殷金泉 ， 程強強 ， 于潤橋

（1.贛州市特種設(shè)備監(jiān)督檢驗中心，江西 贛州 341000；2.無損檢測技術(shù)教育部重點實驗室（南昌航空大學(xué)），南昌 330063）

0 引言

材料的斷裂或失效問題與裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展有著密切的關(guān)系，所以在工程材料設(shè)計中，對材料裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬，了解裂紋的起裂與裂紋的擴(kuò)展規(guī)律顯得尤為重要[1-2]。在斷裂力學(xué)中，裂紋的擴(kuò)展通常要經(jīng)歷裂紋的起裂、外部施加載荷導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展，以及裂紋擴(kuò)展后材料發(fā)生斷裂一系列的過程[3]。在對裂紋的數(shù)值模擬中，較常用的方法是有限元分析。有限元方法實際上就是將物理模型分為有限個相互連接的單元組合體。與其他數(shù)值模擬方法相比，有限元方法具有易實現(xiàn)編程和不受材料類型、幾何形狀等限制的優(yōu)點[4]。因此，在對連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題進(jìn)行研究的過程中，通常選擇有限元方法作為主要的數(shù)值分析方法[5-6]。但當(dāng)遇到對某些特殊問題的求解分析時，尤其是間斷問題，有限元方法會有一些不足之處[7-8]。

為了更好地處理裂紋擴(kuò)展時產(chǎn)生的間斷問題，Belytschko 等[9]提出，在有限元基礎(chǔ)上加入擴(kuò)充形函數(shù)來描述裂尖，使得模擬裂紋擴(kuò)展更加行之有效。Mo?s 等[10]將上述方法定義為擴(kuò)展有限元法（Extended finite element method，XFEM）。運用擴(kuò)展有限元方法，在模擬裂紋擴(kuò)展時，裂紋不再只能沿著網(wǎng)格邊界擴(kuò)展，網(wǎng)格的內(nèi)部也能允許裂紋穿過，而且在較粗的網(wǎng)格劃分基礎(chǔ)上也能獲得較高的精確度，減少了很多工作量，節(jié)約了大量的計算成本。憑借其在處理斷裂問題時特有的優(yōu)勢，可以方便地模擬出裂紋擴(kuò)展過程，對材料的斷裂模擬具有重大的作用和意義，可以有效的減少因為材料斷裂或失效所引發(fā)的一系列事故。國外在該領(lǐng)域的研究已經(jīng)較為成熟。Daux 等[11]利用擴(kuò)展有限元法對裂紋分叉的過程進(jìn)行了模擬；Fries 等[12]為了解決不連續(xù)問題，在擴(kuò)展有限元方法的基礎(chǔ)上引入局部網(wǎng)格細(xì)化與懸點兩種方法，通過依據(jù)改進(jìn)的自由度和懸點這兩者之間是否聯(lián)系來作為判定條件，進(jìn)而選擇上述兩種方法的其中一種；Stolarska 等[13]則將水平集法作為一種追蹤裂紋運動的數(shù)值方法引入到擴(kuò)展有限元中，從而對不連續(xù)面的幾何特征可以利用水平集法進(jìn)行準(zhǔn)確的描述；同年，Sukumar 等[14]在對含孔洞等不連續(xù)問題的模擬求解過程中運用了擴(kuò)展有限元法；Réthoré等[15]在對動態(tài)裂紋擴(kuò)展建立模型時，同樣利用了擴(kuò)展有限元法，并在此基礎(chǔ)上對線性條件下數(shù)值算法的穩(wěn)定性給出了證明，他們的研究顯示，利用擴(kuò)展有限單元法能夠在符合能量守恒定律的前提下對單元進(jìn)行一系列改進(jìn)，由此在裂紋擴(kuò)展過程中發(fā)生的能量轉(zhuǎn)移均是可控的；Baietto[16]模擬了接觸疲勞的裂紋擴(kuò)展，基于二維、三維接觸疲勞試驗以及摩擦裂紋的經(jīng)驗公式來建立擴(kuò)展有限元模型，這種模型通過直接構(gòu)造水平集機制來對裂紋形狀進(jìn)行描述，進(jìn)而可以量化出應(yīng)力強度因子，最終無論是對二維或是三維的接觸疲勞裂紋擴(kuò)展數(shù)值模擬結(jié)果都令人滿意。在國內(nèi)，目前對擴(kuò)展有限元的研究還處于初始階段。夏曉舟等[17]在擴(kuò)展有限元理論的基礎(chǔ)上提出指數(shù)型間斷函數(shù)，這個指數(shù)型間斷函數(shù)代表任意一點到間斷處的垂直距離隨著距離的增大而發(fā)生指數(shù)衰減，更好地描述間斷處的位移不連續(xù)；杜成斌，應(yīng)宗權(quán)等[18]做了單軸受拉的顆粒增強復(fù)合材料的模擬；余天堂[19]使用擴(kuò)展有限元法模擬三維裂紋，他們通過在有限元的位移模式中引入一個基于單位分解的跳躍函數(shù)和裂尖加強函數(shù)來描述裂紋處位移的不連續(xù)，并通過三維模擬算例驗證了該方法的可行性；莊茁等[20]將三維最大能量釋放率作為裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則，可以模擬各種三維裂紋擴(kuò)展問題，他們還提出基于連續(xù)殼單元的擴(kuò)展有限元格式，能有效模擬連續(xù)體殼類上各種裂紋擴(kuò)展問題，模擬結(jié)果表明，曲面殼體內(nèi)裂紋的擴(kuò)展路徑與單元網(wǎng)格的邊界劃分沒有聯(lián)系，尖端應(yīng)力場被精確捕捉，證明了這種基于殼類單元的擴(kuò)展有限元格式具有一定的優(yōu)越性。

