應(yīng)玲君， 趙榮珍， 馬德福， 唐小斌

(蘭州理工大學 機電工程學院, 蘭州 730050)

在剛性機構(gòu)中，運動副間隙帶來的運動軌跡偏離和關(guān)節(jié)碰撞沖擊等問題嚴重影響著機構(gòu)的工作性能和使用壽命[1]。而采用柔性鉸鏈替代傳統(tǒng)運動副的柔順機構(gòu)則能有效地降低此方面的影響，正確地傳遞運動和力，還具有：結(jié)構(gòu)輕便，易于一體化加工，能簡化裝配過程；無磨擦，從而能消除磨損、噪聲和振動；無需潤滑，可避免污染等[2]優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用于微機電、光學、航空航天等領(lǐng)域[3-4]。柔順機構(gòu)還具有回彈特性，在避免間隙影響的同時也能起到良好的抑振效果[5]。其中，設(shè)計柔順機構(gòu)的關(guān)鍵在于設(shè)計出符合運動要求的柔性鉸鏈。

所謂柔性鉸鏈，它是一種利用自身的彈性變形在相連的剛體間傳遞力或運動的彈性元件[6]。當前柔性鉸鏈的設(shè)計多采用剛體代替綜合法[7]，即先將相對復雜的剛性鉸鏈分解成簡單的運動副，再用具有相似功能的柔性片段替換剛性構(gòu)件，最后將各柔性片段疊加整合成新的柔性鉸鏈。針對這種傳統(tǒng)柔性鉸鏈，Rad等[8-9]通過在剛體間架設(shè)3個柔性轉(zhuǎn)動副滿足了三自由度柔性球鉸的要求，并推導了鉸鏈的剛度計算方程；Liu等[10]則對柔性轉(zhuǎn)動副的切口結(jié)構(gòu)進行了拓撲優(yōu)化，基于去除材料的方法提高了轉(zhuǎn)動性能。而平面溢出鉸鏈[11](Lamina Emergent torsional，LET)作為一種由二維金屬薄板平面加工而成，實現(xiàn)三維運動的新型柔性鉸鏈，在擁有傳統(tǒng)柔性鉸鏈優(yōu)點的同時進一步簡化了其結(jié)構(gòu)。Wilding等[12]在LET鉸鏈內(nèi)部加入一個反向彎曲的次級鉸鏈，構(gòu)成了一個體積小巧但能承受軸向力的新轉(zhuǎn)動副；邱麗芳等[13]則展示了LET鉸鏈易于變形的特點并對比了兩種等效剛度分析方法的適用范圍；基于LET鉸鏈的大變形特性，Qiu等[14]和Fowler等[3]分別以兩種不同的思路進一步擴大了鉸鏈工作空間：Qiu將三個LET鉸鏈進行了串聯(lián)，在實現(xiàn)了大范圍轉(zhuǎn)動的同時降低了最高應(yīng)力；Fowler則將16個柔性薄片進行了復雜的并聯(lián)整合，達到了90°側(cè)向彎曲的要求并分析了其配置參數(shù)對轉(zhuǎn)角范圍的影響。

目前新型柔性鉸鏈的研究主要集中在單一轉(zhuǎn)動副的實現(xiàn)及其結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化，但對如虎克鉸等多自由度的運動副仍采用“分解-替換-整合”的傳統(tǒng)設(shè)計方法，即將多個柔性轉(zhuǎn)動副物理疊加，結(jié)構(gòu)臃腫復雜，尚未有構(gòu)型輕便的多自由度鉸鏈一體化解決方案。為此，本文基于LET柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)特點，欲進一步擴展其運動形式，提出一種能實現(xiàn)虎克鉸功能的平面柔性鉸鏈，建立動態(tài)的鉸鏈等效剛度模型，并根據(jù)其剛度變化特性進行實例仿真驗證。

