結(jié)構(gòu)的阻尼特定，即在某些頻段內(nèi)抑制鋼軌振動(dòng)的能力。鋼軌振動(dòng)衰減率越大，說(shuō)明軌道系統(tǒng)的阻尼越大。如果鋼軌振動(dòng)衰減率過(guò)低(小于0.1 dB/m)，表示鋼軌有脫離扣件約束進(jìn)行自由振動(dòng)的趨勢(shì)。鋼軌振動(dòng)過(guò)大可能引發(fā)和加劇波磨損害，嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)使扣件松脫及彈條斷裂，例如，北京地鐵4號(hào)線、5號(hào)線、10號(hào)線等線路上剪切型軌道減振器上出現(xiàn)的鋼軌波磨問(wèn)題就符合這樣的特征[5-7]。國(guó)外學(xué)者對(duì)鋼軌振動(dòng)衰減率進(jìn)行了一系列研究，主要研究了鋼軌振動(dòng)衰減率的工程意義、測(cè)試方法、影響因素等[8-9]。另外，鋼軌振動(dòng)衰減率也作為衡量鋼軌阻尼器減振和降噪效果的重要指標(biāo)[10-12]。

對(duì)于曲線軌道的研究，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開(kāi)展了一些工作。Kostovasilis等[13]利用一個(gè)曲線軌道有限元模型比較了曲梁?jiǎn)卧椭绷簡(jiǎn)卧谟?jì)算曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)上的差異。在另外一篇論文中，Kostovasilis等[14]建立了一個(gè)考慮豎向/橫向相互作用的曲線軌道動(dòng)力解析模型，并討論了曲線軌道的豎向/橫向耦合效應(yīng)問(wèn)題。Ang等[15]采用三角函數(shù)逼近法推導(dǎo)了移動(dòng)荷載作用下黏彈性地基上的曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的解析解。李克飛等[16-18]基于Duhamel積分和動(dòng)力互等定理推導(dǎo)了移動(dòng)荷載作用下曲線Timoshenko梁平面外振動(dòng)響應(yīng)的解析解。Zhang等[19]在李克飛的研究基礎(chǔ)上，通過(guò)引入了車輛模型計(jì)算了移動(dòng)列車引起的軌道的動(dòng)力響應(yīng)。

通常，鐵路軌道的鋼軌被軌枕或扣件周期性離散支承，所以許多學(xué)者都把周期性的概念引入到軌道的動(dòng)力模型中。例如Gry等[20]基于梁的廣義橫截面位移法提出一個(gè)周期性鐵路軌道模型并分析了此模型的適用性。Sheng等[21-22]把鋼軌考慮為無(wú)限長(zhǎng)周期性Euler梁，推導(dǎo)了在固定荷載作用下鋼軌動(dòng)力響應(yīng)的解析解。Clouteau等[23-25]基于Floquet變換建立了一個(gè)周期性軌道-隧道-地層的有限元-邊界元耦合模型，并計(jì)算了固定荷載和移動(dòng)荷載作用下多種軌道、隧道結(jié)構(gòu)以及地層的動(dòng)力響應(yīng)。馬龍祥[26]利用無(wú)限周期性結(jié)構(gòu)理論推導(dǎo)了地鐵軌道中的普通整體道床軌道和浮置板軌道動(dòng)力響應(yīng)的解析解。

上述文獻(xiàn)中的周期性理論均是應(yīng)用到直線軌道，本文提出一個(gè)周期性曲線軌道解析模型，該模型中，鋼軌考慮為曲線Timoshenko梁，支承于周期性離散分布的扣件上。利用此模型，可計(jì)算固定諧振荷載作用下鋼軌的振動(dòng)速度頻響函數(shù)，然后據(jù)此計(jì)算出鋼軌的振動(dòng)衰減率。并討論了扣件剛度、扣件阻尼、扣件間距和曲線半徑對(duì)曲線鋼軌振動(dòng)衰減率的影響。

1 周期性曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)推導(dǎo)

本文的曲線Timoshenko梁具有如下假定：① 曲線梁為等截面的勻質(zhì)梁；② 曲率半徑為常數(shù)，梁的橫截面具有豎直的對(duì)稱軸；③ 忽略曲線梁的翹曲變形。曲線梁的坐標(biāo)系符合右手螺旋法則規(guī)定，如圖1所示，圖中，R為曲線半徑，ux、uy和uz分別為x,y,z三個(gè)方向的位移，φx,φy和φz為繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角。在曲線鋼軌的軌頭上作用兩個(gè)移動(dòng)的單位諧振荷載eiwFt，速度為v，如圖2所示，圖中C點(diǎn)為鋼軌的形心，S點(diǎn)為鋼軌的剪切中心，扣件的豎向支承和橫向支承作用于軌底上，而扭轉(zhuǎn)支承作用于剪切中心S點(diǎn)上。由于作用在軌頭B點(diǎn)上的荷載可以等效為一個(gè)作用于鋼軌形心C點(diǎn)的橫向荷載(屬于平面內(nèi)荷載)和一個(gè)繞z軸旋轉(zhuǎn)的力矩荷載h1eiwFt(屬于平面外荷載)，所以在作用于軌頭的橫向荷載作用下，鋼軌將產(chǎn)生平面內(nèi)和平面外運(yùn)動(dòng)，而豎向荷載則只產(chǎn)生平面外運(yùn)動(dòng)。根據(jù)曲線Timoshenko梁理論，平面外與平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程是解耦的，式(1)～(3)為頻域內(nèi)曲線軌道的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程[27-28]，分別表示為x軸和z軸方向的平移運(yùn)動(dòng)，以及繞y軸的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