Q345R 鋼是壓力容器專用材料，具有優(yōu)良的綜合力學(xué)性能和工藝加工性能，屈服強度為345 MPa。裂紋是導(dǎo)致壓力容器失效和破壞的首要原因，在壓力容器檢測和維護(hù)過程中，模擬裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展過程，并對結(jié)果進(jìn)行分析具有重要的意義。本研究討論的裂紋擴(kuò)展即是一種間斷問題，采用有限元方法進(jìn)行分析，會造成局部的網(wǎng)格加密，而其他地方變得稀疏，導(dǎo)致網(wǎng)格呈現(xiàn)非均勻分布，更小的網(wǎng)格尺寸會增加計算成本和工作量。故引入擴(kuò)展有限元方法，在不大幅增加計算成本的前提下，對裂紋的擴(kuò)展路徑進(jìn)行更加詳細(xì)貼切的模擬，以及在較粗的網(wǎng)格劃分基礎(chǔ)上對裂紋的位移場漸進(jìn)解獲得精準(zhǔn)解答。

本研究在擴(kuò)展有限元的框架下，通過引入滿足裂尖單元剖分性質(zhì)的擴(kuò)充形函數(shù)，來增強構(gòu)造裂紋尖端的非連續(xù)性結(jié)構(gòu)，達(dá)到對裂紋擴(kuò)展過程中裂紋尖端場的精確捕捉目的，并分別對Q345R鋼的有限大二維平板低周疲勞裂紋，以及二維平板中心裂紋進(jìn)行裂紋擴(kuò)展模擬研究，同時將時間作為自變量，主要對裂紋擴(kuò)展中存在于裂紋周邊的應(yīng)力應(yīng)變的變化情況進(jìn)行分析，總結(jié)模擬裂紋的擴(kuò)展規(guī)律。