1 平面柔性鉸鏈設(shè)計及其自由度分析

1.1 虎克鉸結(jié)構(gòu)分析

傳統(tǒng)的虎克鉸如圖1所示，它由一個十字軸和兩個叉形鉸鏈座組成。叉形鉸鏈座繞著十字軸實現(xiàn)空間兩自由度的相對轉(zhuǎn)動。其中，十字軸受到來自叉形鉸鏈座的2個徑向和2個軸向的約束。這8個接觸副(虛約束含4個接觸副)在運動中互相摩擦磨損，其產(chǎn)生的運動副間隙則會嚴重地影響鉸鏈運動傳遞的準確性。

(a) 轉(zhuǎn)動狀態(tài)1(b) 轉(zhuǎn)動狀態(tài)2

圖1 虎克鉸

Fig.1 Hooker hinge

1.2 平面柔性鉸鏈設(shè)計

基于變形LET鉸鏈[13]的特點，本研究所建立的平面柔性鉸鏈如圖2所示，鉸鏈上下矩形部分用于相鄰構(gòu)件的連接，為剛性區(qū)域，中間的環(huán)形部分產(chǎn)生變形，為柔性區(qū)域。如圖2(a)所示，柔性區(qū)域繞轉(zhuǎn)動中心彎折，剛性區(qū)域隨之轉(zhuǎn)動(等效于圖1(a)的轉(zhuǎn)動)。LET鉸鏈通常只有這一個轉(zhuǎn)動自由度[12-14]，而本文建立的平面柔性鉸鏈因環(huán)形的結(jié)構(gòu)特點，運動形式可進一步擴展為圖2(b)形式：當轉(zhuǎn)動中心繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角時，鉸鏈發(fā)生偏轉(zhuǎn)，剛性區(qū)域隨之側(cè)傾(等效于圖1(b)的運動)。同時，環(huán)形結(jié)構(gòu)保證了鉸鏈各個偏轉(zhuǎn)方向上的剛度不會存在較大差異，且結(jié)構(gòu)簡單便于加工制造。

(a) 彎折狀態(tài)(b) 偏轉(zhuǎn)狀態(tài)

圖2 平面柔性鉸鏈

Fig.2 Plane flexible hinge

1.3 平面柔性鉸鏈自由度分析

為驗證圖2所示鉸鏈的運動形式，探究其變形性能，現(xiàn)對鉸鏈的自由度進行分析。鉸鏈各參數(shù)如圖3所示。

為便于分析，將平面柔性鉸鏈視作梁。故當坐標系處于平面柔性鉸鏈質(zhì)心時，鉸鏈柔度矩陣λ可近似為等尺寸梁的柔度矩陣：

(1)

現(xiàn)給定參數(shù)如下：b=50 mm，l=275 mm，R=87.5 mm，r=60 mm，厚度t=1 mm。由于鉸鏈工作主要依靠彈性變形，故材料選用彈性極限、疲勞極限較高且彈性遲滯較小的鈹青銅，彈性模量E=128 GPa，泊松比μ=0.35，切變模量G=E/[2(1+μ)]=47.41 GPa。則可以得到各個柔度間的比值關(guān)系：

(2)

(3)

理論上柔性體具有無限個自由度。而從式(2)、式(3)所示的柔度比值關(guān)系中我們可以得出：在z方向上的平動柔度λtz遠大于x和y方向上的平動柔度λtx和λty；繞著x軸和y軸的轉(zhuǎn)動柔度λθx和λθy遠大于繞z軸的轉(zhuǎn)動柔度λθz。表明這三個方向的自由度具有更大的自由程度，即該平面柔性鉸鏈主要具有tz、θx和θy三個自由度。而z方向的平動tz如圖3所示，實際上是由鉸鏈的柔性區(qū)域在yz平面內(nèi)的彎曲微變形引起的，即tz由θx引發(fā)，鉸鏈不具有傳統(tǒng)意義上的z方向平動自由度。因此只需通過θx和θy兩個方向的組合變形，鉸鏈即可實現(xiàn)彎折和偏轉(zhuǎn)，滿足虎克鉸兩自由度的要求。

