李雄飛， 程 偉

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083)

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，研制高精度高穩(wěn)定性航天器成為當(dāng)前一個(gè)重要的課題，也是航天技術(shù)發(fā)展的必然趨勢(shì)，因此，在衛(wèi)星的研制過程中對(duì)平臺(tái)穩(wěn)定性提出了越來越嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)[1-2]。然而，衛(wèi)星在軌運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的微振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響平臺(tái)穩(wěn)定性，從而降低衛(wèi)星的指向精度和成像精度等關(guān)鍵性能指標(biāo)[3]。衛(wèi)星微振動(dòng)具有幅值低和頻帶寬的特點(diǎn)，通常由其內(nèi)部安裝的活動(dòng)部件運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生，比如動(dòng)量輪，控制力矩陀螺，太陽翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，制冷機(jī)等，其中，動(dòng)量輪和控制力矩陀螺通常被認(rèn)為是最主要的擾振源[4-5]。

動(dòng)量輪常用于衛(wèi)星的姿態(tài)控制，其工作原理為通過改變高速旋轉(zhuǎn)飛輪的加速度產(chǎn)生反作用力矩。動(dòng)量輪在提供控制力矩的同時(shí)，也會(huì)帶來不利的振動(dòng)，這些振動(dòng)被稱為動(dòng)量輪微振動(dòng)[6]。動(dòng)量輪微振動(dòng)主要由以下四個(gè)方面原因引起：①飛輪質(zhì)量不平衡；②內(nèi)部結(jié)構(gòu)共振；③軸承缺陷；④電機(jī)擾動(dòng)[7]。其中，飛輪質(zhì)量不平衡被認(rèn)為是最主要的因素，因此，動(dòng)量輪微振動(dòng)具有倍頻諧波特性，由于飛輪支撐軸承的調(diào)制作用，動(dòng)量輪微振動(dòng)又具有子諧波特性[8]。動(dòng)量輪在工作過程中是變速的，因此，動(dòng)量輪微振動(dòng)基頻是變化的，且頻率分布在中高頻，使得對(duì)于動(dòng)量輪微振動(dòng)的控制和抑制十分困難。并且，動(dòng)量輪微振動(dòng)極易與其安裝的衛(wèi)星彈性界面發(fā)生結(jié)構(gòu)耦合。動(dòng)量輪微振動(dòng)會(huì)激發(fā)出彈性安裝界面的結(jié)構(gòu)模態(tài)，產(chǎn)生較大的振動(dòng)，安裝界面的振動(dòng)又會(huì)反過來作用于動(dòng)量輪，產(chǎn)生更多的振動(dòng)[9]。動(dòng)量輪微振動(dòng)與彈性界面的耦合機(jī)理較為復(fù)雜，且將進(jìn)一步影響衛(wèi)星的關(guān)鍵性能指標(biāo)。因此，隨著高分遙感衛(wèi)星的不斷發(fā)展，研究動(dòng)量輪在彈性邊界的耦合微振動(dòng)特性意義重大。

