顧 婷

(江蘇省無錫市玉祁高級中學(xué) 214183)

眾所周知，高中數(shù)學(xué)科對于高中學(xué)生而言是學(xué)習(xí)最為困難的學(xué)科，造成困難的原因是多樣的，其中不乏數(shù)學(xué)知識的形式化、抽象性，數(shù)學(xué)解題技巧的層出不窮，數(shù)學(xué)問題的變化多端、無固定性，數(shù)學(xué)理解的困難等等．大量調(diào)查資料也顯示，大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，出現(xiàn)下意識操作、直覺化操作，對于問題的深入思考幾乎是零，這與學(xué)生長期受制于灌輸式教學(xué)不無關(guān)系．

可以這么說，現(xiàn)階段難度在學(xué)考水平的數(shù)學(xué)問題，幾乎是下意識操作，有部分問題是一個(gè)“彎角”；難度在高考層面的數(shù)學(xué)問題，一部分是下意識操作，一部分是一個(gè)“彎角”，一部分是兩個(gè)“彎角”，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中若一貫的缺乏主動(dòng)、深入的思考，導(dǎo)致最終就不善于思考，從而形成了學(xué)習(xí)的停滯不前．

一、概念教學(xué)中的深入思考

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和重中之重，人民教育出版社主編北師大錢佩玲教授對于當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是有異議的，認(rèn)為當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)根本是功利性的教學(xué)，完全脫離了編者的初衷，各種教輔資料也是魚龍混雜，對概念的考查和理解偏頗較大，一方面因?yàn)閼?yīng)試需要所以草草了事，一方面因?yàn)榻虒W(xué)不扎實(shí)導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)解決問題，又反復(fù)教學(xué)．錢教授所說的這種行為，至少在中學(xué)數(shù)學(xué)常態(tài)課教學(xué)中并非個(gè)例．以筆者來看，我們的概念教學(xué)的確是出了問題，教學(xué)中缺乏對概念設(shè)計(jì)的深入思考，導(dǎo)致概念教學(xué)只能一個(gè)定義、三項(xiàng)注意，從而形成了以做題替代概念的理解方式．

案例1 《正余弦定理》概念教學(xué)

眾所周知，正余弦定理是解三角形中的重要知識，除了最基本的兩個(gè)定理之外，可以這么說，學(xué)生對正余弦定理的理解幾乎是零．筆者曾經(jīng)調(diào)查過學(xué)生：正余弦定理怎么得到的？正余弦定理跟初中數(shù)學(xué)什么知識密切相關(guān)？正余弦定理如何在不用具體運(yùn)算的角度下，就可以判斷三角形解的個(gè)數(shù)？令人驚訝的是，90%以上的學(xué)生一個(gè)問題都不知道，三個(gè)問題都能回答清楚的學(xué)生人數(shù)是零．這不得不說是我們概念教學(xué)的悲哀，給學(xué)生一個(gè)三角形的問題，他可以解得頭頭是道，但是一問原理則是一片模糊，這不正是應(yīng)試教育的產(chǎn)物，時(shí)代的悲哀？

試問，老師自己有沒有思考過這樣的問題：正余弦定理跟初中數(shù)學(xué)什么知識密切相關(guān)？正余弦定理如何在不用具體運(yùn)算的角度下，就可以判斷三角形解的個(gè)數(shù)？讓我們自己先來一番深入的思考吧：初中數(shù)學(xué)對于全等三角形的判斷主要依賴三種方式：SSS、SAS和AAS，但是SSA不是全等的判別條件．對于這些熟悉的判別方式，我們有沒有思考過和正余弦定理有什么聯(lián)系嗎？余弦定理知道三邊可以求解唯一三角形，余弦定理知道兩邊一夾角可以唯一求解其余所有量，正弦定理利用兩角一對邊可以求解唯一求解其余所有量等等．所以，我們有了下面的初高中知識的連接：

給出具體問題：在△ABC中，由下列各組條件求解三角形，其中有兩個(gè)解的是____．

①b=20,A=45°,C=80°；

②a=30,c=28,B=60°；

③a=14,b=16,A=45°；

④a=12,c=15,A=120°；

⑤a=4,b=5,c=6；

分析有了上述的深入思考，將三角形解的判斷與全等三角形知識聯(lián)系起來，從初中定性的判定，到高中定量的運(yùn)算，其中之間的聯(lián)系，進(jìn)行了深入的思考，從而理解了為什么有一解,為什么有兩解.簡解如下：第①項(xiàng)，AAS，必定一解；第②項(xiàng)，SAS，必定一解；第③項(xiàng)，SSA，sinB<1且aA=120°，無解；第⑤項(xiàng)，SSS，必定一解；第⑥項(xiàng)，SSA，sinB=1，一解．

說明：從三角形解的個(gè)數(shù)判斷的角度來說，實(shí)在是全等三角形的判定，初中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是定性，高中數(shù)學(xué)更追求的是定量，這一層面若能思考到位，自然將初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)這一知識點(diǎn)銜接起來，獲得了更多的教學(xué)思考，學(xué)生也能獲得更多的知識理解，明白了正余弦定理各自對待的不同情況，對知識的深入思考有助于思維的嚴(yán)密性和嶄新認(rèn)識．

二、解題教學(xué)中的深入思考

數(shù)學(xué)問題以抽象性著稱，問題的求解過程實(shí)質(zhì)是不斷轉(zhuǎn)化、不斷深化思維的過程，從解題教學(xué)來看，如何讓學(xué)生掌握問題解決過程中思維的實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵．筆者以為，這需要探析教學(xué)中思考的重要性，以恒成立問題為例，如何引導(dǎo)學(xué)生理解恒成立問題解決的原理？如何破解成為關(guān)鍵．

分析本題是單變量恒成立問題，變量是x，參量是y，從這其中尋找恒成立問題解決的一般原理．要思考如何將這個(gè)原理表述的更為貼切？讓學(xué)生易懂？筆者給出了這樣的比喻：

教師設(shè)喻：(如圖)若我們班即將來一位新同學(xué)，目前我們只知道他比我們班任何一個(gè)都要高，那么你們能否猜出他的身高范圍？

學(xué)生試著設(shè)喻：(如圖)學(xué)校搞活動(dòng)，從體育學(xué)校來了一個(gè)籃球班，所有人的身高都高于我們班同學(xué)．

說明：恒成立問題需要說明參變分離做法的合理性，這就需要教師深入的思考，為什么要參變？為什么大于最大值？小于最小值？這些問題解決理論研究清楚了，自然而然獲得了最為合理的本質(zhì)探究．教師要做到，恰恰是對數(shù)學(xué)最深入的思考，唯有自身努力的思考，才能讓學(xué)生更為深刻地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，這正是思考的價(jià)值所在．

總之，教學(xué)不能僅僅只教會(huì)表層的解題使用，更要注重?cái)?shù)學(xué)知識的理解，從核心素養(yǎng)的角度來說，教學(xué)更要從根本入手，更要關(guān)注思考的價(jià)值，久而久之才能培養(yǎng)學(xué)生的思維，使其真正理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，對于教師而言也能獲得更多的專業(yè)化成長．