趙珧冰， 林恒輝， 黃超輝， 陳林聰

(華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 福建 廈門 361021)

外部激勵(lì)通常由多個(gè)激勵(lì)源組成，而多頻激勵(lì)下的非線性系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[1]。受多頻激勵(lì)的系統(tǒng)不僅可以同時(shí)發(fā)生主共振、超諧波和次諧波等共振響應(yīng)，而且當(dāng)多個(gè)激勵(lì)頻率的線性組合接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，會(huì)發(fā)生各類組合共振[2]。研究表明系統(tǒng)在多頻激勵(lì)下更容易產(chǎn)生混沌行為，從而導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)或不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，甚至?xí)?dǎo)致振動(dòng)系統(tǒng)崩潰[3]。

一方面，研究人員針對(duì)各類經(jīng)典系統(tǒng)，比如：Duffing系統(tǒng)[4-6]、Van der Pol系統(tǒng)[7]、Duffing-Van der Pol系統(tǒng)[8]、分?jǐn)?shù)階Van der Pol系統(tǒng)[9]等，開(kāi)展了受多頻激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)行為研究。另一方面，研究人員針對(duì)Winkler地基梁[10]、疊層板[11]和軸向運(yùn)動(dòng)梁[12-13]等基本結(jié)構(gòu)，研究其受多頻激勵(lì)下的聯(lián)合共振響應(yīng)。

事實(shí)上，拉索作為一類工程應(yīng)用和理論研究都極其廣泛的柔性結(jié)構(gòu)[14]，其非線性動(dòng)力學(xué)方程中同時(shí)包含平方和立方非線性項(xiàng)，非線性動(dòng)力學(xué)行為非常豐富[15]。而實(shí)際工程中，索結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期暴露在自然環(huán)境中，會(huì)受到太陽(yáng)輻射、晝夜交替和溫度驟降等各類環(huán)境因素的影響，承受明顯的溫差作用，形成溫度應(yīng)力，該應(yīng)力甚至可能超過(guò)活載應(yīng)力的大小[16]。因此隨著溫度敏感性材料的發(fā)展以及工程精細(xì)化分析的需要，研究人員越來(lái)越重視溫度變化對(duì)索結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響研究[17-25]。

綜上所述，當(dāng)懸索受到多頻激勵(lì)時(shí)，其非線性動(dòng)力學(xué)行為將變得更加復(fù)雜，然而已有研究并不多見(jiàn)，倘若進(jìn)一步考慮溫度效應(yīng)的影響，其振動(dòng)特性將發(fā)生哪些定性和定量的改變，則更加值得關(guān)注與研究。因此本文以受多頻激勵(lì)的懸索，當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)發(fā)生組合共振和超諧波共振時(shí)，通過(guò)建立考慮溫度變化時(shí)懸索的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，利用Galerkin法進(jìn)行無(wú)窮維離散，然后利用多尺度法求解組合-聯(lián)合共振時(shí)的幅頻響應(yīng)方程組，并判斷其穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性。最后通過(guò)數(shù)值算例定性和定量地分析溫度變化對(duì)懸索組合-聯(lián)合共振響應(yīng)的影響。

1 動(dòng)力學(xué)方程

圖1 懸索構(gòu)型及特性

已有研究表明溫度變化對(duì)拉索的影響主要通過(guò)以下幾個(gè)方面：首先就是溫度變化會(huì)導(dǎo)致拉索發(fā)生熱脹冷縮，影響拉索的長(zhǎng)度，改變拉索張拉力和垂度；其次就是溫度變化對(duì)材料彈性模量的影響，具體而言，對(duì)于拉索來(lái)說(shuō)，溫度每升高1℃，其彈性模量減小約0.036%，而在常規(guī)溫度變化的范圍內(nèi)(比如：±40℃)，可以忽略溫度變化對(duì)其彈性模量的影響；接著就是阻尼系數(shù)，由于拉索是一類輕阻尼的柔性結(jié)構(gòu)，一般而言研究人員都忽略了溫度變化對(duì)拉索阻尼系數(shù)的影響；最后就是邊界條件，由于其影響過(guò)于復(fù)雜，至今也沒(méi)有定論。因此在懸索的動(dòng)力學(xué)建模中，研究人員一般也忽略了溫度變化對(duì)懸索邊界條件的影響。

基于上述論述，本文重點(diǎn)考慮溫度變化導(dǎo)致的懸索張拉力和垂度的改變，由于懸索的對(duì)稱性，在其非線性動(dòng)力學(xué)建模中，可以引入張力改變系數(shù)：

(1)

式中：H(b)和HΔT(bΔT)分別表示溫度變化前后懸索的張力(垂度)。

不考慮溫度變化影響，引入擬靜態(tài)假設(shè)，利用Hamilton變分原理，忽略懸索的彎曲、扭轉(zhuǎn)和剪切剛度，其面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(2)

