劉嘉鈺,張萬舟

(太原理工大學 物理與光電工程學院,山西 太原 030024)

0 引言

微觀粒子分為費米子和玻色子。通過交換兩個玻色子或者費米子之間的位置,系統的波函數會產生一個相位因子eiθ,對于玻色子θ=0,對于費米子θ=π。在低維系統中,粒子會具有其他類型的量子統計性質,任意子便是其中之一,它是一種具有統計性質介于玻色子和費米子之間的粒子,θ取值介于0和π之間。由于它新穎的性質,從20世紀80年代[1],任意子已經吸引了很多物理學家的關注,并成為在凝聚態(tài)物理領域包括分數量子霍爾效應[2],拓撲量子計算[3]領域中的一個非常重要的概念。

實驗上,人們已經提出了一些在自旋系統[4]、玻色系統[5]和冷原子[6]系統中尋找任意子的方案。2011年,Keilmann等人提出了實現一維光晶格中的任意子的方案即拉曼輔助躍遷方法[7],該方法對任意子的交換統計進行人工操控。最近,Greschner等人又提出了更完善更簡單的實驗方案[8]來實現任意子哈伯德模型。這些模型只在低密度區(qū)域有效或者需要強加入三體硬核的限制,使每個格點的最大占據數為2。即使沒有這種三體限制[9],人們也提出通過調制相互作用[10]來實現任意子哈伯德模型。

人們在任意子系統中,發(fā)現很多有意思的量子相,包括動量分布非對稱的超流相,以及配對超流相。我們將在任意子哈伯德模型中加入排斥相互作用來研究任意子超固體相存在的可能性及其特征。之前的工作發(fā)現了很多不同類型的超固體如配對超固體相[11],f-波超固體相[12],分子超固體[13]和三聚體超固體[14],這些超固體都是普通的玻色超固體或費米子超固體,而任意子系統中超固體可以通過改變相位角來進行調控,具有更豐富的相圖。

1 任意子哈密頓模型與方法

拓展的任意子哈伯德模型可以表示為:

(1)

(2)

(3)

我們可以進一步用Ψ1A,Ψ1B,Ψ2A,Ψ2B來標記兩套不同子晶格A,B上的超流序參量。兩套不同子晶格A,B上的哈密頓量分別為

(4)

(5)

其中z為晶格的配位數,對于一維晶格z=2.通過自洽求解,可以得到系統在基態(tài)下的各個序參量的取值。為了簡便,用Ψ=|Ψ1A+Ψ2A|/2來標記平均超流序參量。令A,B兩套子晶格上粒子數密度分別為ρA=和ρB=,則固體序可以用粒子數密度差Δρ=|ρA-ρB|/2來標記,平均粒子數密度用ρ=|ρA+ρB|/2來標記。顯然當ΨΔρ≠0時,系統為超固體相。表1給出了不同量子相下的各種序參量取值。

表1 典型量子相所對應的序參量的取值

我們也運用了密度矩陣重整化群[15-16]的方法給出存在超固體的結論,邊界條件是自由邊界條件,保持狀態(tài)數在400～600之間,swept掃描次數為2～6次。動量分布[17]定義為

(6)

結構因子[18]定義為

(7)

2 數值分析與討論

2.1 經典極限和平均場結果

圖1給出了(μ/V,U/V)平面內的經典極限相圖,此時V設置為1,表示μ/V,U/V為無量綱參數。當兩套子晶格上的粒子數密度均為0時即ρA=ρB=0,此時系統處于空相。在U/V<0時,系統存在3個相,分別是空相、固體相(0,3)和絕緣體相MI(ρ=3)。在02時,系統出現ρ=1和ρ=2的絕緣體相。這個相圖可以幫助我們了解在哪些參數區(qū)間,增加t/V,可以將固體轉化為超固體,或者超流。

Fig.1 Classical limit (t/V=0) phase diagram圖1 經典極限t/V=0相圖

圖2(a)給出密度分布的總體相圖,可以看出,密度顏色從左到右逐漸變深,表示密度從0到3。θ對相邊界有影響,特別是在兩套子晶格密度差最大的參數區(qū)間,比如密度為(0,3)固體相周圍,即在μ/V=3.5和μ/V=6附近,相邊界出現明顯的彎曲現象。表明改變θ對超固體的產生、消失和周期性的變化可能有影響。

Fig.2 (a)Global phase diagram of density’s distribution ρ(μ/U,θ/π) (b) the detailed description along the direction of μ/V,U/V=1,t/V=0.1圖2 (a)密度分布ρ(μ/U,θ/π)的總體相圖(b)沿著μ/V方向的細節(jié)圖,U/V=1,t/V=0.1

圖2(b)中相位角θ固定為0,掃描化學勢μ,得到了系統密度平臺[16]的分布。隨著化學勢μ/V的增加,平臺分別為空相密度排布為(0,1),(0,2),(0,3)(1,3)(2,3)固體相和絕緣體相,在一些密度為非整數并且光滑增加的區(qū)間,系統可能是超流相或者是有待驗證的超固體相,比如μ/V在,1.5,3.5,6.5,8～10附近。