2 平面柔性鉸鏈的動態(tài)等效剛度分析

在1.3小節(jié)的分析中，柔度、慣性矩等相關(guān)計算均采用了簡化算法，并未詳解。為進一步揭示鉸鏈的變形特性，需對鉸鏈不同位姿下的動態(tài)等效剛度進行更為精確的分析計算。

2.1 彎折時的等效剛度計算方法

假設(shè)柔性鉸鏈在力矩T下發(fā)生總計角度為δ的彎折。如圖3所示，現(xiàn)將鉸鏈沿y軸方向劃分成n個柔性微分片段dy，由于圓環(huán)中心圓孔的隔斷，微分片段可分為連續(xù)的dy1和分離的兩段并聯(lián)關(guān)系的dy2兩類，每個微分片段在力矩T下分別發(fā)生相應(yīng)彎折，則δ為兩類所有片段彎折角度之和：

(4)

而力矩轉(zhuǎn)角關(guān)系又可表示為T=kfδ，則此時平面柔性鉸鏈的等效剛度為：

(5)

2.2 偏轉(zhuǎn)時的等效剛度計算方法

圖4所示是用于計算偏轉(zhuǎn)時等效剛度的分析模型，當柔性鉸鏈偏轉(zhuǎn)θ角時，由于鉸鏈中的矩形部分為剛性

圖4 偏轉(zhuǎn)時的柔性鉸鏈

區(qū)域，從而使柔性區(qū)域(圓環(huán))中陰影部分也不參與變形，即鉸鏈形成“剛性-柔性-剛性”的斜向串聯(lián)式結(jié)構(gòu)。同時柔性區(qū)域的面積隨著偏角θ的增大而相應(yīng)的減少。

按照2.1小節(jié)中的思路，沿轉(zhuǎn)軸中垂線方向劃分出兩類微分片段，則圖4模型的等效剛度分為如下兩種情況：

(6)

平面柔性鉸鏈的等效剛度為：

(7)

表1 五組平面柔性鉸鏈參數(shù)表

對新的p點重新擬合的結(jié)果如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)五組曲線完全重合。這表明鉸鏈的比例系數(shù)p與其偏轉(zhuǎn)程度(偏角百分比pct)的關(guān)系存在一定共性，且不受

圖5 偏角與比例系數(shù)的關(guān)系曲線

圖6 偏角百分比與比例系數(shù)的關(guān)系曲線

(8)

由式(5),(7),(8)可得平面柔性鉸鏈的動態(tài)等效剛度計算公式為：

(9)

2.3 有限元仿真驗證

為便于分析，去除各轉(zhuǎn)角模型相應(yīng)的剛性區(qū)域。對有限元模型連接剛性區(qū)域的兩個端面分別施加10 N·m/rad的轉(zhuǎn)矩，兩端各產(chǎn)生轉(zhuǎn)角θsim。如圖7所示為θ=10°時的z方向變形云圖，通過查看具體變形數(shù)值可計算出鉸鏈兩端的斜率，進而得到鉸鏈的轉(zhuǎn)角數(shù)值。據(jù)此方法可得到不同偏轉(zhuǎn)角度下等效旋轉(zhuǎn)剛度的仿真值。同時通過式(5)和式(7)可得到相應(yīng)的理論計算值。兩種途徑得到的等效剛度值及其對比情況，如表2所示。

表2不同偏角下鉸鏈等效剛度的理論值和仿真值及其誤差

Tab.2Thetheoreticalandsimulationvaluesoftheequivalentstiffnessofhingesunderdifferentdeflectionanglesandtheirerrors

偏角θ/(°)理論值kf/(N·m·rad-1)仿真值ksim/(N·m·rad-1)誤差/%06.556.793.64107.337.471.79208.338.31-0.31309.659.59-0.654011.4611.651.69

