王忠民， 吳力國

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 西安 710048)

在工程實(shí)際中，軸向伸展懸臂梁系統(tǒng)被廣泛的應(yīng)用，例如裝載車輛的伸縮構(gòu)件，可伸縮的機(jī)翼，伸縮機(jī)器人操縱器，航天飛行器的伸縮附件等。這類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的特點(diǎn)是時(shí)變和非線性的，并且系統(tǒng)的伸展運(yùn)動(dòng)和彈性大變形運(yùn)動(dòng)相互耦合。為了確保這些結(jié)構(gòu)能夠在穩(wěn)定安全的工作條件下正常運(yùn)行，對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的研究至關(guān)重要。

1992年，Sivakumar等[1]分析了端部帶有集中質(zhì)量的伸展回縮懸臂梁的橫向振動(dòng)及其振動(dòng)反饋控制問題。Stylianou等[2-3]采用了單元數(shù)量和節(jié)點(diǎn)不變、單元長度隨著時(shí)間的改變的有限單元法分析了伸展懸臂梁的橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性問題，得出了梁在伸展過程中彈性振動(dòng)穩(wěn)定，但在回縮過程中不穩(wěn)定。Al-Bedoor等[4]提出了一種改進(jìn)的有限單元法，將軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁分為兩段：支撐段假定成剛性體，懸臂段采用柔性體。將支撐體和懸臂段之間用一個(gè)變剛度的單元聯(lián)接，并用有限單元法對(duì)懸臂段進(jìn)行離散，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。這樣梁單元的數(shù)目和單元的長度均不改變，僅僅改變聯(lián)接處的單元的剛度，但其過程非常復(fù)雜。Piovan等[5]采用有限單元法分析了沿軸向伸展和回縮的環(huán)形截面的功能梯度材料梁的振動(dòng)問題，得到了在不同的伸展速率和不同的梯度指標(biāo)下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值解。Rogers等[6]采用了有限單元法分析了軸向運(yùn)動(dòng)為伸展和回縮彈性梁的橫向振動(dòng)問題，其方法是不改變梁單元的長度，梁單元的數(shù)量和節(jié)點(diǎn)隨著時(shí)間改變而改變。Wang等[7]運(yùn)用哈密頓原理研究了伸展黏彈性梁的橫向彈性振動(dòng)和軸向移動(dòng)的耦合問題。Chang等[8]基于Rayleigh梁理論和Floquet理論，研究了懸臂梁在勻速運(yùn)動(dòng)和伸展回縮的周期運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)下的橫向振動(dòng)和動(dòng)力穩(wěn)定性。羅炳華等[9]建立了軸向伸展梁受移動(dòng)載荷作用的有限元模型，提出了描述運(yùn)動(dòng)梁節(jié)點(diǎn)約束狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)生死方法，計(jì)算了火炮炮口點(diǎn)處的橫向動(dòng)力響應(yīng)。Downer等[10]提出了用變長度的有限元方法分析伸展梁的橫向振動(dòng)。Park等[11]根據(jù)von Karman非線性應(yīng)變理論，推導(dǎo)了縱向和橫向相互耦合的動(dòng)力學(xué)方程，分析了當(dāng)懸臂梁伸長或者回縮的過程中，其縱向和橫向的振動(dòng)響應(yīng)。Yang等[12]分析了軸向回縮懸臂梁系統(tǒng)在回縮過程中的能量和等離子絕熱不變量特性。趙亮等[13]應(yīng)用廣義哈密爾頓原理及假設(shè)模態(tài)法，導(dǎo)出了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度懸臂梁的動(dòng)力學(xué)方程，分析了梁在伸展、收縮時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性。楊鑫等[14]研究了兩端簡支不可移、軸向運(yùn)動(dòng)梁在熱沖擊作用下的橫向振動(dòng)特性。譚霞等[15]研究了外部激勵(lì)作用下，超臨界軸向運(yùn)動(dòng)Timoshanko梁橫向非線性振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

伸展懸臂梁系統(tǒng)中含有剛體運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)，本文采用Shabana提出的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[16](Absolute Nodal Coordinate Formulation，ANCF)，利用該法便于處理剛?cè)狁詈洗笞冃蝿?dòng)力學(xué)問題的優(yōu)點(diǎn)，建立了一種變長度的Euler-Bernoulli梁單元模型，并從大變形下準(zhǔn)確的曲率和Green-Lagrangian正應(yīng)變出發(fā)，基于考慮慣性力的虛功原理，得到了軸向伸展懸臂梁的單元非線性動(dòng)力學(xué)方程組，以及組裝后的伸展懸臂梁系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程組。最后，通過算例分析了材料特性參數(shù)(彈性模量、密度)和不同的伸展規(guī)律(勻速伸展、勻加速伸展)對(duì)伸展懸臂梁系統(tǒng)的末端非線性撓度響應(yīng)的影響。