(1)

(2)

(3)

式(4)～(6)為頻域內(nèi)曲線軌道的平面外運(yùn)動(dòng)方程[28-29]，分別表示為y軸方向的平移運(yùn)動(dòng)，以及繞x軸和z軸的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

(4)

(5)

(6)

圖1 曲線梁坐標(biāo)系示意圖

由于軌道結(jié)構(gòu)在z軸上可以看作是周期性結(jié)構(gòu)，所以可以將周期性結(jié)構(gòu)理論應(yīng)用于軌道的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)無(wú)限長(zhǎng)的周期性軌道由無(wú)限個(gè)元組成，每個(gè)元都具有相同的性質(zhì)，任意選擇其中一個(gè)元作為基本元，則在移動(dòng)諧振荷載作用下基本元的位移與其他元的位移具有如下的關(guān)系[30-31]：

(7)

(8)

把式(7)代入式(8)，可以得到：

(9)

(10)

式中：ξn=2πn/L，C=(Ux,Φy,Uz,Φx,Uy,Φz(mì))T。則鋼軌的位移可以寫成：

(11)

式(11)可以考慮有限個(gè)模態(tài)函數(shù)，設(shè)考慮2N+1個(gè)模態(tài)函數(shù)，并令κ=(ω-ωF)/v，則鋼軌位移可以寫成：

(12)

(13)

ρA(ωF+vκ)2-KxAG*-E*A(ξm-κ)2LUzm-

(14)

ρIy(ωF+vκ)2-KxAG*-E*Iy(ξm-κ)2LΦym+

(15)

(16)

iKyAG*(ξm-κ)LUym=0

(17)

(18)

式中，

(19)

kh·V︵^-N(z︵r1)-1V︵^-N(z︵r2)-1…V︵^-N(z︵rNs)-1V︵^-N+1(z︵r1)-1V︵^-N+1(z︵r2)-1…V︵^-N+1(z︵rNs)-1??…?V︵^+N(z︵r1)-1V︵^+N(z︵r2)-1...V︵^+N(z︵rNs)-1V︵^-N(z︵r1)V︵^-N+1(z︵r1)...V︵^+N(z︵r1)V︵^-N(z︵r2)V︵^-N+1(z︵r2)…V︵^+N(z︵r2)??…?V︵^-N(z︵rNs)V︵^-N+1(z︵rNs)…V︵^+N(z︵rNs)Ux-N Ux(-N+1)?Ux(+N)(20)同理可以計(jì)算式(16)和(18)中kv∑Nsj=1V︵^m(z︵rj,κ,ωF)-1V︵^y、kr∑Nsj=1V︵^m(z︵rj,κ,ωF)-1φ︵^z。式(13)～(15)可以歸納為:K︵in(κ,ωF)Uin(κ,ωF)=F︵^in(κ,ωF)(21)式中Uin(κ,ωF)={Ux(-N),…,Ux(+N),Φy(-N),…,Φy(+N),Uz(-N),…,Uz(+M)}T,K︵in(κ,ωF)為廣義剛度矩陣,F︵^in(κ,ωF)為外荷載向量,同理,平面外運(yùn)動(dòng)可表示為:K︵out(κ,ωF)Uout(κ,ωF)=F︵^out(κ,ωF)(22)式中Uout(κ,ωF)={Uy(-N),…,Uy(+N),Φx(-N),…,Φx(+N),Φz(mì)(-N),…,Φz(mì)(+N)}T,外荷載向量可以表示為:F︵^in(κ,ωF)=F'inLeiκz︵?F0/vF︵^out(κ,ωF)=F'outLeiκz︵F0/v (23)這里,F'in的第j個(gè)元素為:F'in(j)=1,0,(j=N+1)(j=其他) (24)F'out的第j個(gè)元素為:F'out(j)=1,h1,0,j=N+1j=5N+3j=其他(25) 鋼軌上任意一點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)為: u^in(z,κ,ωF)=ei-ncκLB(z,κ,ωF)K︵in(κ,ωF)-1F︵^in(κ,ωF)(26) u^out(z,κ,ωF)=ei-ncκLB(z,κ,ωF)K︵out(κ,ωF)-1F︵^out(κ,ωF)(27)式中為B(z,κ,ωF)模態(tài)矩陣。通過(guò)Fourier變換,時(shí)域內(nèi)鋼軌上任一點(diǎn)的位移為:u(z,t,ωF)=12π∫+∞-∞u^(z,ω,ωF) eiωtdω=12π∫+∞-∞u^(z,κ,ωF) ei(ωF+vκ)tvdκ= 12π∫+∞-∞Le-iκ(ncL-zF0)B(z,κ,ωF)K︵(κ,ωF)-1F' eivκtdκ eiωFt(28) 令式(28)中的v=0,則由固定諧振荷載引起的鋼軌上的位移為: u(z,t,ωF)= 12π∫+∞-∞Le-iκ(ncL-zF0)B(z,κ,ωF)×K︵(κ,ωF)-1F' dκ eiωFt(29) 式(28)和(29)中,K︵(κ,ωF)可以是K︵in(κ,ωF)或者K︵out(κ,ωF),F'可以是F'in或者F'out。2 鋼軌振動(dòng)衰減率的計(jì)算根據(jù)歐洲標(biāo)準(zhǔn)BS EN 15461∶2008+A1∶2010進(jìn)行[4],鋼軌振動(dòng)衰減率的計(jì)算公式如下:DR≈4.343∑nmaxn=0A(xn)2A(x0)2Δxn(30)