韓俊淑， 孫景工， 孟令帥

(軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院 衛(wèi)生裝備研究所，天津 300161)

本文設(shè)計(jì)了一種曲面-彈簧-滾子機(jī)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度非線性隔振器，如圖1所示，該機(jī)構(gòu)采用曲面-彈簧-滾子獲得負(fù)剛度，具有承載力大、結(jié)構(gòu)尺寸小、簡(jiǎn)單實(shí)用等特點(diǎn)。文中對(duì)所設(shè)計(jì)的隔振器開展了動(dòng)態(tài)特性研究，針對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)不在隔振器最小剛度點(diǎn)的情況，研究了最小剛度分別為零剛度與正剛度時(shí)，不同激勵(lì)幅值、偏移量、阻尼比條件下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，并開展了相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證研究。

1 隔振器模型

1.1 曲面-彈簧-滾子隔振器

如圖1所示，所設(shè)計(jì)的曲面-彈簧-滾子機(jī)構(gòu)包括豎直彈簧1、水平彈簧2、支架3、滾子4及曲面座5等。曲面座與車廂地板或其他基座相連，支架用于支撐載質(zhì)量且隨豎直彈簧上下運(yùn)動(dòng)，滾子可在曲面座軌道內(nèi)上下滾動(dòng)，假設(shè)滾子與曲面座始終處于接觸狀態(tài)。圖1(a)、(b)所示分別為該機(jī)構(gòu)處于初始位置和平衡位置的狀態(tài)，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于平衡位置時(shí)，滾子與曲面座的曲面頂點(diǎn)接觸，機(jī)構(gòu)各參數(shù)如圖中所示，kv為豎直彈簧剛度；kh為水平彈簧剛度；uv為豎直彈簧預(yù)壓縮量；uh為水平彈簧預(yù)壓縮量。

(a) 初始位置(b) 平衡位置

圖1 非線性隔振器的結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 The schematic representation of the nonlinear vibration isolator

建立如圖1(a)所示坐標(biāo)系，設(shè)滾子初始位置球心坐標(biāo)為(x0,y0)，滾子在曲面座軌道內(nèi)向下滾動(dòng)到任意位置(x,y)，根據(jù)受力平衡，得到被隔振物體在豎直方向的力和位移的關(guān)系：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 系統(tǒng)回復(fù)力近似

(5)

(6)

2 動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

(7)

式中：“-”代表欠載狀態(tài)。

(a) 過載狀態(tài)

(b) 欠載狀態(tài)

假設(shè)系統(tǒng)在過載或欠載條件下達(dá)到靜力平衡后，受到來自基座或車廂地板的諧波位移激勵(lì)z=Z0cos(ωt)，根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(8)

得到系統(tǒng)的無量綱近似穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(9)

(10)

采用諧波平衡法對(duì)上式求解，設(shè)該穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的形式為：

(11)

式中：A0、A1分別為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的常數(shù)項(xiàng)及諧波項(xiàng)幅值。

將式(11)代入式(10)，忽略高次諧波項(xiàng)，并令相同類別的諧波項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)相等，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件為：

(12a)

(12b)

(12c)

由式(12b)、(12c)方程兩邊求平方和，可得系統(tǒng)幅頻響應(yīng)函數(shù)為：

(13)

聯(lián)立式(12a)、(13)，可得到關(guān)于A0的隱函數(shù)方程：

(14)

去掉負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，可以得到與之對(duì)應(yīng)的等效線性系統(tǒng)，其無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(15)

該等效線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值為

(16)

2.2 定義傳遞率

則系統(tǒng)絕對(duì)位移傳遞率表達(dá)式為：

(17)

絕對(duì)加速度傳遞率為系統(tǒng)響應(yīng)無量綱絕對(duì)加速度幅值與無量綱激勵(lì)幅值的比值，即

(18)

可以看出，過載或欠載系統(tǒng)絕對(duì)位移傳遞率必大于其絕對(duì)加速度傳遞率。

對(duì)于等效線性系統(tǒng)，絕對(duì)位移傳遞率與絕對(duì)加速度傳遞率具有相同表達(dá)式，分別為

(19)

(20)

以上各式中cosφ可由式(12b)得到。

2.3 最小剛度為零時(shí)的特性分析

當(dāng)系統(tǒng)最小剛度為零，即前文所建立的隔振器動(dòng)力學(xué)模型中k1=0，可得過載(欠載)狀態(tài)下的系統(tǒng)近似穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(21)

采用諧波平衡法對(duì)上式求解，可得系統(tǒng)幅頻響應(yīng)函數(shù)及常數(shù)項(xiàng)與諧波項(xiàng)幅值的隱函數(shù)方程[19]。設(shè)式(21)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為式(22)的形式，其中δ(τ)為解的微小擾動(dòng)量。