1 變長度絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的單元描述

(1)

式中(·)=d()/dt。在圖2中，對(duì)第i單元建立其自身的隨體坐標(biāo)系oxeye，任意一點(diǎn)p相對(duì)于oxeye和OXY的坐標(biāo)分別為xe和X，單元i左端部相對(duì)于OXY坐標(biāo)原點(diǎn)O的長度為Li(t)，有

Xi=Li+xe

(2)

點(diǎn)P相對(duì)于絕對(duì)坐標(biāo)系在X方向上的速度為

(3)

(4)

圖1 初始瞬時(shí)的軸向伸展懸臂梁

圖2 任意瞬時(shí)的軸向伸展懸臂梁

圖3 變長度的柔性梁單元

(5)

[e4i-3e4i-2e4i-1e4ie4i+1…e4i+2e4i+3e4i+4]

(6a)

Φ=[φ1(ξ)I2×2φ2(ξ,t)I2×2φ3(ξ)I2×2×

φ4(ξ,t)I2×2]

(6b)

(6c)

(6d)

2 變長度梁單元的非線性動(dòng)力學(xué)方程

2.1 慣性力的虛功

值得注意的是，與傳統(tǒng)的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法不同，變長度單元的形函數(shù)矩陣與時(shí)間有關(guān)，即是時(shí)變的。將式(5)對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得

(7)

(8)

式中：

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

(9e)

(10)

式中：

(11a)

(11b)

(11c)

2.2 彈性力的虛功

設(shè)梁單元的材料均勻和各向同性，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論和幾何非線性理論，將梁的彈性力分為軸向應(yīng)變產(chǎn)生的和彎曲應(yīng)變產(chǎn)生的兩部分。

梁單元的軸向Green-Lagrangian正應(yīng)變?yōu)?/p>

(12)

梁單元由軸向產(chǎn)生的彈性力所做的虛功為

(13)

式中:

(14)

梁單元的準(zhǔn)確的大變形曲率為

(15)

梁單元由彎曲應(yīng)變產(chǎn)生的彈性力所做的虛功為

(16)

式中:

(17)

3.3 外力的虛功

在絕對(duì)坐標(biāo)系下，梁單元上任意一點(diǎn)的均布體力向量為F=[0 -ρg]T，重力(體力)做的虛功為

(18)

梁單元受到的廣義均布重力的表達(dá)式為

(19)

2.4 變長度伸展梁單元無約束非線性動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)彈性體的虛功原理知，變長度梁單元的慣性力、彈性力、廣義外力所做的虛功有

(20)

把式(10)、(13)、(16)和(18)代入式(20)，得到變長度伸展梁單元的無約束非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組

(21)

3 伸展懸臂梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組

為了得到伸展懸臂梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組，需要對(duì)劃分的變長度梁單元進(jìn)行組裝。若將伸展懸臂梁劃分為了n個(gè)單元，那么總共包含n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含四個(gè)廣義位移分量。令u為伸展懸臂梁的整體位移列陣

u=[e1e2e3e4…e4n+1e4n+2e4n+3e4n+4]T

(22)

(23)

伸展懸臂梁上的慣性力做的總虛功為

(24)

式中:

(25a)

(25b)

(25c)

同理得到

(26)

(27)

組裝后的伸展懸臂梁系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程組為

(28)

該系統(tǒng)的約束方程可寫為P(u,t)=0，即e1=e2=0,e3=1,e4=0。引入拉格朗日乘子λ，伸展懸臂梁系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程組為

(29)

式中：Pu為約束的Jacobi矩陣。

方程(29)的系數(shù)方陣中包含有時(shí)間和u，所以伸展懸臂梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是時(shí)變的非線性動(dòng)力學(xué)方程，或化為關(guān)于時(shí)間的微分代數(shù)方程組。利用龍格—庫塔法求解時(shí)變系數(shù)的微分代數(shù)方程組。

4 數(shù)值計(jì)算與分析

圖4 勻加速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)

4.1 材料特性參數(shù)對(duì)勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

懸臂梁作伸展運(yùn)動(dòng)時(shí)，伸展長度遵循一定的規(guī)律，即可以按著勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律伸展，也可以按著加速、指數(shù)、正弦或其他規(guī)律伸展。由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性受很多方面的影響，下面分析材料的性能參數(shù)(密度、彈性模量)和伸展規(guī)律(勻速、勻加速)對(duì)伸展懸臂梁末端非線性撓度響應(yīng)的影響。