國(guó)外對(duì)于動(dòng)量輪在彈性邊界的微振動(dòng)進(jìn)行了長(zhǎng)期的研究，且取得了較多的成果。文獻(xiàn)[10]采用加速度反饋法，建立了動(dòng)量輪與彈性安裝界面的單自由度彈簧質(zhì)量模型，并對(duì)模型進(jìn)行了仿真分析，分析結(jié)果表明：當(dāng)動(dòng)量輪模型中不考慮內(nèi)部彈性，進(jìn)行彈性邊界耦合分析時(shí)，可將動(dòng)量輪等效成剛體；當(dāng)考慮內(nèi)部彈性時(shí)，這種耦合分析方法會(huì)引起較大的誤差。為了減小忽略動(dòng)量輪內(nèi)部彈性引起的誤差，文獻(xiàn)[11-13]提出了一種基于動(dòng)質(zhì)量測(cè)試技術(shù)的耦合分析方法，該方法引入修正項(xiàng)對(duì)動(dòng)量輪剛性界面的測(cè)試頻譜進(jìn)行修正，將修正后的頻譜輸入到航天器傳遞函數(shù)模型預(yù)測(cè)其響應(yīng)。其中，引入的修正項(xiàng)可通過動(dòng)量輪界面和彈性界面的動(dòng)質(zhì)量測(cè)試得到。該方法在大部分頻帶內(nèi)起到了較好的修正效果，然而，在某些頻帶內(nèi)效果依然不好，其主要原因是動(dòng)量輪界面動(dòng)質(zhì)量測(cè)試未能考慮飛輪陀螺效應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[14-17]利用試驗(yàn)和仿真相結(jié)合的方法研究飛輪陀螺效應(yīng)對(duì)耦合分析的影響，開發(fā)了一套地震微振動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)，應(yīng)用該系統(tǒng)測(cè)試了動(dòng)量輪在彈性安裝界面的擾振，并建立了動(dòng)量輪與該測(cè)試系統(tǒng)的理論模型，分析認(rèn)為陀螺效應(yīng)對(duì)耦合擾動(dòng)分析具有較大的影響。國(guó)內(nèi)對(duì)于動(dòng)量輪在彈性界面微振動(dòng)的研究相對(duì)較少。文獻(xiàn)[18]應(yīng)用動(dòng)質(zhì)量測(cè)試技術(shù)研究了微振動(dòng)測(cè)試平臺(tái)剛度對(duì)動(dòng)量輪微振動(dòng)測(cè)試的影響，研究表明，動(dòng)質(zhì)量測(cè)試與理論建模相結(jié)合的方法能較好地體現(xiàn)測(cè)試臺(tái)剛度對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響，對(duì)考慮耦合效應(yīng)的微振動(dòng)測(cè)試具有一定的借鑒意義。文獻(xiàn)[19]提出了一種微振動(dòng)源解耦加載的方法，實(shí)現(xiàn)了微振動(dòng)源與航天器結(jié)構(gòu)的解耦，該方法適用于動(dòng)量輪、控制力矩陀螺等常見的微振動(dòng)源加載。

本文將應(yīng)用頻域子結(jié)構(gòu)方法研究動(dòng)量輪在彈性邊界的微振動(dòng)特性，頻域子結(jié)構(gòu)方法的基本思想為綜合子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)得到整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣，整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣可用于計(jì)算其響應(yīng)。在研究過程中將動(dòng)量輪與彈性邊界耦合振動(dòng)系統(tǒng)劃分成動(dòng)量輪和彈性邊界兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，并分別計(jì)算兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。動(dòng)量輪的頻響函數(shù)通過建立其運(yùn)動(dòng)方程得到，彈性邊界的頻響函數(shù)通過有限元仿真得到。然后應(yīng)用頻域子結(jié)構(gòu)法綜合動(dòng)量輪和彈性邊界的頻響函數(shù)得到耦合系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，通過該頻響函數(shù)矩陣進(jìn)一步計(jì)算可得到耦合系統(tǒng)的微振動(dòng)響應(yīng)，最后運(yùn)用數(shù)值仿真和多體動(dòng)力學(xué)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。本研究所得的結(jié)論為研究動(dòng)量輪在彈性邊界的微振動(dòng)響應(yīng)提供了一種新思路，對(duì)于研究航天器活動(dòng)部件與彈性結(jié)構(gòu)的耦合微振動(dòng)特性具有一定的借鑒意義。

1 頻域子結(jié)構(gòu)法

早期的頻域子結(jié)構(gòu)方法是阻抗綜合方法(IC方法)，該方法利用各個(gè)子結(jié)構(gòu)的阻抗進(jìn)行綜合，存在對(duì)整個(gè)子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣求逆運(yùn)算的問題，導(dǎo)致計(jì)算效率和精度不高[20]。文獻(xiàn)[21]發(fā)展了一種在工程上廣泛運(yùn)用的導(dǎo)納綜合方法(RC方法)，該方法直接綜合各個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)得到整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣，只需對(duì)界面自由度的頻響函數(shù)求逆，求逆次數(shù)和維數(shù)大大減小，計(jì)算精度和效率得到較大提高。本研究應(yīng)用RC方法計(jì)算動(dòng)量輪-彈性邊界耦合系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，下面對(duì)RC方法進(jìn)行簡(jiǎn)單推導(dǎo)，并引入界面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣來表達(dá)不同坐標(biāo)系下子結(jié)構(gòu)的綜合。