(22)

將其代入式(21)，略去高階擾動(dòng)量，并設(shè)δ(τ)=σ(τ)e-st，簡(jiǎn)化后得到

6k3A0A1cos(Ωτ+φ)+

(23)

于是，根據(jù)Floquet理論，可得系統(tǒng)穩(wěn)定性條件為：

b0(b0-Ω2)2>0

(24)

當(dāng)Δ>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，由此即可得到系統(tǒng)不穩(wěn)定解(各圖中不穩(wěn)定解以虛線表示)。

表1 諧波位移激勵(lì)條件下的參數(shù)取值

由傳遞率曲線可知，過載系統(tǒng)的絕對(duì)位移傳遞率永遠(yuǎn)大于其絕對(duì)加速度傳遞率。在諧波位移激勵(lì)下，隨激勵(lì)幅值增大，過載系統(tǒng)絕對(duì)位移和加速度傳遞率峰值及與之對(duì)應(yīng)的共振頻率均先減小后增大，當(dāng)激勵(lì)幅值增大到一定值時(shí)，過載系統(tǒng)傳遞率峰值會(huì)出現(xiàn)無限大值，系統(tǒng)隔振性能變差。同一激勵(lì)條件下，隨偏移量增大，過載系統(tǒng)傳遞率曲線向左或先向左后向右偏，傳遞率峰值增大。隨阻尼比增大，三個(gè)系統(tǒng)在共振頻率附近的區(qū)間內(nèi)，傳遞率峰值減小，相應(yīng)的共振頻率先減小后增大，高頻區(qū)域內(nèi)各系統(tǒng)傳遞率增大，高頻隔振性能下降。

(a) 幅頻響應(yīng)曲線

(b) 傳遞率曲線

(“I組曲線”—絕對(duì)加速度傳遞率，“II組曲線”—絕對(duì)位移傳遞率，“III組曲線”—理想系統(tǒng)傳遞率，“IV組曲線”—等效線性系統(tǒng)傳遞率，“虛線”—不穩(wěn)定解)

圖3 不同偏移量與激勵(lì)幅值條件下的幅頻響應(yīng)與傳遞率曲線

Fig.3 FRCs and Transmissibility Curves of different offset displacements and excitation amplitudes

(a) 幅頻響應(yīng)曲線

(b) 傳遞率曲線

(“I組曲線”—絕對(duì)加速度傳遞率，“II組曲線”—絕對(duì)位移傳遞率，“III組曲線”—理想系統(tǒng)傳遞率，“IV組曲線”—等效線性系統(tǒng)傳遞率，“虛線”—不穩(wěn)定解)

圖4 不同偏移量與阻尼比條件下的幅頻響應(yīng)與傳遞率曲線

Fig.4 FRCs and Transmissibility Curves of different offsetdisplacements and damping ratio

2.4 最小剛度為正值時(shí)的特性分析

當(dāng)系統(tǒng)最小剛度為正值，即前文所建立的隔振器動(dòng)力學(xué)模型中k1>0，依據(jù)式(13)、(17)(18)可分別研究系統(tǒng)頻響特性與傳遞率特性，激勵(lì)幅值、偏移量等具體參數(shù)設(shè)置見表2。

表2 諧波位移激勵(lì)條件下的參數(shù)取值

如圖5所示，為不同偏移量及線性剛度系數(shù)下的系統(tǒng)頻響曲線，圖中給出了最小剛度為零系統(tǒng)與等效線性系統(tǒng)的頻響曲線作為比較。

如圖5(a)，過載系統(tǒng)在給定的較小激勵(lì)幅值下，未出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。系統(tǒng)響應(yīng)的諧波項(xiàng)峰值隨線性剛度系數(shù)變大而增大，系統(tǒng)響應(yīng)常數(shù)項(xiàng)則隨線性剛度系數(shù)變大而減小。隨著線性剛度系數(shù)增大，過載系統(tǒng)最小剛度從零逐漸增大，其共振頻率先減小后增大，系統(tǒng)響應(yīng)的諧波項(xiàng)幅值逐漸增大，而常數(shù)項(xiàng)幅值峰值逐漸減小，即系統(tǒng)響應(yīng)距離原平衡點(diǎn)的靜態(tài)偏移量越小。換句話說，當(dāng)非線性隔振器具有一定的線性剛度系數(shù)時(shí)，過載系統(tǒng)卻可能具有更低的共振頻率。