式中：一點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，一撇表示對(duì)坐標(biāo)x求導(dǎo)；m和cv分別表示懸索單位長(zhǎng)度質(zhì)量和阻尼系數(shù)；A表示橫截面面積；E為彈性模量；H為初始水平張力；y表示懸索靜態(tài)構(gòu)型y(x)=4b(L-x)x/L2；g表示重力加速度，外部激勵(lì)由兩部分組成(m=1,2)，其中：Km表示激勵(lì)幅值，Ωm和θm分別表示激勵(lì)頻率和相位。

基于本文的假設(shè)，可知方程(1)中有且僅有與懸索張力和垂度相關(guān)的項(xiàng)與溫度變化相關(guān)。為表述簡(jiǎn)便，引入張力改變系數(shù)χ2以及以下無(wú)量綱參數(shù)：

(3)

那么當(dāng)考慮溫度變化影響時(shí)，受多頻激勵(lì)的懸索面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為：

(4)

式中：忽略了符號(hào)的上標(biāo)星號(hào)。

假設(shè)懸索是由正對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)組成的多自由度系統(tǒng)，其面內(nèi)運(yùn)動(dòng)可以表示為：

(5)

式中：qn(t)表示廣義坐標(biāo)；φn(x)表示模態(tài)函數(shù)。

將方程式(5)代入式(4)中，可得：

(6)

式中：方程各項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式見(jiàn)附錄A。

2 攝動(dòng)分析

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生組合-聯(lián)合共振時(shí)，假設(shè)不考慮模態(tài)間的內(nèi)共振，解的二階展開(kāi)式表示為：

qn(t;ε)=qn0(T0,T1,…)+εqn1(T0,T1,…)+…

(7)

式中：Tn=εnt。

根據(jù)多尺度法，將阻尼項(xiàng)，平方和立方非線性項(xiàng)攝動(dòng)到不同階：

(8)

Λjknqjqk=εΛjknqjqk

(9)

Γjklnqjqkql=ε2Γjklnqjqkql

(10)

將方程式(7)～(10)代入式(6)中，另方程兩端ε0、ε1和ε2的系數(shù)相等，可得以下三個(gè)微分方程[26]：

(11)

(12)

(13)

式中：Dn=?/?T。

方程(11)的解可以表示為：

(14)

式中：cc表示共軛項(xiàng)以及

將方程式(11)代入式(12)中，消去久期項(xiàng)，可知D1an=0，由此可得到qn1的表達(dá)式。再將所得結(jié)果代入式(13)中，同理消去久期項(xiàng)可知qn2的表達(dá)式。

為研究簡(jiǎn)便，本文僅考慮懸索單模態(tài)運(yùn)動(dòng)，因此單模態(tài)離散后的運(yùn)動(dòng)方程表示為：

(15)

由于懸索同時(shí)包含二次和三次非線性，多頻激勵(lì)下的非線性振動(dòng)特性復(fù)雜，比如主共振，組合共振，1/2和1/3階次諧波和二次和三次超諧波共振等。本文以懸索同時(shí)發(fā)生一類減法型組合共振(Ω2-Ω1≈2ωn)和三次超諧波共振(3Ω1≈ωn)為例，利用多尺度法求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程組，并且判斷穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性。

對(duì)于本文的組合共振和超諧波共振，引入兩個(gè)調(diào)諧參數(shù)：

3Ω1=ωn+ε2σ1和Ω2-Ω1=2ωn+ε2σ2

(16)

從qn2中消除久期項(xiàng)，可得：

(17)

式中：δn1為Delta函數(shù)，fn、αjn、y1和p1詳見(jiàn)附錄B，上標(biāo)橫線表示共軛項(xiàng)。

An(T2)可以表示為復(fù)數(shù)的極式表示：

(18)

式中：an和βn是T2的實(shí)函數(shù)。

因此將方程式(18)代入式(17)中，分離實(shí)部和虛部，當(dāng)n=1時(shí)，可知：

(19)

y1a1cos(γ2)=0

(20)

式中：γ1=σ1T2+3θ1-β1和γ2=σ2T2-θ1+θ2-2β1。

對(duì)于本文研究的組合聯(lián)合共振情況，不妨假設(shè)σ=σ1=σ2/2和γ=σT2-β1，可得穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程：

μ1a1-2p1sin(γ+3θ1)-y1a1sin(2γ-θ1+θ2)=0

(21)

y1a1cos(2γ-θ1+θ2)=0

(22)

式中：當(dāng)n≥2時(shí)，an≡0。

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性取決于奇點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)于響應(yīng)幅值和相位，引入兩個(gè)小參數(shù)：

a1=a10+a11和γ=γ0+γ1

(23)