圖7 偏角θ=10°時鉸鏈的變形云圖

由表2可知：在不同偏角下，鉸鏈等效剛度的理論值與仿真值基本一致，其相對誤差最大不超過3.64%，證明了剛度計算模型的正確性。

同理，可求得在極限偏角θ2=70 °時的最大工作應(yīng)力為458.63 MPa，低于材料屈服極限1 035 MPa的一半，因而不會發(fā)生塑性變形。

3 平面柔性鉸鏈的動態(tài)剛度特性分析

基于所建立的平面柔性鉸鏈動態(tài)等效剛度計算模型，若要設(shè)計出滿足性能要求的柔性鉸鏈，仍需研究動態(tài)等效剛度的變化特點。但由式(9)較難直觀地看出各參數(shù)與等效剛度之間的關(guān)系，由此我們對各參數(shù)逐一進行分析，進而為平面柔性鉸鏈的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

3.1 鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對等效剛度變化的影響分析

現(xiàn)取θ=0時進行剛度分析，如圖8(a)，(b)，(c)，逐一改變各結(jié)構(gòu)參數(shù)值，可以得到平面柔性鉸鏈各參數(shù)和其等效剛度之間的關(guān)系，即：隨著鉸鏈圓環(huán)外徑R、寬度b、厚度t的增大，內(nèi)徑r的減少，鉸鏈等效剛度呈現(xiàn)上升趨勢。其中，鉸鏈等效剛度對厚度t的變化最為敏感，而矩形部分寬度b與剛度值關(guān)系的非線性程度最弱。

(a) 等效剛度與b的關(guān)系圖(b) 等效剛度與t的關(guān)系圖

(c) 等效剛度與r、R的關(guān)系圖(d) 等效剛度與θ的關(guān)系圖

圖8 鉸鏈參數(shù)b、t、R、r及偏角θ與等效剛度的關(guān)系圖

Fig.8 The relationship between the hinge parametersb,t,R,r,θand the equivalent stiffness

3.2 鉸鏈偏角θ對等效剛度變化的影響分析

當柔性鉸鏈各結(jié)構(gòu)參數(shù)固定時，如圖8(d)所示，我們可以得到鉸鏈偏角與其等效剛度之間的關(guān)系：當偏角小于極限偏角的70%時，隨著偏角的增大，等效剛度略微增大，且非線性程度較弱，基本呈線性關(guān)系；當偏角達到極限偏角的80%時，曲線非線性程度逐步增大；而90%以后則因接近鉸鏈極限偏角，剛度值劇增，實現(xiàn)了鉸鏈極限位姿的截止作用。

基于上述平面柔性鉸鏈的動態(tài)剛度變化特點，對鉸鏈的剛度應(yīng)用特性進行分析。當鉸鏈小范圍偏轉(zhuǎn)時，剛度基本不變，可實現(xiàn)虎克鉸運動的傳遞；當含該鉸鏈的實際機構(gòu)位姿接近極限時，鉸鏈剛度急劇增大，可對機構(gòu)整體運動發(fā)揮截止作用；而當實際機構(gòu)中同時采用多個平面柔性鉸鏈時，因機構(gòu)運動過程中位姿不斷變化，各平面柔性鉸鏈偏角θ值呈現(xiàn)持續(xù)性變化，導致各鉸鏈等效剛度值也持續(xù)變化，故機構(gòu)整體剛度呈現(xiàn)出一定的非線性，而這種特性有助于強化被動隔振性能[16]，在一定程度上能夠拓寬平面柔性鉸鏈的應(yīng)用范圍。

4 應(yīng)用實例驗證

為驗證平面柔性鉸鏈的應(yīng)用可行性及隔振性能，在本研究中我們將其引入到圖9所示的6DOF并聯(lián)隔振平臺中，替換原來的6個虎克鉸，形成由上平臺、球鉸、帶滑動副的支腿、平面柔性鉸鏈、下平臺組成的新隔振平臺。