如圖5(b)，具有較大偏移量的過載系統(tǒng)同樣具有如圖5(a)的頻響特性。區(qū)別在于，隨著線性剛度系數(shù)增大，共振頻率低于零剛度過載系統(tǒng)的系統(tǒng)數(shù)量增多，也就是說在較小激勵(lì)幅值條件下，對(duì)于較大偏移量的系統(tǒng)來說，隨線性剛度增大過載系統(tǒng)共振頻率先減小后增大的現(xiàn)象更明顯。

由圖5(c)可以看出，激勵(lì)幅值增大，系統(tǒng)非線性明顯增強(qiáng)，出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。隨著線性剛度系數(shù)增大，系統(tǒng)共振頻率先減小后增大，系統(tǒng)表現(xiàn)為漸軟-漸硬及漸硬剛度特性。與較小激勵(lì)幅值的情況相比，具有較大的正剛度且其共振頻率低于最小剛度為零過載系統(tǒng)的系統(tǒng)數(shù)量呈減少趨勢(shì)。

(a) 較小激勵(lì)幅值較小偏移量的情況

(b) 較小激勵(lì)幅值較大偏移量的情況

(c) 較大激勵(lì)幅值情況

(“1”：k1=0，“2”：k1=0.005， “3”：k1=0.02，“4”：k1=0.05，“5”：k1=0.1，“6”—線性系統(tǒng))

圖5 不同偏移量與激勵(lì)幅值條件下的系統(tǒng)頻響曲線

Fig.5 FRCs of different offset displacements and damping ratio

由以上分析可以看出，對(duì)于較小激勵(lì)幅值作用下的過載系統(tǒng)來說，若希望獲得更低的共振頻率，令系統(tǒng)擁有一個(gè)相對(duì)較小的正剛度比單純追求低剛度更行之有效。這是由于一旦存在過載，系統(tǒng)響應(yīng)中必然存在常數(shù)項(xiàng)，它會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)中心偏離靜平衡位置一定距離，剛度越低，這種偏離越嚴(yán)重。

圖6 不同激勵(lì)幅值下的過載系統(tǒng)絕對(duì)加速度與位移傳遞率曲線

Fig.6 Absolute acceleration and displacement transmissibility curves of different excitation amplitudes

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，構(gòu)建了該曲面-彈簧-滾子機(jī)構(gòu)的非線性隔振器原理樣機(jī)及振動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)，并開展了隔振器振動(dòng)試驗(yàn)研究，如圖8所示。

圖7 不同線性剛度系數(shù)下的系統(tǒng)絕對(duì)加速度與位移傳遞率曲線

Fig.7 Absolute acceleration and displacement transmissibilitycurves of different linear coefficients

1.信號(hào)發(fā)生控制器；2.DASP信號(hào)采集系統(tǒng)；3.非線性隔振系統(tǒng);4.液壓振動(dòng)臺(tái);5.計(jì)算機(jī),6.響應(yīng)加速度傳感器;7.被隔振物體;8.隔振器;9.固定夾具;10.激勵(lì)加速度傳感器

圖8 振動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)現(xiàn)場(chǎng)

Fig.8 Experimental setup

利用液壓振動(dòng)臺(tái)，搭建了振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并開展了優(yōu)化前后隔振器隔振性能和過載條件下隔振器隔振性能測(cè)試試驗(yàn)，如圖8所示。系統(tǒng)受到來自液壓振動(dòng)臺(tái)的正弦位移激勵(lì)，激勵(lì)頻率0.2～15 Hz，設(shè)定不同激勵(lì)幅值分別為3、3.5、4、4.5、5 mm，超載質(zhì)量為2 kg和4 kg。分別在液壓振動(dòng)臺(tái)與被隔振物體表面布置加速度傳感器，通過DASP數(shù)據(jù)采集分析軟件采集兩者在不同頻率位移激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，分別得到隔振系統(tǒng)響應(yīng)與位移激勵(lì)的均方根值，二者之比即為隔振系統(tǒng)傳遞率。

系統(tǒng)受到來自液壓振動(dòng)臺(tái)的正弦位移激勵(lì)，激勵(lì)頻率為0.2～15 Hz，設(shè)定不同激勵(lì)幅值分別為3、3.5、4、4.5、5 mm，超載質(zhì)量為2 kg和4 kg。分別在液壓振動(dòng)臺(tái)與被隔振物體表面布置加速度傳感器，通過DASP數(shù)據(jù)采集分析軟件采集兩者在不同頻率位移激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，分別得到隔振系統(tǒng)響應(yīng)與位移激勵(lì)的均方根值，二者之比即為隔振系統(tǒng)傳遞率。不同激勵(lì)幅值條件下，過載系統(tǒng)的實(shí)際加速度傳遞率曲線，如圖9所示?？梢钥闯?，隨激勵(lì)幅值增大，過載系統(tǒng)的傳遞率峰值及與之相對(duì)應(yīng)的共振頻率呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律，與前文理論仿真分析的結(jié)果一致。但由于系統(tǒng)阻尼較大，試驗(yàn)并未出現(xiàn)非線性現(xiàn)象，這也印證了增大阻尼可使系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象消失，避開不穩(wěn)定區(qū)域的分析結(jié)論。圖10所示為在3 mm激勵(lì)幅值的諧波位移激勵(lì)下，不同超載質(zhì)量系統(tǒng)的傳遞率對(duì)比圖?？梢钥闯觯S著超載質(zhì)量增大，系統(tǒng)偏移量增大，隔振系統(tǒng)傳遞率曲線峰值和響應(yīng)的共振頻率均增大，但隔振性能依然優(yōu)于線性系統(tǒng)。