將方程式(23)代入式(19)～(20)中，對(duì)小參數(shù)a11和γ1展開(kāi)，且已知a10和γ0滿足方程式(21)～(22)，保留到a11和γ1的線性項(xiàng)，可得：

(24)

(25)

式中：穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性取決于右端系數(shù)矩陣的特征值，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)特征值的實(shí)數(shù)部分均小于等于零時(shí)，穩(wěn)態(tài)解才是穩(wěn)定的，否則穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)就是不穩(wěn)定的。

3 數(shù)值算例與分析

懸索的各項(xiàng)物理參數(shù)分別為：L=200.0 m、A=7.069×10-2m2、E=200 GPa、ρ=7 800.0 kg/m3、α=1.2×10-5/℃以及g=9.81 m/s2。無(wú)量綱化后的阻尼系數(shù)為0.005，兩個(gè)激勵(lì)幅值均為0.05，且不考慮兩個(gè)激勵(lì)之間的相位差(θ1θ2=0)。

利用基本力法對(duì)懸索溫度變化前后進(jìn)行靜力學(xué)分析，可以得到張力改變系數(shù)的大小?；谔卣髦捣治觯梢缘玫綔囟茸兓昂蟮木€性項(xiàng)和非線性項(xiàng)系數(shù)的大小。數(shù)值計(jì)算時(shí)令方程式(21)～(22)中相位γ從0變化到2π，然后求解對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程組，即可得到系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線和調(diào)諧相位曲線，從而分析溫度變化對(duì)懸索組合聯(lián)合共振響應(yīng)特性的影響。

由于懸索的非線性振動(dòng)特性與其垂跨比的大小密切相關(guān)，而且溫度變化對(duì)于不同垂跨比的懸索表現(xiàn)出較大的區(qū)別，因此本文選取四組垂跨比的懸索進(jìn)行分析，分別為：0.002 5，0.006，0.01和0.015?；凇豆窐蚝O(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60—2015)中對(duì)溫度變化范圍的規(guī)定，本文溫度變化工況選取為±40℃和±20℃。

由于組合共振和超諧波共振同時(shí)存在，因此系統(tǒng)的振動(dòng)特性將變得更加復(fù)雜，如圖2～圖5所示，此時(shí)系統(tǒng)同時(shí)存在組合共振和超諧波共振響應(yīng)的特性。當(dāng)懸索發(fā)生組合聯(lián)合共振時(shí)，系統(tǒng)最多存在三支曲線，分別為A、B和C。對(duì)應(yīng)給定的調(diào)諧參數(shù)，系統(tǒng)最多存在五個(gè)穩(wěn)態(tài)解，其中三個(gè)是穩(wěn)定的(實(shí)線表示)，兩個(gè)是不穩(wěn)定的(虛線表示)，而最終解則由初始條件確定。由于系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線存在多解現(xiàn)象，為了更清晰的描述各類穩(wěn)態(tài)解，因此引入了調(diào)諧相位曲線，從該圖中可以清晰區(qū)別幅值非常接近的穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解。

圖2描述了當(dāng)懸索的垂跨比為0.002 5時(shí)，溫度變化對(duì)其非線性振動(dòng)特性的影響，此時(shí)懸索垂跨比非常小，幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)，系統(tǒng)展現(xiàn)出明顯的硬彈簧特性。隨著溫度上升，固有頻率下降，平方非線性項(xiàng)的系數(shù)增加，而立方非線性項(xiàng)的系數(shù)幾乎不變。從幅頻響應(yīng)曲線來(lái)看，此時(shí)振動(dòng)特性受溫度變化的影響有定量改變，隨著溫度上升，幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)程度增加，曲線整體向右移動(dòng)。而從調(diào)諧相位曲線而言，如圖所示，曲線B和C受溫度變化的影響要比A明顯。

(a)

(b)