Fig.3 (a) Global phase diagram of supersolid (could be denoted by ΨΔρ)(b) the detailed description(Δρ,Ψ and ) along the direction of μ/V,U/V=1,t/V=0.1圖3 (a)超固體(可用ΨΔρ標記)分布的總體相圖(b)沿著μ/V掃描的細節(jié)圖(Δρ,Ψ和 ),U/V=1,t/V=0.1

圖3(a)給出的是超固體(可用ΨΔρ標記),在平面(θ/π,μ/V)中分布的總體相圖,在化學勢為1.5,3.5,6.5附近具有超固體,但是超固體的分布會隨著θ變化,而產生、消失或周期性變化。圖3(b)中相位角θ固定為0,掃描了固體序參量Δρ,超流序參量Ψ和配對超流序參量,發(fā)現μ/V在1.5,3.5,6.5附近序參量Δρ和Ψ同時不為0的超固體。我們同時發(fā)現在Ψ不等于0的區(qū)域,也不為0,說明我們發(fā)現的超固體也屬于配對超流[9]和超固體。

2.2 密度矩陣重整化群方法結果

為了驗證平均場方法發(fā)現的超固體相是否真實存在,我們還用密度矩陣重整化群方法進行了檢驗,原因是密度矩陣重整化群方法是精確的方法,它不像平均場那樣忽略了量子漲落。我們首先確定的是θ=0的超固體相是否存在,先根據化學勢和密度的關系來計算密度隨著化學勢變化的圖。對于尺寸L(8,16,24和48)的系統,將粒子數取值為從0到3L之間,計算出每一個密度填充下對應的基態(tài)能量E,然后我們計算出每一個密度所對應的兩個化學勢[15]μ+和μ-,這里我們先定義μ+=E(N+1)-E(N),即表示在粒子數填充為N的系統中添加一個粒子,系統能量的變化量。另外一個化學勢是μ-=E(N)-E(N-1),表示在粒子數填充為N的系統中,減少一個粒子或增加一個空穴系統能量的變化。對于空相、超流相來說在熱力學極限下μ+和μ-是相等的。在固體相、密度波或絕緣體相下μ+和μ-不相等,也就是一個密度平臺對應的兩個邊界,比如密度為0.5,1,或1.5的平臺左右邊界的化學勢。

Fig.4 Density-matrix-renormalization-group method simulation of the one dimensional extended anyon-Hubbard model,the detailed description along the direction of μ/V,U/V=1,t/V=0.1,L=8,16,24 and 48 respectively圖4 密度矩陣重整化群方法計算一維光晶格上的任意子哈伯德模型,沿著μ/V方向掃描得到的密度細節(jié)圖,U/V=1,t/V=0.1,L分別為8,16,24和48

通過對比圖2(b)和圖4可以發(fā)現,平均場方法和密度矩陣重整化群方法計算得到的密度平臺分布一致,但平臺兩端位置所對應的化學勢略有差別,因為平均場方法忽略了量子漲落同時具有尺寸效應。

Fig.5 Density-matrix-renormalization-group method simulation of the one dimensional extendedanyon-hubbard model (a) The momentum distribution and (b) the structural factor,t/U=0.1,L=48圖5 密度矩陣重整化群方法計算一維光晶格上的任意子哈伯德模型(a)動量分布(b)結構因子t/U=0.1,L=48

圖5給出了利用密度矩陣重整化群方法計算得到的一維光晶格上任意子哈伯德模型的動量分布和結構因子,此時t/U=0.1,尺寸L=48。在圖5(a)中,動量分布在密度為0.5～3的此參數區(qū)間是有尖峰的,說明系統此時有超流序。在圖5(b)中,密度為0.5～2.5的此參數區(qū)間是有尖峰的,說明在此參數區(qū)間是有固體序的。綜合圖5的結果,系統在密度為0.5～2.5此參數區(qū)間存在超固體的(除密度1,1.5分別為絕緣體和固體相之外),和平均場方法得到超固體區(qū)間是一致的。由于圖5給出的動量分布和結構因子是一個尺寸的,為了檢驗超固體的穩(wěn)定性也就是在熱力學極限下是否真的存在,我們計算了不同尺寸和不同密度(圖中從上至下密度依次為1.25,1.21,1.16,1.11,1,0.75和0.5)下的結構因子并對其進行分析。結果發(fā)現這些結構因子在熱力學極限下也就是L無窮大,仍然是不等于0。

from top to bottom,densities are 1.25,1.21,1.16,1.11,1,0.75 and 0.5 respectivelyFig.6 Structural factor calculated by density-matrix-renormalization-group with different densities圖中從上至下密度依次為1.25,1.21,1.16,1.11,1,0.75和0.5圖6 密度矩陣重整化群方法計算不同密度的結構因子

3 結論

本文首先運用平均場理論研究了一維光晶格上的擴展任意子哈伯德模型,給出了改變任意子系統的相位因子和化學勢時超固體在參數空間的分布。然后運用密度矩陣重整化群方法,給出了結構因子和動量分布都有尖峰的參數區(qū)間,即超固體的存在范圍。我們還對結構因子進行了有限尺寸標度,發(fā)現在熱力學極限下超固體相仍然存在。我們的密度矩陣重整化群方法只是驗證了θ=0時的參數,后續(xù)工作我們將利用密度矩陣重整化群方法計算θ≠0時的超固體是否真實存在,以及其他有意義的物理問題。