參數(shù)選取為：橫截面面積A=1.6×10-3m2，慣性矩I=2.133×10-7m4，勻速伸展規(guī)律為L=L0+vt=0.9+0.4t(m)，初始時(shí)刻末端的撓度值為0.009 6 m。

在彈性模量E=1.4×109Pa下，分別選取材料質(zhì)量密度1 770 kg/m3和1 040 kg/m3，計(jì)算的勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)如圖5所示。由圖可知，在伸展時(shí)間4 s內(nèi)，材料密度較大的伸展懸臂梁末端撓度最大值稍大一些，但密度較小的伸展懸臂梁末端響應(yīng)的振動(dòng)頻率較大，即伸展結(jié)構(gòu)越輕，將使伸展懸臂梁的末端橫向振動(dòng)頻率增大。

圖5 材料密度對(duì)勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

在材料密度ρ=1 770 kg/m3下，分別選取彈性模量E=8.3×109Pa和E=1.4×109Pa，圖6給出了彈性模量對(duì)勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響。從圖可以看出，在伸展時(shí)間4 s內(nèi)，兩者的末端撓度最大值相差不大，但彈性模量較大的伸展懸臂梁末端撓度的振動(dòng)頻率較大，即增大材料的彈性模量，相當(dāng)于增大了系統(tǒng)的剛度，故頻率增加。

圖6 彈性模量對(duì)勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

4.2 速度和加速度對(duì)伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

選取質(zhì)量密度ρ=1 770 kg/m3，彈性模量E=1.4×109Pa。懸臂梁以v=0.2 m/s和v=0.4 m/s的常速度勻速伸展，末端非線性撓度響應(yīng)如圖7所示。從圖可以看出，在伸展時(shí)間4 s內(nèi)，較大的伸展速度導(dǎo)致懸臂梁的末端最大撓度值較大，但振動(dòng)頻率小于低速伸展懸臂梁的振動(dòng)頻率。所以，當(dāng)懸臂梁以不同的速度伸展相同長度時(shí)，低速伸展的懸臂梁，其末端橫向振動(dòng)的頻率較大。

對(duì)勻加速伸展的懸臂梁，設(shè)其伸展規(guī)律為L(t)=0.9+0.5at2，即初始長度為0.9 m，以加速度為a作勻加速伸展。伸展加速度為a=0.1 m/s和a=0.2 m/s時(shí)得到伸展懸臂梁的末端撓度響應(yīng)如圖8所示。由圖可知，在初始瞬時(shí)范圍內(nèi)，以不同加速度伸展的懸臂梁的末端撓度響應(yīng)幾乎相差不大，但隨著時(shí)間的增加，懸臂梁的末端撓度值都在增大，且較大加速度伸展的懸臂梁末端撓度大于較小加速度撓度值。較大加速度伸展的懸臂梁的末端振動(dòng)頻率要小于較小加速度伸展的懸臂梁的末端振動(dòng)頻率。

圖7 不同勻速伸展速度下懸臂梁末端撓度響應(yīng)

懸臂梁分別以速度為v=0.4 m/s勻速伸展和以加速度為a=0.2 m/s2勻加速伸展的末端撓度響應(yīng)如圖9所示，在t=4 s時(shí)，懸臂段長度均為2.5 m，前者的在4 s伸展時(shí)間內(nèi)，懸臂梁的末端最大撓度較大，但懸臂梁勻速伸展時(shí)其末端的振動(dòng)頻率要小于勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律伸展的情況。

圖8 不同加速伸展時(shí)懸臂梁末端撓度響應(yīng)

圖9 不同伸展規(guī)律下伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)

5 結(jié) 語

(1) 采用變長度單元的ANCF建立了伸展懸臂梁剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，與已有算例的結(jié)果比較說明了該法的可行性和有效性。

(2) 在勻速伸展條件下，彈性模量和質(zhì)量密度均對(duì)伸展懸臂梁的末端撓度響應(yīng)有影響，當(dāng)材料的彈性模量越大和材料較輕時(shí)，均使得伸展懸臂梁的末端振動(dòng)頻率增大。

(3) 對(duì)勻速伸展的懸臂梁，較大的伸展速度導(dǎo)致懸臂梁的末端最大撓度值較大，但振動(dòng)頻率小于低速伸展懸臂梁的振動(dòng)頻率。對(duì)勻加速伸展的懸臂梁，較大加速度伸展的懸臂梁末端撓度大于較小加速度撓度值，但前者的振動(dòng)頻率要小于后者。