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        關(guān)于圖乘法的一種特殊情況

        2019-02-20 04:37:38趙盛琳
        科學(xué)大眾·教師版 2019年12期
        關(guān)鍵詞:計算公式

        趙盛琳

        摘 要:本文討論了用圖乘法計算結(jié)構(gòu)位移的一種特殊情況,有一個彎矩圖是反對稱,另一個彎矩圖是線性圖線的時候,計算中容易出現(xiàn)的錯誤,從公式推導(dǎo)指出正確的處理方法。

        關(guān)鍵詞:圖乘法; 形心坐標(biāo); 計算公式

        中圖分類號:?U442? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼:A? ? ? ?文章編號:1006-3315(2019)12-141-001

        在材料力學(xué)或者結(jié)構(gòu)力學(xué)一般用能量法來計算結(jié)構(gòu)位移,使用比較多的是單位載荷法,在滿足一些特殊條件下(軸線為直線,等截面梁或者剛架而且抗彎剛度為常量,兩個彎矩圖中至少有一個為線性函數(shù)),計算莫爾積分可以用圖乘法,在大部分有圖乘法介紹的教材里,圖乘法公式的推導(dǎo)所用的示意圖都是所考慮的區(qū)間里有一個彎矩圖是全部在軸線一側(cè)的一條曲線,另一個彎矩圖是線性圖線,推導(dǎo)過程中用到了平面圖形的形心坐標(biāo)計算公式,而且計算結(jié)果有正負(fù)號的問題,兩個彎矩圖在軸線同側(cè)的時候,結(jié)果取正值,兩個彎矩圖在軸線異側(cè)的時候,結(jié)果取負(fù)值。因此圖乘法給人的感覺就是計算中彎矩圖面積是帶正負(fù)號的。然而在遇到以下情況的時候很容易犯錯。

        有的時候我們會遇到有一個彎矩圖在考慮的區(qū)間內(nèi)是反對稱的,而另一個彎矩圖是線性圖線,教材里沒有硬性規(guī)定彎矩圖必須在軸線同側(cè)才能用圖乘法,只要滿足使用圖乘法的三個條件(軸線為直線,等截面梁或者剛架而且抗彎剛度為常量,M(x)及[M](x)中至少有一個為關(guān)于x的線性函數(shù)),就算M(x)有正有負(fù)(即彎矩圖分布在軸線兩側(cè)),圖乘法的公式依然能用。

        圖乘法計算積分的公式[l]M(x)[M](x)dx=[ω][M]c,其中[ω]代表M(x)圖的面積,[Mc]是[M](x)圖中與M(x)圖的形心對應(yīng)的縱坐標(biāo)。

        當(dāng)M(x)圖反對稱,則其圖形的形心顯然在軸線中點處,但彎矩圖面積[ω]因為考慮反對稱圖形的正負(fù)號,加起來為零,所以不管[M]c是多少,最后結(jié)果就是零,但這顯然是錯誤的。

        由平面圖形形心坐標(biāo)計算公式Xc=[AxdAA],可得[AxdA]=A·xc,也就是材料力學(xué)平面圖形的性質(zhì)里的靜矩,在這公式里,坐標(biāo)x和xc都是代數(shù)量,可正可負(fù)可零,而面積A或者面積微元dA都取大小,即取絕對值。因此圖乘法計算公式用到平面圖形形心坐標(biāo)計算公式,公式里所寫的平面圖形面積應(yīng)采用絕對值來計算,而不是自帶正負(fù)號。

        當(dāng)然,圖乘法最后結(jié)果是帶正負(fù)號的,實際上計算結(jié)果的大小可以用整個區(qū)間的彎矩圖M(x)(非線性的兩塊反對稱的圖形總面積)乘上線性彎矩圖[M](x)橫坐標(biāo)中點的縱坐標(biāo)[M]([12]),結(jié)果的正負(fù)號分兩段來看比較清楚,由于M(x)反對稱,關(guān)于軸線兩側(cè)的圖形形心坐標(biāo)位置對稱,[M](x)以軸線中點分成兩部分,絕對值大的一側(cè)決定最后結(jié)果,若[M](x)此圖線與M(x)同側(cè)結(jié)果取正值,異側(cè)則結(jié)果取負(fù)值。

        參考文獻:

        [1]劉鴻文.材料力學(xué)II,第6版,高等教育出版社,2017

        [2]龍馭球,包世華,袁駟.結(jié)構(gòu)力學(xué)I基本教程,第4版,高等教育出版社,2018

        [3]王永廉.材料力學(xué),第3版,機械工業(yè)出版社,2018

        [4]李家寶.建筑力學(xué)第三分冊結(jié)構(gòu)力學(xué),第三版,高等教育出版社,1999

        [5]唐國強,王永廉.理論力學(xué),第2版,機械工業(yè)出版社,2016

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