1 擴(kuò)展有限元基本原理

有限元方法分析不連續(xù)問題時，比如裂紋的擴(kuò)展，需要在裂紋尖端應(yīng)力集中區(qū)重新劃分高密度網(wǎng)格以達(dá)到較為精確的分析計算結(jié)果。與之不同，擴(kuò)展有限元方法則不需要重構(gòu)網(wǎng)格，裂紋可以從單元內(nèi)部穿過，在較粗的網(wǎng)格劃分基礎(chǔ)上就能得到較精確的結(jié)果。其中心思想就是采用帶有不連續(xù)性質(zhì)的擴(kuò)充形函數(shù)描述計算域的尖端，它的基礎(chǔ)就是單位分解[21]。

基于單位分解的擴(kuò)展有限元可以表示為[22]：

式中： uh表 示未知場； NI(x) 為標(biāo)準(zhǔn)有限元的形函數(shù)； uI為 標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點自由度； qJ為新增加的單元節(jié)點自由度。

從式（1）可知，擴(kuò)展有限元法就是在標(biāo)準(zhǔn)有限元基礎(chǔ)上再添加擴(kuò)充項用于改進(jìn)對未知場的描述。通過在單元節(jié)點上引入了多余節(jié)點自由度，新增加的節(jié)點自由度依然在原單元節(jié)點上，便于方程的求解。

具體求解時可構(gòu)造擴(kuò)充形函數(shù)，而最常用的就是水平集函數(shù)。它的功能是用來追蹤間斷運動（裂紋擴(kuò)展等）。下面利用水平集函數(shù)描述裂紋面的位置。

首先，用符號距離函數(shù)構(gòu)造水平集函數(shù)：

符號距離函數(shù)表示在計算域內(nèi)任何一點到間斷的最短距離，這個函數(shù)具有水平集函數(shù)的基本特征。式（2）中： f(x,t)的絕對值為點距離間斷界面的距離；正負(fù)則取決于該點位于裂紋的哪一側(cè)，如果位于γ(t)所定義的裂紋面上側(cè)，則取正號，反之則取為負(fù)號。由于使用這個函數(shù)還不能反映裂紋尖端的位置，所以還需要定義一個水平集函數(shù)g：

式中：xi代表端點；vi為移動速度。

這個函數(shù)表示在gi=0 時，代表一條經(jīng)過端點，與裂紋移動速度垂直的直線，這條直線描述了裂尖的位置。由式（2）、式（3），裂紋面的位置則可以表示為：

擴(kuò)展有限元在描述裂紋尖端和裂紋面時添加裂尖加強函數(shù)和裂紋面跳躍函數(shù)，通過這兩種函數(shù)的補充可以使得對裂紋擴(kuò)展的模擬過程更加精準(zhǔn)。裂紋面加強節(jié)點示意圖如圖1 所示，圓形代表階躍擴(kuò)充節(jié)點，三角形代表裂尖擴(kuò)充節(jié)點。

圖 1 裂紋面加強節(jié)點示意圖Fig.1 Schematic diagram of the crack face strengthening node

使用裂尖加強函數(shù)和裂紋面跳躍函數(shù)，裂紋的位移場就可以表示為：

式中：第一項是常規(guī)有限元的位移函數(shù)；第二項是裂紋面跳躍函數(shù)，其中階躍函數(shù)H(x)：

第三項是裂尖函數(shù)，用來描述裂尖的奇異性，其中：

式中，θ,r 是在裂紋尖極坐標(biāo)系定義的位置參數(shù)。

2 Q345R 鋼板裂紋擴(kuò)展模擬

2.1 有限大中心裂紋的擴(kuò)展模擬

二維平板尺寸為70 mm×100 mm，材料彈性模量為70 kPa，泊松比為0.33，設(shè)置最大主應(yīng)力為100 MPa 作為損傷起始判據(jù)。固定二維平板的下端，對上端施加位移載荷，模擬該二維平板中心裂紋在拉伸狀態(tài)下裂紋的擴(kuò)展過程，結(jié)果如圖2所示。