定義裝配結(jié)構(gòu)S及其劃分的子結(jié)構(gòu)I和子結(jié)構(gòu)II，下標(biāo)c代表界面坐標(biāo)，i與j分別代表子結(jié)構(gòu)I和子結(jié)構(gòu)II的內(nèi)部坐標(biāo)。圖1表示由子結(jié)構(gòu)I和子結(jié)構(gòu)II綜合得到整體結(jié)構(gòu)S的過程，坐標(biāo)系o1x1y1z1(坐標(biāo)系1)和o2x2y2z2(坐標(biāo)系2)分別表示它們的局部坐標(biāo)系。

圖1 兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的綜合過程

定義裝配結(jié)構(gòu)S，子結(jié)構(gòu)I和子結(jié)構(gòu)II的頻響函數(shù)矩陣分別如下：

(1)

(2)

(3)

式中：H代表頻響函數(shù)矩陣；X和F分別代表激勵(lì)和響應(yīng)向量。

RC方法的基本條件是界面位移協(xié)調(diào)性和力平衡性，當(dāng)坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2不一致時(shí)，需要先將界面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成一致后才能綜合。假設(shè)轉(zhuǎn)換后的界面坐標(biāo)均與坐標(biāo)系1一致，則需要引入對(duì)子結(jié)構(gòu)II界面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣，定義為C。C為子結(jié)構(gòu)II和子結(jié)構(gòu)I界面坐標(biāo)之間的方向余弦矩陣，此時(shí)，連接處的位移協(xié)調(diào)和力平衡條件為：

(4)

(5)

綜合后，內(nèi)部結(jié)點(diǎn)力和位移保持不變：

(6)

(7)

聯(lián)立式(1)～式(7)可得到裝配結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣的表達(dá)式：

(8)

因此，將子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)代入式(8)便可得到整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣。從式(8)可知，RC方法只需對(duì)界面自由度的頻響函數(shù)求逆，提高了計(jì)算精度和效率，然而RC方法只適用于兩個(gè)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)之間的綜合。下面總結(jié)RC方法的一般步驟：

1)根據(jù)需要將整體結(jié)構(gòu)劃分成兩個(gè)獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)；

2)計(jì)算子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣和界面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；

3)將子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)和界面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣代入式(8)得到整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣。

2 動(dòng)量輪擾振模型

2.1 建模方法及模型簡(jiǎn)化

本節(jié)應(yīng)用拉格朗日方程建立動(dòng)量輪的振動(dòng)方程，廣義形式的拉格朗日方程為[22]：

(9)

式中：向量q和p分別代表廣義坐標(biāo)和廣義外力向量，表達(dá)式T，V和D分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能，勢(shì)能和耗散能。

動(dòng)量輪結(jié)構(gòu)主要由飛輪、軸承以及框架組成。飛輪和框架之間由一對(duì)角接觸球軸承支撐，運(yùn)行時(shí)，飛輪繞轉(zhuǎn)軸相對(duì)于框架高速轉(zhuǎn)動(dòng)。通常，飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率遠(yuǎn)低于飛輪和框架的固有頻率，因此飛輪和框架均可簡(jiǎn)化成6自由度剛體。參考文獻(xiàn)[10]，中間的一對(duì)支撐軸承均可等效成具有軸向和徑向剛度阻尼的線性彈簧，飛輪和框架之間可以等效成6自由度線性彈簧連接，其等效剛度和阻尼矩陣如下：

(10)

式中：kr和kz分別表示軸承的徑向和軸向等效剛度；cr和cz表示它們的等效阻尼；d表示飛輪質(zhì)心到軸承的距離。

基于以上簡(jiǎn)化和等效，自由狀態(tài)動(dòng)量輪模型可以簡(jiǎn)化成12自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，如圖2所示，o0x0y0z0(坐標(biāo)系0)為基座坐標(biāo)系，原點(diǎn)o0位于飛輪和框架質(zhì)心(假設(shè)飛輪和框架質(zhì)心重合)。

圖2 動(dòng)量輪簡(jiǎn)化模型

2.2 系統(tǒng)動(dòng)能

動(dòng)量輪振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能由下式?jīng)Q定：

(11)

飛輪和框架的質(zhì)量矩陣分別定義為：

(12)

式中：mf和mg分別為飛輪和框架的質(zhì)量；Jfr和Jgr分別為它們的徑向慣量；Jfz和Jgz分別為它們的極向慣量。

飛輪和框架質(zhì)心在坐標(biāo)系o0x0y0z0中的六自由度位移向量分別定義如下：

(13)