圖3描述了四種溫度變化的工況情況下，系統(tǒng)發(fā)生組合聯(lián)合共振時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線和調(diào)諧相位曲線。曲線均由三支曲線組成，最多存在五個(gè)穩(wěn)態(tài)解。當(dāng)溫度變化為-20℃時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線仍然向右偏轉(zhuǎn)，展現(xiàn)出硬彈簧特性，圖中兩個(gè)不穩(wěn)定解的響應(yīng)幅值十分接近，但是從調(diào)諧相位曲線可以清晰地將其分別出來(lái)。然后溫度繼續(xù)降低至-40℃，此時(shí)共振的區(qū)間略有減小，幅頻響應(yīng)曲線的形式并沒(méi)有發(fā)生太明顯改變。但是觀察其調(diào)諧相位曲線圖，系統(tǒng)響應(yīng)幅值的相位卻發(fā)生了明顯的定性和定量的改變。當(dāng)溫度變化為+20℃時(shí)，此時(shí)幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)程度降低，而當(dāng)溫度變化為+40℃時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線反而向左偏偏轉(zhuǎn)，此時(shí)系統(tǒng)展現(xiàn)出明顯的軟彈簧特性，這一特性與溫度上升時(shí)，平方非線性項(xiàng)的系數(shù)明顯增大相關(guān)，此時(shí)在非線性振動(dòng)中平方非線性的軟化起了主導(dǎo)作用。對(duì)比其調(diào)諧相位曲線圖，同樣發(fā)生了明顯的定性和定量的變化。值得指出的是：圖3(a)、(b)和(c)中，兩個(gè)不穩(wěn)定解的幅值非常接近，但是如圖3(d)所示，此時(shí)響應(yīng)幅值較為接近的是兩個(gè)穩(wěn)定解。但是通過(guò)觀察期相位，可以清晰地將其分辨。

接著懸索的垂跨比進(jìn)一步增大到0.01，系統(tǒng)發(fā)生組合聯(lián)合共振時(shí)的振動(dòng)特性如圖4所示。圖4(b)、(c)和(d)分別表示溫度變化為-20℃、+20℃以及+40℃的工況，對(duì)比可知，此時(shí)系統(tǒng)在平方非線性的軟化作用下，會(huì)展現(xiàn)出明顯的軟彈簧特性，幅頻響應(yīng)曲線向左邊偏轉(zhuǎn)。而且隨著溫度的不斷上升，向左偏轉(zhuǎn)的程度不斷增加，反之，當(dāng)溫度下降時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線向做偏轉(zhuǎn)的程度則降低。當(dāng)環(huán)境溫度變化下降至-40℃，此時(shí)平方和立方非線性項(xiàng)的系數(shù)均減小，但是由于平方非線性項(xiàng)系數(shù)下降程度明顯大于立方非線性項(xiàng)，因此非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的軟化程度下降，硬化程度上升，從而導(dǎo)致幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)，展現(xiàn)出明顯的硬彈簧特性。對(duì)比相應(yīng)得調(diào)諧相位曲線，亦發(fā)生了明顯的定性和定量的改變，此時(shí)在響應(yīng)幅值較大的區(qū)間，兩個(gè)穩(wěn)定解和兩個(gè)不穩(wěn)定解的響應(yīng)幅值非常接近。

(a) ΔT=-40℃

(b) ΔT=-20℃

(c) ΔT=+20℃

(d) ΔT=+40℃

(a) ΔT=+20℃

(b) ΔT=-20℃

(c) ΔT=+20℃

(d) ΔT=+40℃

最后懸索的垂跨比增加至0.015，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線和調(diào)諧相位曲線如圖5所示。此時(shí)非線性振動(dòng)仍然最多存在五個(gè)穩(wěn)態(tài)解，而且兩個(gè)穩(wěn)態(tài)解的幅值非常接近，最終由系統(tǒng)的初始條件確定。在單模態(tài)離散的影響下，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線均向左偏轉(zhuǎn)，展現(xiàn)出明顯的軟彈簧特性。而且隨著環(huán)境溫度升高，向左偏轉(zhuǎn)程度增加，響應(yīng)幅值減??；反之，隨著環(huán)境溫度下降，向左偏轉(zhuǎn)程度降低，響應(yīng)幅值增大。對(duì)比溫度變化下的調(diào)諧相位曲線，均發(fā)生了一定程度的定量變化。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，如果懸索的垂跨比進(jìn)一步增大，溫度變化對(duì)振動(dòng)特性的影響并沒(méi)有再出現(xiàn)定性程度的改變，因此本文也就不再贅述。

(a)

(b)

4 結(jié) 論

本文對(duì)懸索一類減法型組合共振和三次超諧波共振同時(shí)發(fā)生時(shí)的響應(yīng)及其受溫度變化影響展開(kāi)了研究；與單頻激勵(lì)不同，此時(shí)系統(tǒng)同時(shí)展現(xiàn)出組合共振和超諧波共振響應(yīng)的特性，穩(wěn)態(tài)解個(gè)數(shù)、響應(yīng)幅值及相位、共振區(qū)間等均會(huì)發(fā)生改變；溫度變化會(huì)使得組合共振和超諧波共振發(fā)生定性和定量的改變，從而導(dǎo)致聯(lián)合共振響應(yīng)亦發(fā)生明顯的定性和定量的變化；懸索組合聯(lián)合共振響應(yīng)受溫度變化的影響與懸索的垂跨比和溫度變化的幅度密切相關(guān)；為了更好地區(qū)分系統(tǒng)受多頻激勵(lì)下的的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，研究解的相位非常重要。

附錄A

附錄B