從圖2 中可以看出，當(dāng)裂紋發(fā)生擴(kuò)展時，裂紋的擴(kuò)展路徑從單元內(nèi)部穿過，這和擴(kuò)展有限元方法完全對應(yīng)。裂紋在擴(kuò)展過程中，隨著載荷逐漸增加，裂紋逐漸擴(kuò)展，最后導(dǎo)致二維平板完全斷裂。通過對裂紋各區(qū)域?qū)?yīng)的云圖分析，可以看出在裂紋擴(kuò)展過程中，應(yīng)力集中出現(xiàn)在裂紋擴(kuò)展的尖端，應(yīng)力的最大值同樣位于裂紋尖端處，裂紋面處應(yīng)力值最小，這是因為裂紋面是自由端邊。裂紋面兩端的應(yīng)力沿著裂紋兩個尖端的中軸線呈分布對稱，從裂紋尖端向裂紋兩邊的延展過程中各處的應(yīng)力值逐漸減小，應(yīng)力分布的趨勢是符合斷裂力學(xué)理論的。這進(jìn)一步證明了擴(kuò)展有限元模擬裂紋擴(kuò)展的可靠性與準(zhǔn)確性。

圖 2 中心裂紋擴(kuò)展過程云圖Fig.2 Cloud pattern of the central crack propagation process

選取右邊裂紋尖端的一點，繪制該點在裂紋擴(kuò)展過程中應(yīng)力隨時間變化的曲線圖，如圖3 所示。由圖3 可知：在施加載荷的初始階段，裂紋尖端單元節(jié)點的應(yīng)力隨著載荷的增加而增大，并近似成線性關(guān)系，在這個階段內(nèi)，裂尖單元的應(yīng)力并沒有達(dá)到損傷判據(jù)的臨界應(yīng)力，所以該單元沒有開裂；隨著載荷的繼續(xù)增加，應(yīng)力值也繼續(xù)增大，當(dāng)載荷加載時間約0.12 s 時，裂紋尖端單元節(jié)點的應(yīng)力值達(dá)到最大，裂紋開始起裂；在裂紋達(dá)到完全裂開的過程中，裂紋尖端應(yīng)力變化與時間成線性關(guān)系，以恒定速率平穩(wěn)下降，最終裂紋尖端應(yīng)力值降為0。該單元處的應(yīng)力奇異性消失，裂尖單元也由此轉(zhuǎn)化為一個常規(guī)的原始劃分單元。

圖 3 中心裂紋尖端應(yīng)力曲線Fig.3 Center crack tip stress curve

圖4 為裂紋尖端應(yīng)變隨時間的變化曲線。從圖中可以看出，裂尖單元整個斷裂過程的應(yīng)變曲線和應(yīng)力曲線類似，變化規(guī)律基本相同。在未達(dá)到最大主應(yīng)力的時候，裂尖單元應(yīng)變隨時間增加而迅速增大，約在0.10 s 時達(dá)到最大應(yīng)變值，裂紋呈開裂狀態(tài)，此時應(yīng)變不增反而急劇減小。之后裂尖應(yīng)變隨時間線性減小。單元最終變成一個普通的初始劃分單元。

圖 4 中心裂紋尖端應(yīng)變曲線Fig.4 Center crack tip strain curve

2.2 單邊裂紋（低周疲勞）的裂紋擴(kuò)展模擬

平板材料尺寸為300 mm×300 mm，彈性模量為220 GPa，泊松比為0.3，最大主應(yīng)力設(shè)置為88.4 MPa 作為損傷起始判據(jù)，材料的頂部與底部受到方向相反的循環(huán)變化載荷，載荷循環(huán)20 次，頂部受到峰值為8×10?5m 位移載荷，底部受到峰值為?8×10?5m 位移載荷。二維平板中心線左端存在一條長度為30 mm 的橫向預(yù)制裂紋。裂紋擴(kuò)展模擬結(jié)果如圖5 所示。