式中：qft和qgt分別表示飛輪和框架質(zhì)心處的平移位移向量，qfr和qgr表示它們的角位移向量。

對(duì)式(13)中的位移向量進(jìn)行求導(dǎo)，可得到飛輪和框架質(zhì)心在坐標(biāo)系o0x0y0z0中的六自由度速度向量，分別表達(dá)如下：

(14)

應(yīng)用歐拉角表示飛輪和框架的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，如圖3所示，三次轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)角分別為β，α和γ，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸分別y0軸，xβ軸和zα軸，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系分別為坐標(biāo)系oβxβyβzβ，oαxαyαzα和oγxγyγzγ。

圖3 歐拉角表示的飛輪和框架定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

由歐拉角表示三次旋轉(zhuǎn)后，飛輪和框架質(zhì)心處角速度向量分別在坐標(biāo)系oαxαyαzα中表示如下：

(15)

將式(12)，式(14)和式(15)代入到式(11)并整理后可得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能：

(16)

2.3 系統(tǒng)勢(shì)能和耗散能

動(dòng)量輪振動(dòng)系統(tǒng)的勢(shì)能和耗散能分別表示如下：

(17)

qgfx0y0z0=qg-qf

(18)

整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能和耗散能可通過式(10)，式(17)和式(18)得到，分別表示如下：

V=kr[(xf-xg)2+(yf-yg)2]+kz(zf-zg)2+

d2kr[(αf-αg)2+(βf-βg)2]

(19)

(20)

2.4 系統(tǒng)廣義外力

定義系統(tǒng)的廣義外力向量如下：

(21)

式中：fft和fgt分別表示作用在飛輪和框架質(zhì)心處的外力向量，ffr和fgr表示力矩向量。

系統(tǒng)廣義外力主要來源于飛輪的不平衡特性，主要包括靜不平衡特性和動(dòng)不平衡特性。由于轉(zhuǎn)子在加工、制造和裝配過程中的誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心偏離旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，偏置質(zhì)量會(huì)產(chǎn)生離心慣性力，從而對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生干擾，這種現(xiàn)象稱之為靜不平衡，如圖4(a)所示。另一方面，由于轉(zhuǎn)子存在一定的軸向厚度，偏置質(zhì)量可能會(huì)處于垂直于轉(zhuǎn)軸的不同平面內(nèi)，偏置質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力由于不在同一個(gè)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)，從而會(huì)產(chǎn)生徑向的慣性力矩，這種情況稱之為動(dòng)不平衡，如圖4(b)所示。

(a) 靜不平衡特性(b) 動(dòng)不平衡特性

圖4 飛輪靜不平衡和動(dòng)不平衡特性

Fig.4 The static and dynamic imbalance of the flywheel

圖4(a)中，mt為垂直于旋轉(zhuǎn)軸同一平面內(nèi)的等效偏置質(zhì)量，rt為mt偏離旋轉(zhuǎn)軸的距離。圖4(b)中，mr為沿軸向不同平面內(nèi)的等效偏置質(zhì)量，rr為mr偏離旋轉(zhuǎn)軸的距離。hr為兩個(gè)動(dòng)不平衡偏置質(zhì)量的軸向距離。若轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度的大小為Ω，則由靜不平衡所產(chǎn)生的不平衡力和動(dòng)不平衡所產(chǎn)生的動(dòng)不平衡力矩的大小分別為：

fft=[UtΩ2sin(Ωt+φt)UtΩ2cos(Ωt+φt) 0]T，

ffr=[UrΩ2sin(Ωt+φr)UrΩ2cos(Ωt+φr) 0]T

(22)

式中：Ut=mtrt和Ut=mrrrhr分別為靜不平衡質(zhì)量和動(dòng)不平衡質(zhì)量，φt和φr分別為它們的初始相位。

由于框架上沒有外部激勵(lì)，因此fgt和fgr均為零向量。

2.5 動(dòng)量輪的振動(dòng)方程

將式(16)，式(19)，式(20)和式(21)代入到式(9)中，可得到動(dòng)量輪的振動(dòng)方程，忽略高階小量并整理后可以表示成如下矩陣形式：

(23)

式中，M，C和K分別代表動(dòng)量輪振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣，G表示陀螺矩陣，它們的表達(dá)式分別如下：

(24)

其中，Gf為飛輪的陀螺矩陣，其具體表達(dá)式如下：

(25)

該振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量q如下：

(26)