圖9 引入柔性鉸鏈的6DOF并聯(lián)隔振平臺

4.1 平面柔性鉸鏈的應(yīng)用驗證

在下平臺質(zhì)心持續(xù)施加繞x軸轉(zhuǎn)動激勵RotX=3d*sin(PI*110*time)、繞y軸轉(zhuǎn)動激勵RotY=2d*sin(PI*110*time)以模擬振動輸入，在ADAMS中對新隔振平臺進行剛?cè)狁詈蟿恿W仿真分析。其中，平面柔性鉸鏈是在ANSYS 15.0中劃分網(wǎng)格后導入的mnf柔性體。下平臺的輸入由新隔振平臺的被動隔振作用輸出到上平臺。定義上平臺質(zhì)心角加速度與下平臺質(zhì)心角加速度的比值為振動傳遞率η。取步長為0.01 s，仿真時間2 s。

得到的新隔振平臺傳遞率變化如圖10。平臺的傳遞率呈周期性小幅度波動，基本穩(wěn)定在0.1附近，最高不超過0.3。由傳遞率定義可知，當η<1時即具有隔振效果，故新平臺能實現(xiàn)隔振功能要求，即該平面柔性鉸鏈滿足虎克鉸的功能要求。

圖10 采用平面柔性鉸鏈的新隔振平臺傳遞率

4.2 與含間隙虎克鉸的隔振性能對比驗證

對原隔振平臺中6個虎克鉸十字軸中的12個轉(zhuǎn)動副添加0.02 mm徑向間隙與0.06 mm軸向間隙，其他參數(shù)和施加的激勵與4.1小節(jié)中一致，以對比分析兩種鉸鏈對運動傳遞的影響區(qū)別。從圖11可以看出，加入間隙的原隔振平臺的傳遞率η在1附近大幅度振蕩，振蕩頻率較高，且有較多峰值已遠大于1，喪失了隔振效果。即含間隙的虎克鉸嚴重影響了運動傳遞的準確性。

圖11 采用含間隙虎克鉸的原隔振平臺傳遞率

對比結(jié)果表明：平面柔性鉸鏈在滿足虎克鉸功能要求的同時能有效避免鉸鏈間隙帶來的影響，保證了運動的正確傳遞，實現(xiàn)較好的被動隔振效果。

5 結(jié) 論

剛性鉸鏈的運動副間隙影響著機構(gòu)的工作性能與壽命。而傳統(tǒng)的柔性鉸鏈多為單一轉(zhuǎn)動副，對于多自由度柔性鉸鏈一般存在著結(jié)構(gòu)臃腫復雜的問題，為此，本研究提出一種適用于柔順機構(gòu)的等效虎克鉸運動的平面柔性鉸鏈，基于動態(tài)的等效剛度對鉸鏈進行了理論建模和分析。得到的結(jié)論如下：

(1) 平面柔性鉸鏈六個柔度值的對比表明：鉸鏈的變形方式滿足虎克鉸的自由度要求，能極大地簡化結(jié)構(gòu)，為虎克鉸提供了一體化的柔性方案，也為多自由度柔性鉸鏈的設(shè)計提供了新的思路。

(2) 所建立的鉸鏈動態(tài)等效剛度計算模型能正確地展現(xiàn)鉸鏈剛度與姿態(tài)之間的關(guān)系。

(3) 不同參數(shù)鉸鏈在大偏角下的剛度變化情況存在共性，根據(jù)所得規(guī)律擬合出非線性剛度的近似理論計算公式。

(4) 引入平面柔性鉸鏈的6DOF并聯(lián)平臺工作性能優(yōu)于含間隙的原平臺，即：平面柔性鉸鏈在滿足虎克鉸功能性要求的同時能有效避免虎克鉸間隙引起的振動傳遞率突變問題。