從圖5 可以看出，在低周疲勞裂紋的擴(kuò)展過程中，裂紋尖端處的應(yīng)力值最大，而裂紋面處應(yīng)力值最小，裂紋擴(kuò)展方向處應(yīng)力逐漸增加，整個過程中，應(yīng)力值都是沿裂紋擴(kuò)展方向?qū)ΨQ分布的。應(yīng)力分布的趨勢是符合斷裂力學(xué)理論的。

圖6 是以平板中一個裂紋尖端點為參考點，繪制出的裂紋尖端點的應(yīng)力變化曲線。由圖可知，該點的應(yīng)力上下波動，波動曲線與低周循環(huán)載荷形狀相似，約5.5 s 后，裂紋擴(kuò)展到該點，應(yīng)力值達(dá)到最大，為3.48×108MPa；在6 s 以后，應(yīng)力值接近0，表示該點已經(jīng)完全斷裂。

圖 5 單邊裂紋擴(kuò)展過程云圖Fig.5 Cloud diagram of the unilateral crack propagation process

圖 6 單邊裂紋尖端應(yīng)力變化曲線Fig.6 Single edge crack tip stress curve

裂紋尖端點的應(yīng)變變化曲線如圖7 所示。裂紋尖端的應(yīng)變曲線與應(yīng)力變化曲線類似，由于是在周期載荷作用下，該點處的應(yīng)變先上下波動，在5.5 s 時在達(dá)到最大值，在6 s 以后，應(yīng)變值降為0，表示該點已經(jīng)完全斷裂。

圖 7 單邊裂紋尖端應(yīng)變曲線Fig.7 Single-edge crack tip strain curve

2.3 與常規(guī)有限元模擬方法的比較

為了進(jìn)一步說明本研究方法在裂紋擴(kuò)展模擬上的有效性和準(zhǔn)確性，將模擬結(jié)果與常規(guī)有限元模擬的裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行對比。屠立群等[23]運用有限元分析軟件Ansys 模擬了單邊裂紋擴(kuò)展過程，結(jié)果如圖8 所示。對比圖5、圖8 可以看出，運用常規(guī)的有限元方法模擬時，由于難以對裂紋邊界的擴(kuò)展進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，裂紋擴(kuò)展的邊界呈直線狀。而采用擴(kuò)展有限元方法時，采用擴(kuò)充的加強函數(shù)來準(zhǔn)確地表達(dá)邊界的擴(kuò)展，可以準(zhǔn)確有效地模擬出邊界擴(kuò)展的非線性。這與實際裂紋的擴(kuò)展過程[24]相吻合、一致。

圖 8 常規(guī)有限元方法裂紋擴(kuò)展過程云圖[23]Fig.8 Cloud diagram of crack growth process with conventional finite element

3 結(jié)論與展望

1）從模擬的裂紋擴(kuò)展云圖數(shù)值分析中可以發(fā)現(xiàn)，裂紋尖端處會在裂紋擴(kuò)展的過程中出現(xiàn)應(yīng)力集中，中心裂紋和單邊裂紋這兩種不同的裂紋應(yīng)力變化規(guī)律相似，在未達(dá)到最大主應(yīng)力的載荷施加階段，裂紋尖端應(yīng)力不斷增大，但裂紋并未發(fā)生擴(kuò)展；施加載荷達(dá)到最大主應(yīng)力后，裂紋呈開裂的狀態(tài)，應(yīng)變進(jìn)而急劇減小，最終變?yōu)?。這種變化和斷裂力學(xué)是符合的，應(yīng)力分布趨勢與通過理論方法計算確定的塑性區(qū)相符合，因此進(jìn)一步有力地證明了利用擴(kuò)展有限元方法對 Q345R 材料中裂紋擴(kuò)展過程模擬分析的可靠性和有效性。

2）與常規(guī)有限元方法比較，本研究方法可以更加準(zhǔn)確和有效地模擬邊界擴(kuò)展的非線性。下一步擬將擴(kuò)展有限元方法運用于三維物體斷裂和裂紋擴(kuò)展問題，進(jìn)一步拓寬該方法的應(yīng)用領(lǐng)域。