3 動(dòng)量輪與彈性邊界耦合系統(tǒng)的振動(dòng)特性

3.1 劃分子結(jié)構(gòu)

圖5為動(dòng)量輪與彈性邊界耦合系統(tǒng)的示意圖，彈性邊界由鋁蜂窩夾芯板和支架組成，動(dòng)量輪通過支架傾斜安裝于彈性邊界。為了研究耦合系統(tǒng)的微振動(dòng)特性，可將其劃分成動(dòng)量輪子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu)I)以及彈性界面子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu)II)，其局部坐標(biāo)分別為坐標(biāo)系o0x0y0z0(坐標(biāo)系0)和坐標(biāo)系o3x3y3z3(坐標(biāo)系3)。

圖5 耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

3.2 子結(jié)構(gòu)I

子結(jié)構(gòu)I的頻響函數(shù)可以通過其運(yùn)動(dòng)方程求得。子結(jié)構(gòu)I的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為飛輪質(zhì)心，界面節(jié)點(diǎn)為框架底面中心，然而運(yùn)動(dòng)方程中廣義坐標(biāo)為飛輪和框架的質(zhì)心，因此，引入新的廣義坐標(biāo)向量：

(27)

(28)

式中：h表示飛輪和框架的質(zhì)心到動(dòng)量輪安裝點(diǎn)的距離，此時(shí)，廣義坐標(biāo)向量q1和q之間的關(guān)系如下：

(29)

對(duì)應(yīng)于新的廣義坐標(biāo)向量，引入新的廣義外力向量：

(30)

類似的，廣義外力向量p1和p之間存在如下關(guān)系：

(31)

將式(29)和式(31)代入到式(23)，可以得到新的廣義坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程：

(32)

對(duì)式(32)所示子結(jié)構(gòu)I的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行傅里葉變換，可得到其頻域形式的運(yùn)動(dòng)方程，整理成如下形式：

ZⅠQ1(s)=P1(s)

(33)

(34)

3.3 子結(jié)構(gòu)II

本文研究動(dòng)量輪安裝點(diǎn)的振動(dòng)特性，因此子結(jié)構(gòu)II只考慮與動(dòng)量輪連接處的界面坐標(biāo)，其頻響函數(shù)將通過子結(jié)構(gòu)II的有限元模型計(jì)算得到。

子結(jié)構(gòu)II由鋁蜂窩夾芯板和支架組成，支架在有限元模型中等效成質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量和三個(gè)方向慣量分別給定為1 kg，0.001 kg·m2，0.001 kg·m2和0.002 kg·m2；鋁蜂窩夾芯板尺寸為0.8 m×0.4 m×0.03 m，其結(jié)構(gòu)主要由兩層鋁蒙皮以及其中間的蜂窩芯子夾層組成，鋁蒙皮厚度為0.3 mm。蜂窩芯子可以等效成均勻正交各向異性材料，因此整塊鋁蜂窩夾芯板可等效成由三層板組成的層合板[23-24]。給定符號(hào)E，G，ρ和υ分別代表彈性模量，剪切模量，密度和泊松比，鋁蒙皮和蜂窩芯子材料參數(shù)，如表1所示。

表1 鋁蒙皮和蜂窩芯子的材料參數(shù)

應(yīng)用商用軟件PATRAN建立鋁蜂窩夾芯板的有限元模型。該有限元模型四條邊上的所有節(jié)點(diǎn)均施加六自由度位移約束，節(jié)點(diǎn)間距為0.1 m。動(dòng)量輪支架安裝在該板中心，對(duì)有限元模型進(jìn)行諧響應(yīng)分析，分別對(duì)中心點(diǎn)施加六個(gè)自由度方向的單位力/力矩求其六自由度響應(yīng)，可得到該點(diǎn)的六自由度頻響函數(shù)矩陣，表示如下：

(35)

3.4 耦合系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣和響應(yīng)

由于動(dòng)量輪傾斜安裝于彈性邊界，因此子結(jié)構(gòu)I和子結(jié)構(gòu)II局部坐標(biāo)系之間沿x軸存在夾角θ，其局部坐標(biāo)系之間的角度關(guān)系如圖6所示。從圖6可得到子結(jié)構(gòu)II和子結(jié)構(gòu)I界面坐標(biāo)之間的方向余弦矩陣，即耦合系統(tǒng)的界面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，表達(dá)式為：

(36)