(“1”-3 mm； “2”-3.5 mm； “3”-4 mm； “4”-4.5 mm； “5”-5 mm)

4 結(jié) 論

本文采用曲面、彈簧、滾子構(gòu)成的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種非線性隔振器，得到了隔振器具有零剛度的參數(shù)條件，建立了過載系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，定義了絕對(duì)位移傳遞率與絕對(duì)加速度傳遞率；分別研究了隔振器最小剛度為零和為正值時(shí)，過載系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。結(jié)果表明，最小剛度為零的過載系統(tǒng)，在諧波位移激勵(lì)下，隨激勵(lì)幅值增大呈現(xiàn)漸軟或漸軟-漸硬、漸硬及無限大響應(yīng)漸硬的剛度特性；隨偏移量減小，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解常數(shù)項(xiàng)幅值、諧波項(xiàng)幅值及相應(yīng)的共振頻率均越小，系統(tǒng)隔振頻率范圍擴(kuò)大，且最低隔振起始頻率降低，但始終大于偏移量為零時(shí)的值；適當(dāng)?shù)臏p小偏移量和激勵(lì)幅值大小，可提高系統(tǒng)隔振性能，增大阻尼比，可減小系統(tǒng)響應(yīng)幅值峰值，避免過載系統(tǒng)可能存在的跳躍現(xiàn)象與不穩(wěn)定區(qū)域，但卻以犧牲高頻區(qū)域內(nèi)隔振性能為代價(jià)而提高其低頻隔振性能。最小剛度為正值時(shí)，當(dāng)激勵(lì)幅值較小且系統(tǒng)偏移量較小時(shí)，隨最小剛度由小到大，過載系統(tǒng)響應(yīng)的諧波項(xiàng)峰值增大而常數(shù)項(xiàng)峰值減小，共振頻率先減小后增大，出現(xiàn)共振頻率最小的系統(tǒng)為具有一定正剛度系統(tǒng)的現(xiàn)象；當(dāng)激勵(lì)幅值較小且系統(tǒng)偏移量增大，隨最小剛度由小到大，共振頻率最小的系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的正剛度增大；當(dāng)系統(tǒng)偏移量較小而激勵(lì)幅值增大時(shí)，隨系統(tǒng)最小剛度增大，共振頻率最小的系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的正剛度值減小。故，對(duì)于受較小激勵(lì)的過載系統(tǒng)而言，若希望獲得較小的共振頻率，可使系統(tǒng)具有一定正剛度。

(“1”—2 kg， “2”—4 kg， “3”—線性系統(tǒng))

通過實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了最小剛度為零條件下過載系統(tǒng)的隔振特性。結(jié)果表明，隨著激勵(lì)幅值增大，過載系統(tǒng)傳遞率峰值及與之相應(yīng)的共振頻率先減小后增大；隨著偏移量減小，系統(tǒng)傳遞率曲線峰值和響應(yīng)共振頻率減小；當(dāng)阻尼比過大時(shí)，實(shí)際傳遞率曲線并未出現(xiàn)非線性現(xiàn)象，阻尼比增大有助于消除系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象和不穩(wěn)定區(qū)域。與線性隔振器相比，即使是過載或欠載使用，具有負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的隔振器仍然具有很好的低頻隔振性能，因此負(fù)剛度機(jī)構(gòu)是一種非常有效的減小共振頻率的方法。

在該類非線性隔振器的設(shè)計(jì)與使用中，選擇設(shè)置合理的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)，并適當(dāng)限制其所能承受的最大激勵(lì)幅值，以保證系統(tǒng)具有較低的共振頻率并避免出現(xiàn)響應(yīng)幅值過大，使隔振器具有較好的隔振性能。本文為該類隔振器的實(shí)現(xiàn)提供了一套非常有用的設(shè)計(jì)方法，能夠今后該類非線性隔振器的設(shè)計(jì)提供很好的參考與借鑒。