圖6 局部坐標(biāo)系3和0之間的角度關(guān)系

將式(34)，式(35)和式(36)代入到式(8)，可得到耦合系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，表達(dá)式為

[Hg′fHg′g′]

(37)

該耦合系統(tǒng)中，只有飛輪上存在激勵(lì)，因此耦合系統(tǒng)的激勵(lì)在時(shí)域上可以表示為：

(38)

假設(shè)φt和φr均為0，耦合系統(tǒng)的激勵(lì)可以表示成頻域形式：

(39)

耦合系統(tǒng)的位移響應(yīng)向量可以通過式(37)和式(39)相乘得到：

Xs(s)=HsPs(s)

(40)

將位移響應(yīng)向量右邊乘以s2，可得到耦合系統(tǒng)的加速度響應(yīng)向量：

(41)

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證RC方法建立的耦合系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，應(yīng)用商用軟件Matlab對(duì)式中所表示的動(dòng)量輪安裝點(diǎn)的加速度響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真，并應(yīng)用多體動(dòng)力學(xué)仿真進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)動(dòng)量輪轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在Ω=k·10π rad/s(k=1，2，…，10)時(shí)進(jìn)行仿真，仿真參數(shù)，如表2所示。

表2 耦合系統(tǒng)仿真參數(shù)

利用商用軟件Adams對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證，在Adams模型中，用剛體部件模擬飛輪和框架，具有柔度特征的軸承單元模擬軸承。彈性邊界由PATRAN模態(tài)分析得到的彈性界面子結(jié)構(gòu)的模態(tài)中性文件導(dǎo)入得到，不平衡特性由在飛輪上附加質(zhì)量得到。采樣頻率和采樣時(shí)間分別為2 048 Hz和16 s。后處理時(shí)，對(duì)時(shí)域形式的仿真結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換將其轉(zhuǎn)換成頻域形式。

圖7為Matlab和Adams仿真得到的動(dòng)量輪在各個(gè)轉(zhuǎn)速下平移加速度基頻幅值切片對(duì)比圖，圖8為角加速度幅值切片對(duì)比圖。從圖中結(jié)果可知，動(dòng)量輪加速度基頻幅值隨轉(zhuǎn)速變大，Adams仿真和Matlab仿真結(jié)果基本一致。對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行誤差分析，如表3所示，RC方法計(jì)算得到的耦合系統(tǒng)響應(yīng)的仿真誤差在±6%以內(nèi)，因此，RC方法可用來預(yù)測(cè)動(dòng)量輪在彈性邊界的耦合響應(yīng)，且具有較高的精度。

圖7 Matlab和Adams平移加速度幅值仿真結(jié)果對(duì)比

5 結(jié) 論

本研究應(yīng)用頻域子結(jié)構(gòu)法研究動(dòng)量輪在彈性邊界的微振動(dòng)特性，采用RC方法推導(dǎo)了動(dòng)量輪和彈性邊界耦合系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，通過該頻響函數(shù)矩陣得到了耦合系統(tǒng)的加速度響應(yīng)，并應(yīng)用數(shù)值仿真和多體動(dòng)力學(xué)仿真對(duì)加速度響應(yīng)進(jìn)行了驗(yàn)證，兩種仿真的結(jié)果基本一致，且耦合系統(tǒng)響應(yīng)的仿真誤差在±6%以內(nèi)。結(jié)果表明：頻域子結(jié)構(gòu)法適用于分析動(dòng)量輪在彈性邊界的微振動(dòng)響應(yīng)，并且具有較高的分析精度和計(jì)算效率。本研究所得的結(jié)論為研究動(dòng)量輪在彈性邊界的微振動(dòng)響應(yīng)提供了一種新思路，對(duì)于研究航天器活動(dòng)部件與彈性結(jié)構(gòu)的耦合微振動(dòng)特性具有一定的借鑒意義。

圖8 Matlab和Adams角加速度幅值仿真結(jié)果對(duì)比

基頻/HzTAxTAyTAzAAxAAyAAz5-4.46-4.66-4.65-4.78-4.66-4.7410-2.26-2.52-2.35-2.31-2.30-2.5415-0.48-0.30-0.30-0.29-0.29-0.28200.961.081.091.051.041.0525-0.73-0.75-0.76-0.71-0.73-0.72300.570.650.680.590.590.59351.171.381.441.201.181.19400.180.260.280.180.190.20450.731.001.060.760.740.75503.345.635.863.403.013.58